最佳估算方法在核臨界安全分析的應用研究

陳 添，霍小東，楊海峰，易 璇

(中國核電工程有限公司，北京100840)

最佳估算方法在核臨界安全分析的應用研究

陳 添，霍小東，楊海峰，易 璇

(中國核電工程有限公司，北京100840)

最佳估算方法可以同時對多個參數按概率分布進行抽樣，從而模擬系統真實的物理狀況，計算結果的容忍區間及置信水平與抽樣數目有關。本文將最佳估算方法應用于壓水堆核電站乏燃料貯存格架和燃料運輸容器的臨界安全分析，采用非參數抽樣統計方法，多參數同時抽樣，并對各抽樣參數的敏感度進行分析。抽樣計算的結果統計分析表明，最佳估算方法更接近真實值，證明原逐參數單獨進行敏感性分析方法的保守性并得到相應的保守裕量；對于特定研究對象參數的敏感性排序是穩定的，主要取決于參數自身的敏感性，參數的范圍及分布的影響較小，應在相關設備的設計與制造中重點關注敏感度高的參數。

最佳估算方法；臨界安全分析；非參數抽樣統計方法；參數敏感性分析；乏燃料貯存格架；燃料運輸容器

最佳估算方法，就是盡可能模擬物理現象真實情況的方法。近數十年，多個研究機構對最佳估算分析方法進行了大量的研究和開發工作[1]。最佳估算方法廣泛應用于核安全分析以得到更實際的安全限值[2]，如在AP1000大破口失水事故分析中的應用。核臨界安全是核科技工業的特殊安全問題，在核燃料的加工、使用、貯存和運輸等過程中緊密伴隨著臨界問題。在臨界安全計算中，通常采用保守的參數取值，這種做法一方面無法證明其保守性，另一方面也無法知道其保守程度。在復雜系統多參數同時變化的情況下，保守判斷更加困難。目前，最佳估算方法在臨界安全分析領域中還未有廣泛的應用。在臨界安全分析中應用最佳估算方法，可以部分解決保守性證明及保守裕量問題。

本文采用的抽樣統計方法是最佳估算理論中的非參數抽樣統計方法。通過比較最佳估算和保守方法的結果可以計算出安全裕量。將多次抽樣臨界計算的結果進行線性回歸分析，得到參數敏感性的排序，以確定對結果影響較大的幾個參數。在臨界安全分析中應用最佳估算方法可以模擬系統真實的物理狀況，分析復雜系統中多參數同時變化的影響，驗證傳統保守方法的正確性并能夠計算保守程度，是對保守方法的補充和優化，同時根據敏感度較大的參數提出一些工程上的建議。

1 最佳估算方法

最佳估算加不確定度評估方法是核電廠安全分析的一種方法，基于輸入參數不確定度評估目標參數的不確定度，包括確定重要輸入參數與分布、抽樣、結果統計分析等流程。其中最佳估算分析中的抽樣統計方法分為兩種，即參數抽樣統計和非參數抽樣統計。這兩種方法在抽樣次數和結果處理上有較大的區別。

1.1 參數抽樣統計方法

參數抽樣統計方法[3]根據重要輸入參數的概率密度分布對每個參數分別進行抽樣，將抽樣的參數進行組合，作為模型分析的輸入，然后得到目標參數的分布，通過分布檢驗、計算均值和方差后經過統計處理得到置信限值。根據概率密度分布進行抽樣可以采用簡單隨機抽樣、分層抽樣以及拉丁超立方抽樣等抽樣技術。參數抽樣統計方法避免了保守方法中參數只取端點值、中心值等固定取值的缺陷，考慮得更全面。參數抽樣統計方法為了獲得準確的目標參數分布，當模型復雜、參數很多時，產生大量的參數組合，計算量很大，優點是大量計算下的目標參數的估計可信度較高，并且能夠得到目標參數的近似分布。

