圓錐曲線單元復習的教學設計探究

張曉燕

[摘 要] 根據學生認知結構的需要，在學完一個單元知識后，開設相應的單元復習課，將所學的知識內容進行有機地連貫，讓學生更為深刻地認識本章節知識內容的本質屬性，從而形成知識的網絡結構，這對提高學生運用數學的能力會大有裨益。

[關鍵詞] 單元復習；思維訓練；知識網絡

一、問題的提出

高中數學的單元復習課是將前面所學的內容進行簡單的回顧，還是通過大量習題來鞏固知識與技能？教師如何通過精心的設計及點評促進學生對該章節的內容的理解，進而能融會貫通？上述問題若沒有解決好，復習課或許就成為新授課的復制品，不但使學生易產生倦怠，而且也很難使學生在原有認知的基礎上再上新的臺階。筆者認為，復習課的設計應側重于歸類綜合，縱橫溝通，才能使知識的網絡長期根植于學生的腦海之中。

二、明確目標，精心設計

系統掌握圓錐曲線知識，對圓錐曲線的定義、方程、幾何性質、定性研究等方面進行綜合復習。進一步體會坐標法解決幾何問題，提升學生的思維能力和運算能力。重點是知識梳理歸類，形成知識網絡，圓錐曲線的綜合應用。該課以問題鏈的形式引導學生梳理單元知識與方法，加強各知識點間的橫向聯系，將單個的知識連成串，結成網。著重引導學生尋找發現數學的本質，指導學生用類比的方法研究圓錐曲線問題，增強學生舉一反三的學習能力。設計把課堂結構順序調整過來，讓學生有效先學，課堂以探究體驗為核心，展示交流為途徑，實現以學生為主體的學習模式。在教學之前教師精心準備該課的典型例題，以該單元的內容為切入點，從課前練習逐步深化到課中，讓學生在已有知識基礎上不斷地探究更深層次的內容，以螺旋式上升的教學，促進學生掌握本章節知識與方法。

課前練習1、2

1.已知動圓P過點，且與圓N：相切，求動圓圓心P的軌跡方程。若改變圓N的半徑，使點M在圓N上或在圓N外，點P的軌跡方程是什么？

2.課本P28推導橢圓的標準方程過程中，有方程①，

②。將②式變形為③，再將③式變形為④。回答下列問題：（1）你能解釋方程①、④的幾何意義嗎？（2）根據③式你能得到什么結論？從函數角度分析③式等號右邊的式子，你有什么發現？（3）方程④中的離心率e的范圍是時，它表示什么曲線？時，它表示什么曲線？

設計說明：回顧本單元已學的知識與方法是單元知識復習必不可少環節之一，第1題的目的是將知識與方法蘊藏于問題之中，避免了空洞的羅列概念，學生在思考解決問題的過程中回顧相關知識、弄清概念、操練方法、積累經驗。

第2題引導學生理解性閱讀課本知識，將等式中蘊藏的橢圓的定義、焦半徑公式、橢圓上的點到焦點距離的取值范圍、圓錐曲線的統一定義等基礎知識一一尋找出來，讓學生感知各部分之間的聯系，從而使得學習內容在學生心目中成為一個知覺整體。旨在將新授課中學習的零散知識串連，學生基礎知識得到系統梳理，形成知識網絡，構成有機整體。

課前練習3

3.已知是圓錐曲線C的焦點，P為C上任一點，點。

（1）若曲線C的方程是，則PA+PF的最小值是__________；

（2）若曲線C的方程是，則PA+PF的最小值是__________；

（3）若曲線C的方程是，則PA+PF的最小值是__________。

變式：已知是橢圓C：的右焦點，P為C上任一點，點，求PA+PF的最小值。

設計說明：練習3三道題形式類似，解法相同，課堂上指導學生觀察三個目標式中PF的系數特征，點P在相應準線上的射影及點A與圓錐曲線的位置關系，引導學生探究求PA+PF的最小值一般解法。反思將目標式轉化為（d為點P到相應準線的距離）的目的是什么？將問題轉化為求定點A與定直線（與焦點F相對應的準線）上的動點距離的最小值，其幾何依據是點到直線的距離最短。

變式與練習3題型貌似相同，但目標式中PF的系數不再為，類比前三題的解法，將PF轉化為到相應的準線距離已行不通，思維受阻！引導學生再思考練習1中目標式轉化為的目的，類比解決問題的幾何本質，解題思路就此打開！設橢圓的左焦點為F1，將目標式轉化為，問題轉化為橢圓上的動點P與橢圓內兩定點A，F1距離之差的最小值，其幾何依據是三角形兩邊之差小于第三邊。

