函數y=Asin（ωx+φ）的圖象教學實錄與點評

武瑞雪+陳瑩

摘 要：讓學生經歷知識的建構過程，教師主導作用、學生主體作用均得以發揮，重視學生能力的提升和終身發展，這樣的教學才是有效教學，才值得學習和借鑒.

關鍵詞：函數y=Asin（ωx+φ）；圖象；變換函數的圖象教學是高中數學教學中的一個難點.教學目標：（1）會用“五點法”畫出函數的簡圖，觀察并研究參數A，ω，φ對函數的圖象變化的影響；（2）函數（A>0，ω>0）的圖象與函數的圖象的關系.教學重點：函數（A>0，ω>0）的圖象與函數的圖象的關系.教學難點：函數的圖象與函數的圖象之間的變換關系；函數的圖象與函數的圖象之間的變換關系[1].

要想將此節課上成功，實屬不易.在我校舉行的一次優質課比賽活動中，其中一位教師對該節課的教學設計和實施給筆者留下深刻的印象，現進行點評，以期與同行探討新授課的有效教學模式及如何使用教材上的例題、習題. 所用教材為現行蘇教版，課前布置學生在“導學案”引導下閱讀課本.

一、教學實錄

（一）探究活動

探究1 請同學們在上課前，在同一坐標系內（注：在“導學案”上，給出5個標有刻度的坐標系），畫出下列各題中的兩個函數的圖象，觀察圖象，分析得出各組中2個函數圖象之間的關系：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），；

（5），.

課堂上，教師用PPT展示在同一坐標系中這些函數的圖象，并讓學生將自己課前所畫與之對照，并自行糾正，然后再讓學生觀察圖象，分析得出各組中2個函數圖象之間的關系.

探究2 （1）若點在函數的圖象上，則在函數的圖象上必有點.

（2）若點在函數的圖象上，則在函數的圖象上必有點.

（3）若點在函數的圖象上，則在函數的圖象上必有點.

（4）若點在函數的圖象上，則在函數的圖象上必有點.

（5）若點在函數的圖象上，則在函數的圖象上必有點.

課堂上，教師引導學生繪出下面的圖1、圖2、圖3，從兩個函數圖象上對應點的坐標出發，解釋各種變換的本質，如，在函數的圖象上橫坐標為的點與函數的圖象上橫坐標為的點的縱坐標相同，設為s，而點可以看作是由點向左平移個單位而得到，因此，函數的圖象可以看作是由函數的圖象向左平移個單位而得.其余的，完全放手讓學生自主解釋.

對于學生在探究2中出現的錯誤，讓學生獨立思考，并自行糾錯，還表揚了被提問而“出錯”的學生，“謝謝你！因為你的出錯，同學們有了討論的機會；因為你的出錯，讓同學們對結論的本質認識得更深刻了！”，“出錯”的同學由之前的“沮喪”變得“開心”起來，覺得雖然自己出了錯，但還是有意義的，自尊心得到了保護，自信心也大增，面露喜悅之情落座.

（二）建構數學

由學生歸納總結，教師點評、補充，得出如下5個變換規律（以填空題形式出現，用PPT顯示）：

1.函數的圖象，可以看作是把函數的圖象上所有的點向 左 （當時）或向 右 （當時）平移個長度單位而得到的.（左加右減）.

2.函數（ A>0，A≠1）的圖象，可以看作是把函數的圖象上所有點的縱坐標變為原來的 A 倍（橫坐標不變）而得到的.

3.函數（）的圖象，可以看作是把函數的圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變）而得到的.

4.函數（，）的圖象，可以看作是把函數的圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變）而得到的.

5.函數（ω>0，ω≠1，j?0）的圖象，可以看作是把函數的圖象上所有點向 左 （當時）或向 右 （當時）平移個單位長度而得到的.

教師在結論總結后，為了加深學生對結論本質的理解，留下足夠的時間，讓學生閱讀、琢磨.

（三）數學運用

例題 下列各題中兩個函數圖象之間有什么關系？

（1），；

（2），；

（3），；

（4），；

（5），.

雖是例題，但教師仍放手讓學生獨自思考、板演、糾錯，教師給予點撥、指導，并規范解題格式.

