剝開表象認本質 幾何直觀助析題

丁堅鋒

[摘 要] 本文展示了一道幾何題解題思路的形成過程，揭示了它的幾何特征，并提出通過引導學生識別幾何問題本質特征探究問題解法的教學，有助于學生幾何直觀的培養和數學活動經驗的積累.

[關鍵詞] 解法探究；幾何直觀

作為一名數學教師，在解題時也會出現“卡殼”的尷尬局面. 筆者在一次備課時遇到一道幾何題，想了半個小時沒有解決，后來經過一番思索，跳出原來的思路，終于找到了解決問題的辦法，真有“眾里尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的感覺. 筆者對解題過程進行了反思，并對這個問題的本質特征進行了探究.

問題呈現

試題 （2016年北京市朝陽區中考二模試卷第10題）如圖1，△ABC為等邊三角形，點O在過點A且平行于BC的直線上運動，以△ABC的高為半徑的⊙O分別交線段AB，AC于點E，F，則所對的圓周角的度數（ ）

A. 從0°到30°變化

B. 從30°到60°變化

C. 總等于30°

D. 總等于60°

思考過程

1. 一次失敗的探索過程

要說明所對的圓周角的度數等于30°，即證明∠EOF=60°. 筆者從常見的“共點雙等腰三角形”圖形中得到啟示，嘗試通過構造等邊三角形，證三角形全等，利用全等三角形的性質解決問題.

如圖2，在AC上截取AG，使AG=AO，連接OG，得正三角形AOG，所以AO=OG. 由已知得OE=OF，∠OAE=∠OGF=120°. 思來想去也僅能得到這些條件，而這些條件并不能證明△OAE≌△OGF.

然后，筆者又嘗試通過改變OG的作法，證明△OAE≌△OGF. 如圖3，過點O作OG∥AB，交BC于點H，若能證明BE=BH，就能得到AE=GF，全等的條件也就能滿足了，可是，證明BE=BH太困難了. 到此，筆者放棄了這個思路.

2. 在記憶中尋找“舊相識”

經歷一次失敗的探究之后，筆者重新審題和讀圖，忽然間，腦子里浮現出了曾經做過的一道幾何題，這兩道題的條件不同，但是圖形特征很相似. 于是，筆者再一次進行了嘗試.

如圖4，作點E關于直線AO的對稱點E′，連接OE′，AE′，易知E′，A，C三點共線，OF=OE=OE′. 設∠OE′A=∠OFA=α，∠AOE′=∠AOE=β，則α+β=60°. 所以∠FOE′=180°-2α，∠FOE=∠FOE′-∠EOE′=180°-2α-2β=60°. 問題得到了解決.

與此同時，筆者發現點E′剛好落在⊙O上，如圖5，延長CA交⊙O于點E′，連接EE′，得到等腰三角形AEE′，不難發現∠EAE′=120°，故圓周角∠AE′E=30°. 這個方法（記為解法2）非常簡便，令人叫絕，也令筆者陷入深思：還有沒有其他的解法？這個方法是不是最簡便的方法？是圖形的哪些特征決定了這個解法最簡便？

3. 借助點的軌跡尋思路

波利亞在《怎樣解題》中說道：“在求解過程中，我們很可能再三地改變我們的觀點，或者改變考慮問題的途徑. 我們應該不斷地變更我們的出發點. ”當解題遇到困難時，更要回到已知，選擇合適的出發點.

我們要證明∠EOF=60°，則一定存在∠EOF=∠BAC的事實，那么點A，E，F，O一定在同一個圓上，基于這樣一個想法，筆者又開始了新的探索.

如圖6，設過A，E，F的圓交直線AO于點O′，連接EO′，FO′，則∠O′EF=∠O′AF=60°，∠EO′F=∠EAF=60°，所以△O′EF是等邊三角形. 所以O′E=O′F. 所以點O′在EF的垂直平分線上. 因為OE=OF，所以點O也在EF的垂直平分線上. 而EF的垂直平分線與直線AO只有一個交點，故O′與O重合. 問題亦得到解決.

剝開表象，探究本質

1. 改變條件，分析結論的變化規律

筆者在上述解法探究過程中，嘗試過將△ABC換成等腰直角三角形、一般的等腰三角形和改變⊙O的半徑，進行結論的類比和規律的探究.

如圖7，當△ABC為等腰直角三角形時，有∠EOF=∠BAC=90°；如圖8，將△ABC換成一般的等腰三角形（AB=AC），當⊙O的半徑在變化時，∠EOF=∠BAC仍成立.

若把圖1倒過來，便成了圖9，這個問題可以敘述為：CN為正三角形ABC的外角∠ACM的平分線，點O是直線BC上的一個動點，連接AO，以點O為圓心、AO長為半徑畫弧，交CN于點P，則∠AOP=60°. 類似地，將正三角形ABC分別換成正方形、正五邊形和正六邊形，如圖10～12，∠AOP分別為90°，108°，120°. 顯然，換成其他的正多邊形都有類似的結論，這不禁讓人想起∠AOP與正多邊形的內角是否有關. 但是，不以AO為半徑就沒有這個結論，把正多邊形的外角平分線換成其他的線，結論也是不成立的.

事實上，正多邊形不是必要條件，∠AOP的度數與正多邊形的內角也沒有必然的聯系，那么它與什么有關？

2. 通過對比，發現圖形的本質特征

下面以正五邊形為例說明正多邊形（因為證法完全一樣）具有這種特征. 如圖14，CN為正五邊形ABCDE的外角∠DCM的平分線，易知∠ACB=∠MCN=36°，作點A關于直線BC的對稱點A′，連接A′C，則∠A′CB=∠ACB=∠MCN，所以點A′在直線CN上.

因為原問題中具有這個基本圖形（圖13）的特征，解法2正是利用了這種特征，所以會如此簡便.

基于問題解決的思考

探究幾何圖形本質特征有助于培養幾何直觀，提高析題能力.

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，是《義務教育數學課程標準》（2011版）里提出的十個核心概念之一. 它是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知，所以它能幫助學生直觀地理解數學.

西方哲學家通常認為，直觀就是未經充分的邏輯推理，而對于事物本質的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質的認識. 然而，直觀需要基于人腦記憶的快速提取和信息的處理. 按照圖式理論，人腦中所保存的一切知識都能分成單元、構成“組塊”和組成系統. 數學知識可以被提煉成記憶線索和“組塊”，如定義、定理、常見的幾何基本圖形和數學模型等都可以看成是“組塊”. 它的優點是“組塊”中所包含的知識較簡約，結構化程度高，便于識記. 數學解題活動就是利用“組塊”特征，從問題中抽取出其特點、本質或者基本的東西，并構建起它們之間的聯系，逐步消除目標差，從而找到正確的解題思路.

上文中對圖形本質特征的探究就是對問題核心條件的凝練，是對問題深度認知的過程，是提高問題表征能力的過程，也是一種構建內在心理表征的過程. 這種活動就是以已有的知識經驗為基礎，通過與其他因素的相互作用來構建新的理解，促進數學學習者建立起良好的認知結構，形成新的記憶“組塊”. 那么，作為數學教育工作者，就不能一味地追趕教學進度，搞題海戰術，而要重視通過向學生展現思路尋找的過程，挖掘問題的本質，使其領悟思維策略的自然與合理性，并鼓勵學生從事抽象與概括活動，提高問題表征能力和幾何直觀能力.