數(shù)學(xué)概念是解題的靈魂

王淼生

摘 要：概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，是思維的核心，是解題的靈魂.悟透幾何概型概念，尤其關(guān)注幾何概型問(wèn)題的始發(fā)性，是解決幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵所在.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；幾何概型；幾何測(cè)度

一、呈現(xiàn)案例

新授“幾何概型”后，周末作業(yè)中有這樣一道試題，原題如下（以下簡(jiǎn)稱(chēng)案例1）.

案例1 是等腰直角三角形.

（I）在斜邊上隨機(jī)取一點(diǎn)，求長(zhǎng)小于的長(zhǎng)的概率；

（II）過(guò)點(diǎn)隨機(jī)引射線(xiàn)，與斜邊相交一點(diǎn)，求的長(zhǎng)小于的長(zhǎng)的概率.

評(píng)注 看似簡(jiǎn)單的案例1，絕大部分學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為（I）與（II）都是指同一個(gè)隨機(jī)事件：“的長(zhǎng)小于的長(zhǎng)”的概率，因而認(rèn)為（I）與（II）本質(zhì)是一樣的.為何絕大部分學(xué)生解答（I）與（II）的結(jié)果是一樣的呢？（I）與（II）的本質(zhì)真的一樣嗎？如何預(yù)防這類(lèi)錯(cuò)誤呢？怎樣徹底解決這一問(wèn)題呢？

二、重溫概念

上述案例1涉及幾何概型概念，那到底什么是幾何概型？其本質(zhì)是什么？應(yīng)該如何把握？解鈴還須系鈴人.讓我們一起仔細(xì)重溫教科書(shū)與教師教學(xué)用書(shū).

幾何概型是新課標(biāo)教材中新增內(nèi)容.幾何概型與古典概型一樣，也是一種概率模型.幾何概型是將古典概型中等可能基本事件數(shù)量從有限向無(wú)限延伸與拓展.幾何概型的主要特點(diǎn)是試驗(yàn)結(jié)果在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布，因此隨機(jī)事件概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域形狀、位置沒(méi)有關(guān)系，只與該區(qū)域大小相關(guān).教科書(shū)（文[1]）給出幾何概型的概念（定義）：

“如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型.在幾何概型中，事件的概率計(jì)算公式為：

.” [1]135①

評(píng)注 值得說(shuō)明的是上述定義與計(jì)算公式中的“長(zhǎng)度”，既包括線(xiàn)段長(zhǎng)度，也包括曲線(xiàn)段長(zhǎng)度（如圓弧的弧長(zhǎng)），還可以是角度（或弧度）.

三、還原過(guò)程

任何數(shù)學(xué)概念都有其形成的過(guò)程與背景.要弄清概念，就必須還原概念提煉的具體歷程，這對(duì)深化概念極為重要.教科書(shū)（文[1]）為引出幾何概型概念（定義），借助以下具體問(wèn)題（以下簡(jiǎn)稱(chēng)案例2）：

案例2 如圖1所示，有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲.規(guī)定當(dāng)指針指向區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝.在兩種情況下，分別求甲獲勝的概率是多少？

教科書(shū)（文[1]）指出：“顯然，以轉(zhuǎn)盤(pán)（1）為游戲工具時(shí)，甲獲勝概率為；以轉(zhuǎn)盤(pán)（2）為游戲工具時(shí)，甲獲勝概率為.事實(shí)上，甲獲勝的概率與字母所在扇形區(qū)域的圓弧的長(zhǎng)度有關(guān)，而與字母所在區(qū)域的位置無(wú)關(guān)，只要字母所在扇形區(qū)域的圓弧長(zhǎng)度不變，不管這些區(qū)域是相鄰，還是不相鄰，甲獲勝的概率是不變的.”[1]135正是在這樣的指導(dǎo)思想下，教科書(shū)在第136頁(yè)繼續(xù)指出：“如果把轉(zhuǎn)盤(pán)（1）中的圓周的長(zhǎng)度設(shè)為1，則

以轉(zhuǎn)盤(pán)（1）為游戲工具時(shí)，

；

以轉(zhuǎn)盤(pán)（2）為游戲工具時(shí)，

.”[1]136

據(jù)此不難看出教科書(shū)（文[1]）將案例2中的“幾何區(qū)域”看作“圓弧長(zhǎng)度”即“弧長(zhǎng)”.

