中學數學課程和高校數學課程的銜接問題探討

朱忠明

摘 要：數學是我國現行學校課程體系中重要的一門課程，其學段間的銜接會影響到數學教育工作的整體構建. 對中學和高校的數學課程內容的銜接進行探究勢必是新一輪高中數學課程改革中考慮的重要方面. 梳理現行中學和高校的數學課程中不甚銜接的現狀，能給數學教材的編制提供一定的參考信息，給數學教師組織安排教學提供內容方面的支持.

關鍵詞：中學數學；高校數學；課程內容；銜接

中等教育與高等教育的銜接是基礎教育與專業教育的接軌，是各層次銜接中的特殊環節，對學生未來就業和發展具有重要的現實意義.基礎教育數學課程改革使得現在的中學教材里出現大學數學中的內容，導致另外一種現象：初等數學中的許多重要而基本的內容，本是中學生“應知應會”的內容，許多版本的中學數學教材里很難覓得它們的蹤影. 這些“應知應會”知識在中學數學中的缺漏，形成學生長遠發展的一種隱患.下面以高校數學教學普遍使用的經典教材——同濟大學數學系編制的高等數學教材第七版，以及人民教育出版社課程教材研究所編制的普通高中實驗教科書為主要參考資料，以其他版本的高等數學教材為輔助參考資料進行探討，一方面從具體實例探討中學數學課程與高校數學課程銜接中的錯位和缺漏，另一方面從整體梳理重復、錯位和缺漏的數學內容.

一、課程內容銜接上的錯位與缺漏實例探討

傳統的中學數學內容包括集合、函數、數列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等內容.隨著高中數學課程改革的推進，諸如概率與統計初步、極限知識、導數與微分的簡單內容、積分基本知識、復數等高校數學課程中的內容也逐漸下移到中學數學中[1].而原本屬于中學數學的一些內容卻又被淡化，導致現時的中學和高校數學課程在內容銜接上存在一定的錯位和缺漏現狀：高等數學教學需借助高中數學教材中的必修、但不要求掌握的內容；需借助高中數學教材中的選修，但不是每個學校都學習的內容；高等數學中頻繁出現，而在高中階段要求較低或者不做要求的內容，這些都需要探討.

（一）高中數學教材中的必修，但不要求掌握

例1 證明函數在區間內是連續的.

解析 該題來源于高等數學教材（在沒有限定的條件下，本文中的“高等數學教材”指的是同濟大學數學系編制的第七版高等數學教材）上冊第一章“函數與極限”第八節“函數的連續性與間斷點”，在用連續函數的定義對其進行證明的過程中，不可避免地要用到初等數學中三角函數的和差化積公式，而該部分知識在高中數學教材必修4中，盡管是必修內容，但是由于《普通高中數學課程標準》中要求“能運用兩角和與差的正弦、余弦公式進行簡單的恒等變換，包括引導導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶”[2]45，另外由于這部分內容不在高考的考查范圍，通常情況下這部分內容就成了教材中的“虛設”，很多高中生進入大學后對和差化積、積化和差公式、萬能公式等三角公式都不清楚，就更談不上熟練應用了.而這些公式卻是學習某些高等數學內容的基礎，如等的推導需要用到三角函數的和差化積公式，“求”以及諸如等類似形式的積分問題需要用到三角函數的積化和差公式，“求”，積分過程中就需用三角函數的萬能公式.

（二）高中數學教材中的選修，但不是所有學校都學的內容

例2 計算，其中D是由圓心在原點、半徑為a的圓周所圍成的閉區域.

解析 該題來源于高等數學教材下冊第十章“重積分”第二節“二重積分的計算法”中的利用極坐標計算二重積分.若考慮用直角坐標來計算該題，則會因為不能用初等函數表示而出現算不出來的情況.相反，若選擇采用極坐標來計算該題，不僅能夠計算出結果，而且還會比較方便.在求解過程中，首先將積分區域D表示成極坐標的形式：.再由二重積分的變量從直角坐標變換為極坐標的變換公式以及極坐標系中的二重積分化為二次積分的公式，即可方便快捷地解決問題.此外，還可以用該題所采用的方法和結果計算工程上常用的反常積分等.可是極坐標和參數方程這部分內容被安排在高中數學教材的選修4-4中，很多學校都不對該內容進行詳細的講解，導致即使大學教師補充講解這部分內容，但由于學生練習較少，對極坐標缺乏足夠的了解和應用，想不到使用或者使用起來不能得心應手.

