3D建模中數學函數的巧妙應用（上）

謝作如++楊玉軒

在創客教育中，3D建模與3D打印是很重要的組成部分。按理說，3D建模與數學是息息相關的，但審視中小學常用的3D建模軟件，更多的是在考量鼠標操作的熟練程度，幾乎看不出“數學”體現在哪里。因而，我們希望更多的老師教學生用“3D程序員”來建模，力求在“造物”的同時，把數學知識也用起來。

要用“3D程序員”設計出具有圓滑曲線表面的模型，肯定離不開函數的幫忙。函數幾乎是所有學生數學學習的痛點，但建模并不關注對函數原理的研究，只要知道什么樣的函數能產生什么樣的圖形即可。按照初等數學和高等數學兩部分內容，我們分別例舉數學函數在3D建模中的巧妙應用。

初等數學中的函數與應用

初等數學中，學生能夠學習到基本的初等函數，如指數函數、對數函數、冪函數、反函數以及三角函數等（如下表）。這些函數用圖像來表示，如圖1所示。

那么，建立3D模型時可以利用這些函數來實現什么功能呢？下面來看幾個例子。

1.用拋物線做筆擱

很多立體圖形都可以通過平面圖形拉伸而成，如立方體。“3D程序員”中的數學模塊，包含了基本的初等函數，圖2為一個自變量為x的二次函數圖像，圖像為拋物線。“3D程序員”給拋物線加上“線寬”的屬性，只要用拉伸功能，就能形成一個立體模型。

筆擱是毛筆書法中除文房四寶之外，另一不可或缺的物品。（仔細觀察筆擱的構造如下頁圖3所示）很快就會發現其中的規律：筆擱主要是由曲線組成，而這段曲線又是不規則的，可以通過不同的函數方程拼接出來。

把形狀圖放入坐標系，再根據坐標系寫出曲線方程，如下頁圖4所示。

根據不同函數的圖像特點，拼接出一個所需的圖像，函數如下。

f（x）=-x^2+7 x∈[-2.5，0]

g（x）=√（10x+64） x∈[-6.4，-5.3]

h（x）=-（x+3.5）^2 x∈[-5.3，-2.5]

根據函數畫出一半圖像后，利用“3D程序員”中的“鏡像”指令，完成構圖（如圖5）。在沒有給出確定坐標值的情況下，學生想出的數學公式并不是唯一的，尋找合適的數學公式的過程，就是一次有趣的探究。

2.用正弦函數設計“激光劍柄”

《星球大戰》作為一部經典電影，一直深受“星戰迷”的喜愛。在電影中，用于近身格斗的激光劍也成為《星球大戰》的象征，制作一把激光劍是很多創客的選擇。除去劍身，最主要的部分當屬劍柄，而激光劍柄需要有流線的外形（如圖6）。

分析劍柄的曲線部分，其是利用三角函數中的正弦函數曲線特性，減小自變量的值使曲線變得平滑。周期變大，坐標軸顯現如圖7所示。

公式：f（x）=2.4+sin?（0.35x） x∈[2.5π，7π]

輸入2D函數，利用其他指令和形狀進行拼接組合，再利用“旋轉”功能，就可以完成劍柄的制作。在如圖8所示的模型中，劍柄還要挖空，用于放入電源及其他電子器件，所以特意開了一個口子，用于安裝控制激光劍效果的“按鈕”。

3.用“心臟線”做吊墜

“心臟線”是一種比較特殊的函數。心形函數有很多種表達式，利用任何函數圖像的特性組合為一個分段函數形成一個心形線，如下頁圖9所示，最終在“3D程序員”中畫出了心形函數的圖像。

公式：f（x）=√（1-（|x|-1）^2 ） x∈[-2，2]

g（x）=arccos?（1-|x|）-3 x∈[-2，2]

利用“心臟線”可以做一個心形吊墜，用一個球與拉伸后的“心臟線”進行凸殼處理，即可得到一個心形的實體（如下頁圖10）。

需要提醒的是，可以先取“心臟線”的一半（只需改變x的取值范圍）和球的一半，進行凸殼處理，之后鏡像翻轉，再進行布爾合并即可。

小結

不管是指數函數、冪函數、對數函數還是三角函數，它們都有一個共同點，就是圖像都是曲線，更改變量后會得到無數種圖形。同時，根據一個函數圖像，也可以得到該圖像的無數種表達式。確定和不確定的融合，這就是數學建模的樂趣所在。

函數并不只存在于數學運算中，它時刻與我們相伴。在進行3D建模的過程中，僅僅用肉眼很難畫出一條完美的曲線，如果能夠合理地利用各類函數的特性進行組合，設計出來的作品就會更加精彩。使用“3D程序員”來設計3D模型，能夠將抽象的邏輯與運算真實地呈現在現實世界中，讓學生更加深刻地體驗到數學之美。