四、剖析概念

教科書(shū)（文[1]）觀點(diǎn)似乎并不完美.筆者認(rèn)為案例2中的“幾何區(qū)域”并非“弧長(zhǎng)”，而是圓盤(pán)旋轉(zhuǎn)形成的“角度”.因?yàn)閳A盤(pán)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，其本質(zhì)是角度在旋轉(zhuǎn)，故而得到：

以轉(zhuǎn)盤(pán)（1）為游戲工具時(shí)，

；

以轉(zhuǎn)盤(pán)（2）為游戲工具時(shí)，

.

單從計(jì)算結(jié)果看，似乎與教科書(shū)（文[1]）一致，那是緣于弧長(zhǎng)與圓心角之間故有的關(guān)系式：.其實(shí)，僅從結(jié)果看，對(duì)于上述案例2，我們甚至還可以這樣認(rèn)為：

以轉(zhuǎn)盤(pán)（1）為游戲工具時(shí)，；

以轉(zhuǎn)盤(pán)（2）為游戲工具時(shí)，.

換言之，對(duì)于上述案例2，無(wú)論是弧長(zhǎng)之比，角度之比，還是面積之比，其結(jié)果都是相同的.但是對(duì)于幾何概型來(lái)說(shuō)，這涉及幾何區(qū)域的定性問(wèn)題.因?yàn)閷?duì)于一個(gè)具體的幾何概型而言，其幾何區(qū)域應(yīng)該是唯一的.那么，案例2中的幾何區(qū)域到底是指弧長(zhǎng)，還是角度，還是面積呢？這是不能含糊的.正如主編在教科書(shū)首頁(yè)“主編寄語(yǔ)”中指出：“數(shù)學(xué)是清楚的，清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的結(jié)論.數(shù)學(xué)中的命題，對(duì)就是對(duì)，錯(cuò)就是錯(cuò)，不存在絲毫的含糊.”[1]主編寄語(yǔ)那么上述案例2中的幾何區(qū)域到底是指什么呢？

事實(shí)上，上述案例2中的圓盤(pán)邊界是一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”的圓周，從而導(dǎo)致弧長(zhǎng)之比、角度之比及面積之比均相等.我們不妨假設(shè)這個(gè)圓盤(pán)邊界不是“標(biāo)準(zhǔn)”的，而是“殘缺不齊”的，如圖2所示.顯然，“殘缺不齊”的圓周邊界，根本不影響甲獲勝概率.不難得到此時(shí)弧長(zhǎng)之比、面積之比不一定等于角度之比.這足以說(shuō)明案例2中“角度之比、弧長(zhǎng)之比及面積之比均相等”是偶然的，是在圓盤(pán)邊界“標(biāo)準(zhǔn)”狀態(tài)下所得到，當(dāng)圓盤(pán)邊界“殘缺不齊”時(shí)未必相等，而且隨著“殘缺不齊”的邊界變化時(shí)，其曲線(xiàn)長(zhǎng)度之比、圖形面積之比也在不斷地變化.有趣的是，我們還可以大膽設(shè)想：當(dāng)邊界是“開(kāi)放式”，即沒(méi)有邊界時(shí)，如圖3所示，那么根本不存在所謂的曲線(xiàn)長(zhǎng)度與圖形面積，這就要求我們必須明確回答上述案例2中所涉及的“幾何區(qū)域”到底是什么？“區(qū)域”是幾何概型這一概念的核心，是不可回避的焦點(diǎn).其實(shí)，不論圓盤(pán)邊界是“標(biāo)準(zhǔn)”狀態(tài)還是“殘缺不齊”，其指針都是均勻分布在圓盤(pán)中的每一個(gè)位置，并且這里所說(shuō)的“均勻”是指“角度”等可能性，因此，從幾何區(qū)域本質(zhì)看，筆者有足夠理由斷定案例2中甲獲勝概率應(yīng)該是角度之比，而不是弧長(zhǎng)之比，也不是面積之比.