1.2 非參數抽樣統計方法

非參數抽樣統計方法[3-6]解決的問題是得到在一定置信水平下得到的抽樣總體在一定概率水平的上邊界限值(或雙邊界限值)。非參數抽樣統計方法對所有確定的重要輸入參數同時抽樣，抽樣次數和輸入參數的多少無關，只與輸出結果的容忍區間和置信水平有關,適合于復雜模型，使用較少的抽樣數量達到一定的概率水平和置信度，效率較高。滿足特定容忍區間的最小抽樣數目由Wilks公式確定，其表達式如下：

單側容忍區間：

β=1-αN

(1)

雙側容忍區間：

β=1-aN-N(1-α)αN-1

(2)

式中：α為概率或容忍限值；β為置信水平；N為抽樣計算數目。這里的α可以理解為抽樣計算結果的最大值對應的累積概率。α定義為：

(3)

式中：f(x)是連續變量x的概率密度函數，xup是x的上容忍限值。

對于單側容忍區間公式，當α=95%，β=95%時，N=59，即抽樣計算59次得到抽樣總體在95%概率水平的上邊界值的置信度為95%(抽樣59次計算結果的最大值大于容忍限0.95對應的值的概率為95%)，即“95/95準則”。非參數抽樣統計方法的優點是用較少的抽樣次數得到目標參數的限值，缺點是較少的抽樣計算不能得到目標參數的近似分布。值得注意的是，在核臨界安全分析中應用最佳估算方法計算的“95/95”限值是在一定概率和置信度下得到的，在實際狀況中是有可能達到該限值的，所以不能作為臨界安全的保守限值，但是可以作為對實際狀況可能達到的最大值的估計和判斷臨界分析保守性的一種參考。

2 最佳估算方法在核臨界安全分析中的應用

2.1 多參數敏感性分析方法

本文編寫了參數抽樣程序，采用非參數抽樣統計方法，可以通過輸入參數說明文件和臨界計算模板文件得到指定數目的臨界計算輸入文件，即可使用臨界程序MONK進行計算，其中參數說明文件包括參與抽樣參數的數目、分布以及分布范圍數據，臨界計算模板文件為MONK程序輸入文件，通過最佳估算參數抽樣程序進行參數抽樣并修改相關參數形成完整輸入文件。整個最佳估算分析的流程如圖1所示。

圖1 最佳估算分析流程Fig.1 Best Estimate analysis procedure

對計算得到的多個文件進行數據處理，給出有效增殖系數keff隨每個參數的變化圖，由于是多個參數同時抽樣對keff產生影響，所以keff隨單個參數的變化圖為散點圖。keff隨敏感度大的參數的變化有明顯的線性趨勢；keff隨敏感度小的參數的變化由于被敏感度大的參數影響淹沒，散點分布無規律?？紤]參數的變化范圍為制造公差或接近實際情況，可以認為是微擾，keff隨參數的變化近似為線性變化。采用線性回歸擬合的相關系數平方R2來量化keff隨參數變化的線性程度，進而量化對該參數的敏感度。線性擬合相關系數平方R2的表達式如下：

(4)

式中：k為增殖系數，x為參數。R2代表k與x的線性相關度，越接近1代表線性相關性越大，越接近0代表線性相關性越弱。圖2給出了乏燃料貯存格架系統有效增殖系數keff隨一個敏感度較大和一個敏感度較小的參數變化的散點圖以及線性回歸擬合。

圖2 乏燃料貯存格架有效增殖系數隨兩個參數變化圖Fig.2 Scatter diagram of keff changing with the parameter in spent fuel storage rack model

從圖2中可以看出keff在多參數同時抽樣變化的情況下仍隨燃料棒柵距的增加有明顯的增大趨勢，而keff隨中子吸收硼鋁板厚度的變化沒有明顯的變化趨勢。通過線性回歸擬合得到的相關系數平方R2可以量化其線性程度，該線性程度可以代表keff對于該參數的敏感度。通過比較各參數的線性擬合相關系數平方R2的大小可以對參數的敏感度進行排序。

