夯實基礎，培養歸納推理能力

陳浩

[摘 要] 歸納推理是初中數學教學中的重要內容，同時也是數學知識最重要的探索方法之一. 本文提出相應的教學建議：關注對新知識形成過程的分析；讓學生在目標指向下實施有目的的猜想；讓學生感悟歸納推理的基本過程.

[關鍵詞] 初中數學；歸納推理；教學建議

歸納推理在初中數學中頻繁出現，也有著非常豐富的案例，課程標準也提出了較為明確的要求. 但是，依然有很多學生無法對歸納推理的思維方法形成全面的理解，以至于他們在問題處理時，經常因為無法找到切入點而放棄. 為了幫助教師有效地展開歸納推理教學，進而促成學生對該項思維方法形成理解和認識，筆者提出以下幾點教學建議.

關注對新知識形成過程的分析

在數學教學過程中，針對每一個新知識點，教師要引導學生對知識產生的真實情景、理論的演變過程進行深入理解. 為此，我們在教學中要指導學生深入理解歸納推理的基本原理，并對知識的生成過程進行研究，從而啟發學生自主進行知識歸納，同時幫助學生積累歸納經驗，為相應能力的形成打下基礎.

有關歸納過程的基本步驟，波利亞在《數學與猜想——數學中的歸納與類比》一書中有著這樣的表述：首先，學生要對某些相似性引起注意；然后是一個逐步推廣的過程. 教師在教學過程中，要結合具體的案例進行講解. 比如，在引導學生建立一元二次方程的概念時，教師會提供以下幾個方程：①（8-2x）·（5-2x）=18；②x2+（x+1）2+（x+2）2=（x+3）2+（x+4）2；③（x+6）2+72=102. 然后由學生通過比較來發現方程的關鍵屬性，進而歸納出一元二次方程的概念. 實際操作中，教師應該先指導學生對三個方程的基本特點進行觀察，讓學生自主發現方程的相似性以及公共特征，然后由學生歸納這一類方程的特點. 最后，在教師的啟發下，學生主動建構一元二次方程的基本概念. 如此，學生便全方位地經歷了整個概念的形成過程，這不僅有助于學生對概念形成理解，同時也增強了學生對歸納推理方法的理解.

在這一過程中，教師要對歸納的正確性與開放性予以充分關注. 歸納的正確性是指只要是學生依據素材所得出的正確結論都應該得到教師的肯定. 比如上述例子中，學生圍繞三個方程的特點能夠歸納出的結論有很多：都屬于等式；方程中的未知數都以x表示；都含有二次多項式……盡管這些結論都不屬于一元二次方程的關鍵屬性，但是它們都是正確的. 歸納的開放性是指教師要放慢節奏，不要急于求成直奔主題，而要提供學生自主思考和聯想的空間，不能生硬地將學生的思維引向教師自己預設的方向. 比如拋硬幣實驗很可能出現實驗所得數據與理論概率存在明顯偏差的現象（比如硬幣質地不均勻引起概率變化等），這種情況下，教師不能武斷地判定學生錯誤，而應該順勢讓學生進行深入研究，進而歸納更深層次的結論.

讓學生在目標指向下實施有目的的猜想

敢于猜想是學生歸納推理能力發展的關鍵. 在數學知識的探索過程中，學生要能夠從自己的感覺和直覺出發，結合個體經驗展開大膽猜想. 當然，敢想還是一個淺層的思維活動，會想才是一種高階思維品質. 教師指導學生遵循數學規律進行歸納，就需要幫助學生明確歸納推理的方向. 為此，教師要給予他們針對性的提示，幫助學生朝著自己“預想”的方向展開思考，讓他們能夠有意識地避開思維和探索上的誤區. 此外，教師還要鼓勵學生切換思維的方向和角度，進而獲得對問題較為全面的認識.

如果教師僅僅只是讓學生比較這些不等式的特點，那么可能有一部分學生會圍繞不等式兩邊同時乘正數或負數來進行思考，進而歸納出不等式的基本性質；但也會有一部分學生會著眼于在不等式兩邊乘上整數或分數來進行思考，這就無法得到教師預想中的性質. 顯然，在學生正式進行歸納推理之前，教師就要提供一個較為明確的思考方向.