筆者帶著疑惑，查閱與教科書(shū)（文[1]）相配套的教師教學(xué)用書(shū)（文[2]）.文[2]指出：“幾何概型是新增加的內(nèi)容，介紹幾何概型主要是為了更廣泛地滿(mǎn)足隨機(jī)模擬的需要，但是對(duì)幾何概型的要求僅限于初步體會(huì)幾何概率的意義，所以教科書(shū)中選例題都是比較簡(jiǎn)單的.”[2]由此不難看出，文[1]（教科書(shū)）僅僅只是對(duì)幾何概型作了簡(jiǎn)單介紹（即由上述案例2引出幾何概型概念以及計(jì)算公式）而已，并沒(méi)有深度論述. 正是因?yàn)檫@樣，一線(xiàn)教師在授新幾何概型時(shí)，照本宣科，未能觸及幾何概型中最為關(guān)鍵的幾何區(qū)域（即教科書(shū)中的“基本事件”的構(gòu)成）問(wèn)題，而是無(wú)休止地、反復(fù)地、機(jī)械地強(qiáng)化訓(xùn)練，以做題替代理解概念，其結(jié)果是學(xué)生越做越糊涂，越做心里越慌張，最后連幾何概型的基本概念都不清楚.毋容置疑，這是目前我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)典型縮影.正如羅增儒教授一針見(jiàn)血地指出：“數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)血肉的細(xì)胞，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)肌體的靈魂.一個(gè)沒(méi)有血肉、沒(méi)有靈魂的人，即使穿上華麗的外衣，也只是僵尸；同樣，沒(méi)有數(shù)學(xué)概念做血肉，沒(méi)有數(shù)學(xué)思想做靈魂，即使給解題穿上華麗的外衣，也只是僵尸數(shù)學(xué).”[3]

五、理論支撐

客觀地講，目前高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中有不少概念是高等數(shù)學(xué)知識(shí)的“下放”.囿于學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知水平，高中有些概念只是大學(xué)數(shù)學(xué)完整系統(tǒng)中的一個(gè)片段與縮影，個(gè)別概念甚至似“從天而降”.比如在提煉定積分概念時(shí)，為了描述分割越來(lái)越細(xì)，臨時(shí)借用數(shù)列極限的概念與符號(hào)；在歸納函數(shù)零點(diǎn)存在定理時(shí)，突然冒出“函數(shù)圖象連續(xù)不斷”等等.同樣的道理，幾何概型中的“幾何區(qū)域”其實(shí)也是如此.這就要求中學(xué)一線(xiàn)教師對(duì)有些高等數(shù)學(xué)知識(shí)（尤其核心概念）有所了解，必要時(shí)應(yīng)該熟練掌握，以尋求理論支撐.

其實(shí)，大學(xué)概率論中對(duì)幾何概型的論述較為完整、豐富、詳實(shí)，值得中學(xué)教師很好地借鑒.文[4]是這樣論述基本事件：“隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn)，樣本點(diǎn)的全體構(gòu)成樣本空間.由樣本空間的一些子集構(gòu)成的區(qū)域稱(chēng)為事件域，其中的元素稱(chēng)為事件.”[4]通俗地講，隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果都稱(chēng)為一個(gè)基本事件.基本事件是相對(duì)于所做的隨機(jī)試驗(yàn)而言，沒(méi)有獨(dú)立于隨機(jī)試驗(yàn)之外而獨(dú)立存在的基本事件，離開(kāi)隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件沒(méi)有意義，也沒(méi)有價(jià)值.正是因?yàn)樗龅碾S機(jī)試驗(yàn)中，每一個(gè)可能結(jié)果都視為基本事件，因此基本事件具有不可再分性，當(dāng)然就是最小的“單位”，這一定義與前面文[1]的論述相吻合.文[4]中所涉及的“樣本空間的一些子集”正是從集合論的觀點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)用熟知的集合論中的知識(shí)來(lái)描述基本事件，從而引出“幾何測(cè)度”，并得出幾何概型的概率計(jì)算公式：

. ②

事實(shí)上，高中計(jì)算公式①與大學(xué)計(jì)算公式②本質(zhì)是一致的，只是公式②站在測(cè)度論的高度闡述，更加合情合理，更加嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范.由此也說(shuō)明公式①的“幾何區(qū)域”就是公式②中的幾何測(cè)度.作為測(cè)度論的奠基人，法國(guó)數(shù)學(xué)家博雷爾首先將測(cè)度論方法引入概率論，從而使概率研究更加規(guī)范，表述更加嚴(yán)謹(jǐn).1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫戈羅夫在其著作《概率論基礎(chǔ)》中建立起集合測(cè)度與概率之間的類(lèi)比關(guān)系，第一次提出“基本事件集合”概念并導(dǎo)出試驗(yàn)所有結(jié)果的總體形成一個(gè)空間集合，這正是上述文[4]中定義的雛形.