（三）高中數學教材中要求較低或不做要求的內容在高等數學中頻繁出現

例3 反函數、反三角函數、復合函數.

解析 對于反函數，高中數學課程標準中明確指出：“只要求以具體函數為例進行解釋和直觀理解……不要求一般地討論形式化的反函數定義，也不要求會求已知函數的反函數.”[2]23現行的高中數學教材中反函數部分的內容安排與課程標準中的一致.這似乎是減輕了中學生的負擔，殊不知這不僅不利于學生對函數的整體而深入的理解，而且還會給大學的數學教學帶來諸多困擾.即使大學老師會做一些補充，但是由于學生對反函數的概念、存在的條件、性質等不熟悉或者不了解，對函數部分的許多知識就缺乏本質的理解.復合函數，高中數學教材中沒有出現此概念，但復合函數的知識一直在使用，如在選修1-1“導數及其應用”中就出現復合函數的求導法則.

從前面幾個例子不難看到，中學和高校的數學課程在內容的銜接上的確存在問題，當然問題遠不止以上幾個例題中所呈現出的.但是不管怎樣，無論是中學數學教師，還是高校數學教師，從整體上感知內容銜接上的重復、錯位和缺漏，并對中學和高校的數學課程內容的銜接投入更多的關注，從促進自身教學和學生發展考慮都是一種明智的選擇.

二、課程內容銜接上的重復、錯位和缺漏概述

對于數學課程內容，有意義的重復表現為內容逐步加深、擴展或鞏固，而無意義的重復主要是指那些表面的、簡單知識的一般性道理，缺乏不斷加深的知識含量和思維難度[3].表1是無意義重復的數學內容，表2是有意義重復的數學內容.

三、結語

數學家蘇步青曾說：“學習數學最怕的是吃夾生飯.如果一些東西學得糊里糊涂，再繼續往前學，則一定越學越糊涂，結果將是一無所獲.所以不要怕學得慢，一定要學得踏實.”面對中學和高校數學課程內容不甚銜接的現狀，除了寄希望于高校數學教師的“修補”，更應該做足中學的數學“必修”課程，發揮中學數學課程的“育人”價值.

（一）中學數學教材的編寫要兼顧學生的當下和未來

中學數學教材作為中學數學課程資源的重要組成部分，是中學數學課程實施的主要載體.因此，教材編寫者在編寫教材時既要考慮到學生學習的階段性特征，而刪減一些繁難的數學內容，同時也要兼顧為學生的未來學習和生活做準備，不能一味地借著“減負”的口號減少當下的學習內容，殊不知這既不能保障學習效益的最大化，還會給未來的進一步學習增加負擔.如前文中提及的復合函數，盡管在高中數學教材中講清楚其概念需要一定的篇幅，但既然教材中出現了復合函數的相關知識，就應該首先明確給出其概念，而不是像現在的很多版本的數學教材，一直在使用復合函數，卻始終沒有解讀其概念，這樣很不利于學生對復合函數的透徹理解，進而影響到對復合函數的對應法則、定義域、值域等問題的求解.教材可以在介紹映射這部分知識時介紹復合映射，這樣由映射到函數，由復合映射到復合函數就顯得順理成章，對基于復合函數概念的應用解答起來就更有章可循.

（二）中學數學教師的教學要兼顧學生的升學和發展

教師作為學生學習的指導者，教學的內容除了要考慮學生的升學之需外，同時還應該兼顧學生的發展之需.一些對學生的當下學習和未來發展有利的內容，即使是被放在了教材中的選修部分，也不能因為升學考試中不作要求就不進行講解.如三角恒等式中的積化和差、和差化積公式，教師在實際的教學中對待這部分內容不能因為其被貼上選修的標簽，就對其置之不理，而應該既給學生講解公式是什么，又給學生講解推導公式過程中的涉及到的一些數學思想方法，這也是數學教學的本質.正如德國數學家萊布尼茲所言，數學的本質不在于它的對象，而在于它的思想方法.因此，中學數學教師在教學中要基于學生的升學和發展的切實需要，將數學的本質內容教給學生.

參考文獻：

[1]吳強，李建平，朱健民.中學數學教學內容改革對高等數學教學影響的客觀分析及對策[J].大學數學，2008，24（4）：10-13.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：北京師范大學出版社，2003.

[3]朱小蔓，王慧.關于大中小學德育課程銜接的思考[J].課程·教材·教法，2014，（34）1：44-49.