鞏固練習 （1）把函數的圖象向右平移個單位長度，所得到的圖象的函數解析式為 ，再將圖象上的所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），則所得到的圖象的函數解析式為 .（答案：）

（2）要得到函數的圖象，只需將函數的圖象向 平移 個單位長度. （答案：左，）

分別讓兩個學生板演，然后由教師引導學生再次規范格式，并強調：左右平移，是因為自變量的加值或減值導致，左加右減；橫坐標的伸縮，是因為自變量系數（正數）的增大或減小導致，大縮小伸.

（四）回顧小結

由學生總結，教師補充.

（五）布置作業

必做題：教材P39 練習第1題，第2題.

選做題：（1）由函數的圖象得到函數的圖象，你能找到多少種變換思路？請將下面的變換流程圖（圖4）補充完整[2].

（2）請將下面的變換流程圖（圖5）補充完整（其中）：

通過做作業，及時鞏固所學知識. 其中的選做題第（1）題，綜合考查幾種變換，共6種不同的變換順序和思路，利于培養學生思維的發散性，為“函數的圖象（第2課時）”做課前準備；選做題第（2）題，幫助學生回顧之前學過的圖象變換的規律，并通過圖4與圖5的比較，滲透“特殊到一般”“具體到抽象”的數學思想方法.

二、點評

（一）讓學生經歷知識的建構過程

對于“導學案”上的探究1，若要求學生當堂畫出這10個三角函數的圖象，肯定費時費力，教學任務難以完成；若由教師當堂用PPT直接展示這些函數的圖象又會影響學生經歷自主建構知識的過程.教師要求學生在課前，在同一坐標系中，畫出各組函數的圖象，親自經歷取值、描點、畫圖的過程，課堂上再與教師用PPT所展示的對照、糾正，既節省了課堂畫圖的時間，又讓學生親身經歷了知識的建構過程.

（二）重視幫助學生對結論的本質的理解

對于“導學案”上的探究2，教師采用“圖示法”，引導學生分析每組中兩個函數圖象上對應點的坐標關系，幫助學生理解圖象變換的本質，將抽象問題直觀化. 特別地，通過圖3，清楚地解釋了“由的圖象應向左平移個單位得到的圖象”，而不是像部分學生錯誤認為“由的圖象向左平移個單位得到的圖象”，順利突破了教學難點.

（三）重視錯誤資源的利用

教師對于學生在課堂上出現的錯解，沒有批評，沒有置之不理，也沒有馬上更正或否定，而是鼓勵學生呈現錯誤，然后讓同學們討論、探究，自行糾錯，糾錯之后還向“出錯”同學致謝.教學實踐證明，課堂上學生的錯誤是一把“雙刃劍”，處理不當，往往會造成教育教學的失誤，挫傷學生的自尊心；處理恰當，錯誤將成為教育教學的有利資源，能讓學生在剖析錯誤解法的過程中，經歷由“誤”到“悟”的思維過程，加深對知識的理解，課堂教學也會因此而變得精彩、真實、生動、有效.

（四）兼顧教師的主導作用和學生的主體作用

教師的教學過程中，既有教師的指導，又有學生的閱讀、思考、探究，始終讓教學處在教師可控制的過程中，兼顧了教師的主導作用與學生的主體作用.

（五）忠于教材而不囿于教材

教師不拘泥于教材內容的安排，創造性地使用教材.首先，教材是按相位變換→振幅變換→周期變換→綜合變換，逐一進行研究的，而教師在體現這種研究順序的基礎上，同時推進，這樣處理，利于學生整體把握所要總結的變換規律；其次，教材總結出的是4個規律，而教師引導學生總結出5個規律，目的是讓學生區別規律4與規律5，更利于學生有意識地規避易犯的錯誤；再次，為了便于學生用“五點法”描點、畫圖，教師將教材上作函數、的圖象分別換為“導學案”上的作函數、的圖象. 教師真正做到“用教材教，而不是教教材”、“忠于教材，而不囿于教材”的教學高境界、高水準.

參考文獻：

[1]單墫，李善良，陳永高，等.高中數學教學參考書×數學4（必修）[M].南京：江蘇教育出版社，2007：3.

[2]楊春樹.分組教學設計與發散性思維的培養——函數的圖象的教學設計[J].中學數學教學參考，1998（7）：18-19.