基于AR模型的現(xiàn)代功率譜估計算法在新型甲烷檢定裝置的應(yīng)用

李富偉+梁龍+向艷芳

摘要：采用基于AR模型的現(xiàn)代功率譜估計算法的工作原理，分別將Yule-Walker算法，Burg算法和協(xié)方差算法等3種現(xiàn)代功率譜估計方法，用于新型紅外激光甲烷儀表標(biāo)準(zhǔn)檢定裝置的信號處理。通過Matlab軟件仿真表明：Burg算法的運算周期和實時性等能滿足甲烷檢定裝置的要求，能實現(xiàn)檢定裝置的動態(tài)檢定和甲烷濃度梯度瞬變控制。

關(guān)鍵詞：新型紅外激光甲烷儀表標(biāo)準(zhǔn)檢定裝置；Yule-Walker算法；Burg算法；協(xié)方差算法

中圖分類號：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-9416（2017）07-0147-04

1 引言

傳統(tǒng)的甲烷檢測儀器有催化燃燒式甲烷檢測儀、光干涉型甲烷檢測儀和熱導(dǎo)式甲烷檢測儀，采用通氣擴散方式進(jìn)行計量檢定，其檢定裝置和方法相對較為成熟。近年來，隨著光學(xué)及電子技術(shù)的發(fā)展和快速，基于紅外激光原理的新型甲烷檢測儀器得到了推廣應(yīng)用，但由于新型紅外激光甲烷儀器檢定裝置須采用動態(tài)性能的自動檢定方法，其運算實時性和準(zhǔn)確性是實現(xiàn)儀器檢定結(jié)果正確的重要保障。

結(jié)合國內(nèi)外現(xiàn)有的信號處理芯片和檢定裝置工作原理，選定TI公司浮點型DSP芯片作為新型紅外激光甲烷儀器檢定裝置的中央處理器，其主頻一般在300MHz-500MHz。同時，基于AR模型的現(xiàn)代功率譜估計算法是現(xiàn)代化信號處理重要方法之一，其功率譜是只有極點，沒有零點，易于反映功率譜中的峰值，可用于新型紅外激光甲烷儀器檢定裝置。

2 基于AR模型的現(xiàn)代功率譜估計算法的工作原理

現(xiàn)代功率譜估計利用先驗信息（或假設(shè)）為數(shù)據(jù)樣本的隨機過程選擇一個準(zhǔn)確的模型，從數(shù)據(jù)樣本中估計出模型的參數(shù)，從而得到一個較好的譜估計值。

假定一個線性系統(tǒng)的模型為H（z），它的輸入為序列u（n），它的輸出為我們所研究的過程x（n）。無論x（n）是確定性的信號還是隨機信號，u（n）和x（n）總是存在如下關(guān)系：

其中為白噪聲的方差。

根據(jù)參數(shù)提出方式的不同，基于AR模型的功率譜算法可分為Yule-Walker算法，Burg算法，協(xié)方差算法等。

2.1 Yule-Walker算法

Yule-Walker算法就是根據(jù)已知的自相關(guān)函數(shù)，利用Levinson-Durbin算法求解Ylue-Walker方程得到AR模型的個參數(shù)（其中），從而實現(xiàn)功率譜估計。Ylue-Walker方程如下所示：

（3）將最后求出的參數(shù)帶入式（3）中，即可求出x（n）的功率譜。

2.2 協(xié)方差算法

協(xié)方差算法是在利用復(fù)梯度法求解預(yù)測誤差功率，在求解極小值的過程中估計出AR參數(shù)下面的協(xié)方差方程的解：

矩陣A的Cholesky分解為

其中上式中的D是主對角元素都為正實數(shù)的對角陣，即。L是主對角元素都為1的下三角陣。

用Cholesky算法求解上面的正定方程組的方法是：先用回帶方法求解方程組，得到Y(jié)的解；然后將求的Y再用回帶方法求解方程。

用協(xié)方差算法估計AR模型參數(shù)的具體步驟如下：

（1）根據(jù)式（6）計算協(xié)方差式；

（2）根據(jù)式（7）計算激勵白噪聲的方程；

（3）用Cholesky算法求解對稱的正定協(xié)方差矩陣方程組；

（4）最后將估計出的參數(shù)帶入式（3），即可求出x（n）的功率譜。

2.3 Burg算法

與Yule-Walker算法、協(xié)方差算法相反，Burg算法是首先令前后項預(yù)測誤差功率之和為最小而估計出反射系數(shù)，然后利用Levinson-Durbin遞推得到AR參數(shù)估計值。的表達(dá)式為：

Burg算法的具體求解步驟如下：

（1）將初始條件帶入式（8）求出；

（2）由式（10）得m=1時的參數(shù)：；

（3）將和帶入（9）求出，然后代入式（8）求出；

（4）以此按照式（10）和（11）的Levinson遞推關(guān)系，求出m=2時的；

（5）重復(fù)上述過程，直到m=p，就求出了所有階次時的AR參數(shù)，然后將其帶入式（3）中，得到x（n）的功率譜。

3 Matlab仿真試驗

為了驗證以上討論的幾種現(xiàn)代譜估計算法的性能，我們使用Matlab工具中的函數(shù)y=awgn（x，SNR），在一個正弦信號中加入高斯白噪聲而產(chǎn)生不同信噪比（SNR）的信號分別進(jìn)行譜估計，其中正弦信號的采樣頻率為5KHz，信號的頻率為200Hz，信噪比分別為0.5dB，1dB，5dB和10dB。然后，分別應(yīng)用30階的Yule-Walker譜估計算、30階的Burg譜估計算法、30階的協(xié)方差譜估計算法對不同信噪比的模擬信號進(jìn)行處理，其功率譜詳圖1、圖2、圖3，分析結(jié)果詳見表1。

從圖1-3和表1可以得出，協(xié)方差算法的仿真結(jié)果最佳，但是運算量很大，運算周期長；Burg譜估計算法雖然較協(xié)方差譜估計算法效果稍差，但得到的譜估計圖形的峰值尖銳度比Yule-Walker算法要大，容易識別譜峰，由它產(chǎn)生的頻率估計值對于信號的相位不敏感，并且對于由噪聲產(chǎn)生的譜峰偏移也比較小；Yule-Walker算法譜估計最差，但運算周期較短，實時性較好。

4 結(jié)論

在本檢定裝置中采用的是DSP信號處理系統(tǒng)，需在保障數(shù)據(jù)準(zhǔn)確的基礎(chǔ)上，滿足對動態(tài)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)處理和分析，因此，選擇Burg譜估計算法作為檢定裝置的核心處理方法，實現(xiàn)檢定裝置的動態(tài)檢定和甲烷濃度梯度瞬變控制。

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