相關系數R2與很多因素相關。從參數的角度來說，R2和參數自身的敏感性、分布種類、變化范圍都有關系，若分布為均勻分布，則擬合的線性程度更高；若變化范圍選得越大，則在固定抽樣次數下keff變化的范圍也越大，R2也越大。從隨機抽樣的角度來說，不同的多次抽樣的線性回歸擬合將得到不同的相關系數，所以也需要足夠多抽樣次數排除偶然性，保持參數敏感度排序的穩定。表1顯示了運輸容器模型一種工況下參數敏感度排序隨抽樣次數的變化，抽樣次數以單側“95/95準則”的最小抽樣次數59次為基準進行倍數的變化。

表 1 參數敏感度排序與抽樣次數的關系

由表1可以看出，隨著抽樣次數的增多，相關系數R2較大的幾個參數的排序趨于穩定，說明這種方法是穩定的。由于存在敏感度較大參數的影響，敏感度較小的參數的排序是不穩定的，所以一般取R2大于0.1參數的排序。若要比較剩余敏感度較小的參數，只要固定敏感度較大的參數，進行同樣的計算和分析即可。權衡計算耗時和排序穩定性，在后續的參數敏感度排序分析中采用118次抽樣。

相比于保守方法中的單參數敏感性分析，最佳估算方法中的多參數敏感性分析的計算代價比較大，但是其優勢在于同時考慮了所有確定的參數對結果keff的影響，分析了keff隨每個參數在其他不同敏感度參數影響下的變化情況，尤其是在參與抽樣的輸入參數之間還有相互關系以及某些參數組合對結果keff存在聯合影響的特殊情況，這是保守方法單參數敏感性分析所考慮不到的地方。

2.2 乏燃料貯存格架模型的最佳估算分析

2.2.1 最佳估算方法與保守方法的比較

本文采用的乏燃料貯存格架模型[7]如圖3所示，其中的組件為初始富集度5.0%、128根IFBA棒、平均燃耗為42.6 GWd/t(U)的乏燃料組件。中子吸收板為硼鋁板，主要成分是B4C 和鋁。格架內充滿水，邊界條件為周期邊界條件。

圖3 乏燃料貯存格架截面圖Fig.3 Intersecting surface diagram of spent fuel storage rack

根據國標GB 15146.2[8]以及借鑒燃料貯存格架的臨界安全保守分析[9]的方法，可以求出保守方法下的有效增殖系數的最大值，即為保守考慮下的系統keff限值。共9個參數進行單參數不確定度計算，如表2所示。

表 2 參數的不確定度計算

在不考慮計算偏差和計算不確定度的情況下，保守方法keff計算的限值為:

另一方面采用最佳估算方法，對結構中間的9個組件的位置參數在幾何允許的范圍內進行均勻分布隨機抽樣，即有18個參數，除此之外，還對除了組件間距以外的8個參數進行隨機抽樣，如表3所示。

表 3 參與抽樣的參數信息

對共26個參數同時進行59次抽樣計算，keff的最大值為：0.9111+0.0003。最佳估算方法得到的抽樣總體在95%概率水平上邊界限值0.9114的置信度為95%。保守方法結果和最佳估算方法結果相比的裕度為：

kfinal-kmax=0.917 8-(0.911 1+

0.000 3)=0.006 4

該結果說明最佳估算方法是更接近真實情況的計算方法，也驗證了保守方法的保守性，計算了保守程度。

2.2.2 多參數敏感性分析

采用2.1節的多參數敏感性分析方法，進行118次抽樣計算，對結果進行線性回歸分析，比較排序各個參數的線性擬合相關系數平方R2，以此為依據排序系統增殖系數對各參數的敏感度，結果如表4所示。

表 4 乏燃料貯存格架臨界分析中的參數敏感度排序

由表4可以看出，在這些參數特定的抽樣范圍和抽樣分布以及乏燃料貯存格架系統下，最敏感的3個參數是燃料棒柵距、水密度和中子吸收板中的B4C質量分數，其余參數的敏感性較小，對keff的影響被淹沒。因此在乏燃料貯存格架系統需要注意這三個敏感的參數，防止燃料組件中燃料棒松動柵距變大引起的keff增加，水密度有較大的敏感度以及正向相關性，這也驗證了工程上保守取水密度最大值的正確性。