因此，在學生完成填空題之后，教師可以通過以下問題進行引導：

（1）對于不等式2<3，如果同時在不等式的兩邊乘上或5，不等號的方向是否會發生變化？你能由此形成什么結論？請再列舉一些例子，看看你的結論是否正確.

（2）對于不等式2<3，如果同時在不等式的兩邊乘上-，-5或-1，不等號的方向是否會發生變化？你能由此形成什么結論？請再列舉一些例子，看看你的結論是否正確.

通過這樣的引導，學生自然能夠循著正確的方向展開探索，并形成有目的的猜想. 在這樣的探討過程中，師生雙方更容易達成共識，也將更加順利地形成結論. 當然，預想的目標不應該是一項硬性的規定，它應該是研究者對數學規律最基本的感受. 比如，在對概念和定義進行歸納時，必須是對本質屬性進行歸納，學生在觀察和分析中會得到很多屬性認識，然后從中篩選出本質屬性，進而形成定義. 比如，讓學生對平行四邊形的定義進行歸納時，他們在觀察中會得到“對角線互相平分”“兩組對邊分別相等”等結論，但是這些最終都沒有成為平行四邊形的定義，因為定義必須能直觀地反映出事物最為本質的屬性，所以平行四邊形的定義是“兩組對邊分別平行”. 通過這樣的探索過程，學生既全面地了解了事物的特征，同時又把握了事物的本質. 換言之，學生在歸納推理中不僅收獲了定義，還認識了許多性質定理.

必須強調的是，教師在教學過程中不能將自己的意識強加給學生，這自然就需要給予學生更多的探索和思考時間. 考慮到初中數學課時緊張、任務繁重的特點，教師可以將有關內容留作課前預習問題或課后思考題，這樣，學生就能獲得充足的思考時間. 總之，教師要善于調控和引導，先讓學生能夠“盡可能”地想象，再引導學生圍繞結論的本質屬性進行篩選，從而逐漸接近事物的本質.

讓學生感悟歸納推理的基本過程

指導學生結合歸納經驗來實施目標歸納屬于一種感悟過程，部分教師在教學中將這種經驗變成知識，要求學生記住相關步驟，這樣的操作雖然在短期內有一定的可行性，但是能力的培養絕不是一種知識的堆砌. 歸納推理是直覺思維和邏輯思維相互交織的過程，具有一定的規律性，教師在教學中應該引導學生對其過程進行整體性理解，并結合具體實例對相關內容進行體會，這才有助于他們能力的培養.

筆者認為，學生首先要了解歸納、推理的基本流程，這樣他們才能明確自己在操作中應該先做什么、再做什么. 基本流程可以分為以下幾個步驟：（1）綜合而細致地分析多個特例；（2）明確歸納的基本方向，探求特例的共性因素和規律；（3）通過猜想來探索共性因素和規律，并進行科學表述；（4）通過嚴謹的證明來證實猜想的正確性.

這些步驟在不一樣的問題處理過程中都會有適當的調整，教師應要求學生運用時要避免過于機械. 例如，在對特例進行歸納時，特例的數量達到多少才合理？五個、十個，還是更多？這些都要學生結合具體的問題來確定，如果歸納結果出現較大偏差，就需要學生增添更多的例子，以實現猜想的修正.

綜上所述，歸納推理作為初中數學教學中的重要內容，同時也是數學知識最重要的探索方法之一，教師要關注學生該項能力的培養. 在教學中，教師遵循歸納推理的實施步驟來設計教學過程，可以幫助學生拓展數學認知視野，激發他們的數學學習興趣，改進他們學習數學的方法，提升他們的創新思維能力，這樣，他們的歸納推理水平也將在這一過程中得到提高. 當然，教師在教學中也必須意識到學生已有的經驗和知識是他們進行歸納推理的基礎，所以，教師一方面要鼓勵學生大膽猜想、積極歸納，激發他們最原始的歸納欲望；另一方面，教師也要提醒學生不斷學習、勤于反思，這樣才有助于他們增大知識儲備，進而增強他們歸納推理的目標意識，減少過程的盲目性.