評(píng)注 我們知道集合中的元素沒(méi)有順序之分，這正暗示幾何概型中基本事件的等可能性、均勻分布性以及與位置、形狀無(wú)關(guān)性；集合中的元素互不相同，這恰好凸顯基本事件的不兼容性、最小性與不可再分性.樣本空間源自樣本點(diǎn)而構(gòu)成，這就是基本事件的始發(fā)性、指向性與目標(biāo)性.據(jù)此，涉及幾何概型問(wèn)題，尤其確定幾何測(cè)度時(shí)，首要任務(wù)在于關(guān)注所做試驗(yàn)的始發(fā)性因素，這是正確解答幾何概型的先決條件，也是鑒別古典概型與幾何概型的法寶.

六、回歸案例

基于以上剖析，我們重新回歸上述案例1.

對(duì)于案例1（I），所做試驗(yàn)是在斜邊上隨機(jī)取一點(diǎn)，基本事件是指點(diǎn)均勻落在斜邊上的任意點(diǎn).設(shè)“在斜邊上隨機(jī)取一點(diǎn)，則的長(zhǎng)小于的長(zhǎng)”為事件，事件的始發(fā)性是在斜邊上取滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，因此構(gòu)成事件的幾何測(cè)度是長(zhǎng)度.如圖4所示，設(shè)等腰直角三角形直角邊的邊長(zhǎng)為，依據(jù)上述公式①或②可得

.

對(duì)于案例1（II），所做試驗(yàn)是過(guò)頂點(diǎn)隨機(jī)引一條射線(xiàn)，且與斜邊相交，基本事件是指射線(xiàn)均勻分布在內(nèi)每一個(gè)位置.設(shè)“過(guò)頂點(diǎn)隨機(jī)引一條射線(xiàn)，與斜邊相交于一點(diǎn)，則的長(zhǎng)小于的長(zhǎng)”為事件，事件的始發(fā)性是在內(nèi)作滿(mǎn)足條件的射線(xiàn)，因此構(gòu)成事件的幾何測(cè)度是角度.如圖5所示，依據(jù)公式①或②可得

評(píng)注 值得說(shuō)明的是案例1（II）中的點(diǎn)如同案例1（I）中的點(diǎn)，最終都是落在斜邊上，但是誘發(fā)點(diǎn)落在斜邊上的原因是不同的，也就是所做試驗(yàn)的始發(fā)性因素是截然不同的.案例1（I）是直接在斜邊上取點(diǎn)，而案例1（II）是過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)，因而其幾何測(cè)度是完全不同的，這正是學(xué)生，甚至不少教師在解決幾何概型問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤.趁熱打鐵，讓我們?cè)賮?lái)看看以下案例（以下簡(jiǎn)稱(chēng)案例3）：

案例3 在長(zhǎng)為12cm的線(xiàn)段上任取一點(diǎn)，并以線(xiàn)段為一邊作正方形，則正方形的面積介于36cm2到81cm2之間的概率為 .

案例3是一道常見(jiàn)試題，設(shè)“正方形的面積介于36cm2到81cm2”為事件，不少學(xué)生（甚至個(gè)別課外教輔資料）是這樣解答的：

.

顯然，上述解答基于幾何測(cè)度為面積.事實(shí)上，案例3中所做試驗(yàn)并不是作正方形，而是“在長(zhǎng)為12cm的線(xiàn)段上任取一點(diǎn)，而且點(diǎn)在線(xiàn)段上是均勻分布的”，其基本事件是“在線(xiàn)段上任取一點(diǎn)”，這才是試驗(yàn)最原始的出發(fā)點(diǎn)，因此其始發(fā)性是在線(xiàn)段上取點(diǎn)，故幾何測(cè)度為長(zhǎng)度而不是面積.至于“正方形面積介于36cm2到81cm2之間”是指在特定情境下設(shè)置的特定背景而已.比如也可以作正三角形、作正五邊形、作圓，乃至作正方體、作球等等，據(jù)此得到

.

評(píng)注 決定幾何概型的測(cè)度不是由結(jié)果，而是由所做試驗(yàn)的始發(fā)性因素而掌控.

七、心得體會(huì)

（一）正確把握始發(fā)性是完善基本事件固有特征的關(guān)鍵

任何事件（除不可能事件外）都可以表示為基本事件之和.對(duì)于基本事件，人們普遍關(guān)心有限性、無(wú)限性與等可能性.有限性與無(wú)限性是古典概型與幾何概型的分水嶺，等可能性是直接利用古典概型或幾何概型的概率計(jì)算公式的依據(jù).基本事件之間還需滿(mǎn)足互異性，即任何兩個(gè)基本事件的交集是空集，因而基本事件是“最小單位”，不可再分.其實(shí)，基本事件除了上述特性之外，更為重要的是基本事件始發(fā)性，即必須明確試驗(yàn)做什么，是由什么引發(fā)的，這才是基本事件的真正內(nèi)涵，弄清始發(fā)性才是解決幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵.