將最佳估算線性回歸分析得到的參數敏感度排序(線性相關系數平方R2的排序)與保守方法單參數變化得到的敏感度排序(單參數變化|Δk|的排序)進行比較，結果如表5所示。

表 5 最佳估算回歸分析得到的參數敏感度排序與保守方法得到敏感度排序的比較

由表5可以看出最佳估算回歸分析得到的敏感度排序在R2較大的幾個參數在抽樣次數較多的情況下與保守方法得到的基本一致，這也驗證了最佳估算回歸分析得到的敏感度排序的正確性，也可以驗證取R2大于0.1的參數排序是正確的、保守的。而R2較小的參數影響被淹沒，其排序沒有意義。

2.2.3 改變工況后的參數敏感度排序

若考慮乏燃料貯存格架失水的工況，并且修改部分參數的抽樣分布和抽樣范圍(在表6中加粗顯示)，對包括組件間距在內的8個參數(由于為失水工況，無水密度參數)進行抽樣118次并進行臨界計算，則參數的敏感度排序則會相應發生變化，結果如表6所示。

表6 乏燃料貯存格架失水事故下參數敏感度排序

由表6可以看出，在失水工況下，最敏感的參數是B4C質量分數，其他參數的線性相關系數平方R2小于0.1，這些參數的影響被淹沒。相比于正常工況，燃料棒柵距這一敏感的參數在失去慢化劑的情況下變得不敏感。另外在改變部分不敏感參數的抽樣分布和抽樣范圍時，這些參數的線性相關系數平方R2仍然較小，說明影響R2的主要因素是參數自身的敏感性，抽樣分布和抽樣范圍的影響較小。

2.3 燃料運輸容器模型的最佳估算分析

2.3.1 最佳估算方法與保守方法的比較

本文采用的燃料運輸容器模型[10]如圖4所示，由吊籃、γ屏蔽層、中子屏蔽層、內外筒體、底板和容器蓋等部分組成。容器內有21個組件，組件外有中子吸收物硼鋁板，組件間有傳熱片和支撐片。采用5%富集度的新燃料組件進行分析，組件間隙為真空，容器外為真空，自由邊界條件。

圖4 燃料運輸容器截面圖Fig.4 Intersecting surface diagram of fuel transport package

采用同樣的保守方法計算運輸容器系統keff的最大值，共11個參數進行單參數不確定度計算，如表7所示。

表7 參數的不確定度計算

在不考慮計算偏差和計算不確定度的情況下，keff計算的限值為:

另一方面采用最佳估算方法，對同樣的11個參數進行隨機抽樣，如表8所示。

表8 參與抽樣的參數信息

對11個參數同時抽樣59次，keff的最大值為：0.4160+0.0003。最佳估算方法得到的抽樣總體在95%概率水平上邊界限值0.4163的置信度為95%。保守方法結果和最佳估算方法結果相比的裕度為：

kfinal-kmax=0.419 1-(0.416 0+

0.000 3)=0.002 8

該結果同樣說明最佳估算方法是更接近真實情況的計算方法，也驗證了保守方法的保守性，計算了保守程度。這里相比于乏燃料貯存格架計算的裕度要小，原因是參與抽樣的參數的敏感度較小，由于系統中沒有水，少了水密度這個敏感的參數，同時燃料棒柵距在缺少慢化劑的情況下也變得不敏感，導致保守方法計算的keff較小。

2.3.2 多參數敏感性分析

采用2.1節的多參數敏感性分析方法，進行118次抽樣計算，對結果進行線性回歸分析，比較排序各個參數的線性擬合相關系數平方R2，以此為依據排序系統keff對各參數的敏感度，結果如表9所示。