通過這一系列問題的探討，對問題的解決方法進行歸類總結，不僅加深學生對問題的數學本質理解，優化了認知結構，而且將圓錐曲線中的這類問題與學生熟知的幾何原理聯系起來，學生感到熟悉，能較快地使新知在原有的認知結構中找到附著點，知識融會貫通，順利將新知納入到舊知結構中，形成牢固的知識體系。

課前練習4

4.在△ABC中，，，直線AB，AC的斜率乘積為，求頂點A的軌跡。

設計說明：練習4是課本的一道習題，蘊含豐富的教學功能。

功能之一：動中有定的好素材。運動變化中尋求變化規律或定點、定值及某特定性質是解析幾何研究的重點。若平面內的動點M與兩個定點，的連線的斜率分別是，，若為正常數，則點M在以A1，A2為頂點的雙曲線上；若為負常數，則點M在以A1，A2為頂點的橢圓上。反之，雙曲線上的點與兩頂點連線斜率之積為一正常數；橢圓上的點與兩頂點連線斜率之積為一負常數。

功能之二：培養學生類比的思維模式。橢圓與雙曲線的學習有積極的相互遷移作用，研究橢圓（雙曲線）的某一性質時，通過問題的引領，學生會很自然的思考雙曲線（橢圓）中有沒有類似的結論。有意識地培養學生的類比思維模式，他們就能經常利用一些簡單的類比問題的解答，逐點模仿求解，有時也可利用較簡單類比問題的方法或結果去思考解決問題，往往達到事半功倍的效果。

功能之三：具有探究價值。橢圓上異于長軸的點與長軸的兩端點連線斜率之積為定值，與短軸兩端點連線斜率之積也是定值，由于長軸與短軸的端點都關于原點對稱，那么橢圓上關于原點對稱的任意兩點與橢圓上的任一點連線斜率之積也是定值嗎？雙曲線上關于原點對稱的任意兩點與雙曲線上的任一點連線斜率之積也是定值嗎？這種具有典型性、探究性、發散性的問題，讓學生經歷合情合理的觀察、思考、實驗、推導的過程，發現數學的內在規律，認識、理解數學本質，培養數學能力。

三、引導探究、注重思維訓練

在實際教學中教師可采用以問題鏈的形式引導學生展開探究性學習。以課前練習4為例。

問題1：軌跡與軌跡方程的區別是什么？點A的軌跡是雙曲線上所有點嗎？

設計說明：辨別軌跡與軌跡方程的區別，以及培養思維的嚴謹性。

問題2：平面直角坐標系xOy中，動點M與兩個定點，的連線的斜率之積是不為零的常數，請你給定一個常數，求出相應的點M的軌跡方程。

設計說明：讓學生展示交流，發現當給定的常數為正數時，M在以A1，A2為頂點的雙曲線上；當給定的常數是負數時，M在以A1，A2為頂點的橢圓上。

問題3：根據討論，你有什么猜想？請驗證你的猜想。

設計說明：滲透特殊到一般數學思想，讓學生發現、歸納、驗證一般性的規律。

問題4：平面直角坐標系xOy中，是橢圓C：的左右頂點，M是橢圓C上異于的任一點，你有什么猜想？請驗證你的猜想。

設計說明：引導學生反過來思考，培養逆向思維。

問題5：平面直角坐標系xOy中，是橢圓C：的上下頂點，M是橢圓C上異于的任一點，成立嗎？請說明理由。

設計說明：為引導學生進一步的探索、思考做鋪墊。

問題6：我們發現了，，與都是橢圓C的頂點，每對點在坐標平面內有什么位置特點？對于橢圓上任意關于原點對稱的點，成立嗎？

設計說明：引導學生發現數學的內在規律，認識理解數學本質。

問題7：在平面直角坐標系xOy中，過原點的直線與橢圓交于A，B兩點，M為橢圓上任一點，若MA，MB斜率都存在，則。寫出雙曲線中類似的結論，并判斷其真假。

設計說明：滲透類比的數學思想方法，逐步培養學生運用類比的思維模式。

問題8：（2011江蘇高考）如圖，在平面直角坐標系xOy中，M，N分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k。

設計說明：該復習課側重展現了知識的應用價值。使學生通過該課的學習不僅要具備良好的有觀察和歸納能力，也會在探究的過程中不斷地獲得新的體驗，從而形成較好的應用意識。

四、結語

本課通過對教材的挖掘，為學生搭建了探索型腳手架，將基本概念梳理復習及練習放在課堂之前，在課堂教學中主要以師生互動、同伴協作和交流為主體，以學生的探究為主題，將學生知識的內化放在首位，這對學生的后續學習將會產生積極的推動作用。

（責任編輯：張華偉）