（二）正確把握始發(fā)性是區(qū)別幾何概型與古典概型的抓手

在保證試驗(yàn)的每一個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的前提下，區(qū)別幾何概型與古典概型的關(guān)鍵在于構(gòu)成試驗(yàn)的基本事件的個(gè)數(shù)是有限還是無(wú)限.若是有限，則屬于古典概型；若是無(wú)限，則屬于幾何概型.而精準(zhǔn)判斷基本事件的個(gè)數(shù)是有限還是無(wú)限，也要依據(jù)始發(fā)性.

（三）正確把握始發(fā)性是判斷基本事件等可能性的利器

判斷基本事件是否等可能性是一個(gè)棘手的難題，無(wú)論是古典概型還是幾何概型，其首要任務(wù)是判斷是否等可能性，否則就不能直接應(yīng)用古典概型與幾何概型的概率計(jì)算公式，這是導(dǎo)致錯(cuò)誤的一個(gè)主要原因.正因?yàn)槭及l(fā)性決定著這個(gè)試驗(yàn)到底做什么，因此始發(fā)性是判斷基本事件等可能性的利器，在此渴望教科書(shū)再版時(shí)關(guān)注上述案例2中的幾何區(qū)域（測(cè)度）.

（四）正確把握始發(fā)性是決定幾何概型中幾何測(cè)度的核心

決定幾何測(cè)度是長(zhǎng)度、弧長(zhǎng)、角度，還是面積、體積，其核心因素是依據(jù)試驗(yàn)的最原始出發(fā)點(diǎn)，即始發(fā)性，這是不少學(xué)生乃至教師對(duì)幾何概型模糊不清、舉棋不定的真正原因.正因?yàn)閷Ⅻc(diǎn)、線(xiàn)、曲線(xiàn)的幾何測(cè)度看作面積或體積時(shí)，其測(cè)度為0；將平面、曲面的幾何測(cè)度看作體積時(shí)，其測(cè)度為0，故教師教學(xué)用書(shū)指出：“利用幾何概型可以很容易舉出概率為0的事件不是不可能事件的例子，概率為1的事件不是必然事件的例子.”

客觀地講，一線(xiàn)教師對(duì)于幾何測(cè)度為面積、體積的幾何概型尚能基本把握，但對(duì)測(cè)度到底是長(zhǎng)度還是角度往往吃不透、拿不準(zhǔn).“師者，傳道授業(yè)解惑也.”當(dāng)教師自身對(duì)概念把握不準(zhǔn)乃至疑惑時(shí)，談何授業(yè)，何以解惑，正如章建躍等專(zhuān)家憂(yōu)心忡忡地警示：“通過(guò)調(diào)查研究以及收集的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，縱使是處于金字塔頂部的重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)教師，他們的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)儲(chǔ)備嚴(yán)重不足，80%以上的教師對(duì)大部分概率統(tǒng)計(jì)基本概念的認(rèn)識(shí)都處于模糊狀態(tài)，理解深度不夠，缺乏用這些概念答疑解惑的能力，影響概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)效果.”[5]

概念是數(shù)學(xué)教學(xué)重中之重.長(zhǎng)期以來(lái)，概念教學(xué)異化為解題教學(xué)，并固化為“一個(gè)定義、三個(gè)注意、N個(gè)練習(xí)”模式.這種背概念，套公式看似立竿見(jiàn)影，實(shí)則貽害無(wú)窮，我們必須摒棄.概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，是思維的核心，是解題的靈魂，是創(chuàng)新的基石，正如李邦河院士認(rèn)為：“數(shù)學(xué)根本上玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也.”

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)3（必修.版）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)3（必修.版）教師教學(xué)用書(shū)[M].北京：人民教育出版社，2014：116.

[3]羅增儒.數(shù)學(xué)概念的理解與教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2016（3）：1-4.

[4]復(fù)旦大學(xué).概率論[M].北京：高等教育出版社，1979：127.

[5]李勇，章建躍，張淑梅，等.全國(guó)重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)教師概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)儲(chǔ)備現(xiàn)狀調(diào)查[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（9）：1-9.