高職高數(shù)基本知識(shí)點(diǎn)的橫向鄰接與縱向拓展

戴興波

摘 要：高等數(shù)學(xué)基本知識(shí)點(diǎn)，如果不注意學(xué)習(xí)技巧，不但在理解上會(huì)給學(xué)習(xí)者帶來困惑，也會(huì)對(duì)記憶產(chǎn)生影響，從而會(huì)對(duì)后續(xù)銜接學(xué)習(xí)內(nèi)容帶來阻力。筆者通過多年的教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，高等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)點(diǎn)在整體布局上是有規(guī)律可循的，有些知識(shí)點(diǎn)之間存在著有機(jī)的橫向聯(lián)系，有些知識(shí)點(diǎn)之間能夠縱向相互支撐，也可以進(jìn)行縱向拓展。

第一部分：基本知識(shí)點(diǎn)的橫向鄰接。我們以定積分為例。我們知道，定積分的概念是建立在極限基礎(chǔ)上的，其基本思想是“化整為零、積零為整”或者叫“以曲代直”，以常規(guī)問題的解決手段解決非常規(guī)問題，如，不規(guī)則圖形的面積、變速運(yùn)動(dòng)問題的即時(shí)速度等。從基本知識(shí)點(diǎn)的串接上，自然聯(lián)想到了有限項(xiàng)加和公式各種極限的求法、原函數(shù)、不定積分、牛頓萊布尼茨公式等；從思想原理上來看，屬于從特殊到一般然后再回到特殊中去的一種思維規(guī)律。從分析的過程不難看出，概念的橫向串接往往是以類接和鄰接為主，而縱向拓展也表現(xiàn)為縱深延拓和反向縱深延拓（即由深層次向淺層次追溯）。下面我們對(duì)類接和鄰接進(jìn)行專門總結(jié)。[1]

一、概念定理原理的類接

許多數(shù)學(xué)概念、定理、原理方面，都存在橫向類接的問題。這類似于歸類方面的知識(shí)鏈接，但又不完全等同于歸類分析。同一個(gè)概念、原理、定理，如果從不同的角度，可以得到不同的類接結(jié)果。如極限的概念的類接如下圖：

以上兩種類接分析告訴我們，不同的分析角度可以產(chǎn)生兩種完全不同的類接結(jié)果，這也就給我們提供了多層次類接分析的方法。通過本例我們得到了這樣的啟示：同樣的概念、定理和原理，我們?yōu)榱藢?shí)現(xiàn)盡可能全面的了解，就要盡量從不同角度，對(duì)同樣的問題進(jìn)行多層次描述，從而達(dá)到全面分析掌握的目的。[2]

二、概念原理的鄰接

許多數(shù)學(xué)概念、定理和原理之間存在著鄰接。所謂鄰接就是在概念層面上比較接近，在使用上能相互滲透，在記憶上能相互支撐的部分。[3]

我們以連續(xù)的概念為例。連續(xù)，包括一元函數(shù)連續(xù)、二元函數(shù)連續(xù)、多元函數(shù)連續(xù)等。而連續(xù)本身的概念，就鄰接著函數(shù)的定義域、函數(shù)值、奌極限等概念。另外，連續(xù)本身也類接著增量概念、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、區(qū)間連續(xù)、最值性、有界性、介質(zhì)性等都是連續(xù)的直接結(jié)果。因?yàn)檫B續(xù)是用增量定義的，而導(dǎo)數(shù)也是用增量進(jìn)行定義的，只不過是，連續(xù)是關(guān)于自變量增量與函數(shù)增量的先后關(guān)聯(lián)定義，而導(dǎo)數(shù)則是這兩個(gè)增量的相互比值定義，而可微也是關(guān)于這兩個(gè)增量變化的線性關(guān)系定義，從而存在著鄰接關(guān)系。而連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，從而也必然可積。如下所示：

第二部分基本知識(shí)點(diǎn)的橫向拓展。高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵概念之間，不僅和其它概念之間存在著橫向鄰接聯(lián)系，同時(shí)，還存著著縱向串接關(guān)系。再?gòu)目v向拓展和滲透的角度考慮，我們發(fā)現(xiàn)實(shí)際上是用簡(jiǎn)單的方法，解決了復(fù)雜的問題。例如：基本知識(shí)點(diǎn)的縱向拓展范例：極限—無窮小—導(dǎo)數(shù)---微分---積分

從定積分概念的縱向發(fā)展來看，從最初的一元函數(shù)的分割、取點(diǎn)、作和式、取極限定義過程，再到幾何意義；從一元函數(shù)再到二元函數(shù)二重積分再到三重積分直至多重積分；從定積分再到可變上限的積分，從常規(guī)定積分再到反常積分（也稱廣義積分），如下圖：

總之，數(shù)學(xué)的基本定理、基本概念、基本公式在知識(shí)點(diǎn)上存在著橫向鄰接關(guān)系和縱向串接拓展關(guān)系。正確的分析和處理這些關(guān)系，一方面能加深對(duì)概念的理解，另一方面，也能促進(jìn)對(duì)概念本身記憶。也就是，雖然看上去這些概念之間似乎是孤立存在的，但實(shí)際上，他們之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，只要善于總結(jié)和發(fā)現(xiàn)這些關(guān)系，對(duì)如何學(xué)好高等數(shù)學(xué)，會(huì)帶來意想不到的收獲。

參考文獻(xiàn)

[1] 周金才等，《數(shù)學(xué)的過去現(xiàn)在和未來》，中國(guó)青年出版社，1980年。

[2] 蔣術(shù)亮，《中國(guó)在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)》，山西人民出版社，1984年。

[3]李迪，《中國(guó)數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編》，遼寧人民出版社，1984年。endprint