表9 燃料運輸容器臨界分析中的參數敏感度排序

如表9所示，最敏感的三個參數為新燃料的富集度、硼鋁板厚度和B10原子百分比，這三個參數皆為燃料和中子吸收板制造過程中涉及的參數，制造的工藝水平對運輸容器系統的影響較大，在工程設計和制造過程中要注意和控制這三個參數的變化范圍。

通過和表7的保守方法參數敏感度分析的比較可以發現，R2較大的參數排序和單參數變化|Δk|的排序基本一致，其中對于B4C質量分數和B10原子百分比的排序不同，由于B4C質量分數和B10原子百分比的敏感度(|Δk|)比較接近，在有限的118次參數抽樣計算的偶然性和隨機性以及更敏感參數的影響下這兩個參數R2的排序有可能不夠準確。

2.3.3 改變工況后的參數敏感度排序

若考慮運輸容器內進水的嚴重事故，則參數的敏感度排序發生較大變化，重新建模并抽樣計算118次，結果如表10所示。

表10 燃料運輸容器進水事故下的參數敏感度排序

相比于正常情況，進水事故下最敏感的四個參數是水密度、中子吸收板中B4C質量分數、新燃料富集度和方管內尺寸，其中方管內尺寸參數代表燃料組件與硼鋁板的距離，進水事故工況下水密度為最敏感的參數。這也說明在不同的工況以及不同的參數抽樣范圍和分布下，參數的敏感度排序會發生變化，對于不同工況要做具體分析。

3 結論

(1) 本文采用最佳估算方法對乏燃料貯存格架和燃料運輸容器進行了臨界分析，通過59次抽樣計算了抽樣總體在95%概率水平的置信度為95%的上邊界限值，與保守方法的計算結果進行比較，驗證了保守方法的保守性，計算了保守程度，也說明了最佳估算方法更接近真實值。

(2) 對多次抽樣計算的結果統計分析，通過有效增殖系數keff對參數散點圖的線性回歸擬合，比較各參數的線性相關系數平方R2，得到了不同模型下的參數敏感度排序，分析了復雜系統多參數同時變化的影響。線性相關系數平方R2主要取決于參數自身的敏感性，參數的抽樣范圍和抽樣分布的影響較小。對于一個特定的系統、工況、參數選擇及范圍，參數的敏感度排序是穩定的。當這些條件改變時，參數的敏感度排序可能會相應發生變化。

(3) 乏燃料貯存格架模型中燃料棒柵距和水密度這兩個參數比較敏感，在失水工況下B4C 質量分數是最敏感的參數；燃料運輸容器模型中新燃料的富集度和硼鋁板厚度的參數比較敏感，在進水事故工況下水密度和B4C質量分數則變成比較敏感的參數。在工程設計和制造中需要對這些參數進行重點關注和控制。

(4) 最佳估算方法在臨界安全分析中進一步釋放了安全裕量，多次抽樣計算的最大值和最小值的參數組合情況以及各種工況下的參數敏感度排序對于核臨界安全設計和控制有一定的指導意義，需要進一步的研究和分析。

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StudyonBestEstimateMethodAppliedtoNuclearCriticalitySafetyAnalysis

CHENTian，HUOXiao-dong，YANGHai-feng，YIXuan

(China Nuclear Power Engineering Co., Ltd., Beijing 100840, China)

In Best Estimate method, multiple parameters are randomly sampled at the same time according to their probability distribution. Best Estimate method aims at simulating true condition and the number of code runs is related to the tolerance percentile and confidence level. Best Estimate method is applied to the criticality analysis of spent fuel rack and fuel transport package, using nonparametric sampling approach which means that multiple parameters are sampled at the same time. The sorted sequence of parameter sensitivity is got from parameter sensitivity analysis. The statistical analysis of calculation results demonstrates that the result of Best Estimate method is closer to true-value and the method of analyzing every single parameter sensitivity is conservative. The sequence of parameter sensitivity is stable when analyzing specific condition, which mostly depends on parameter’s own sensitivity. The range and distribution of parameter have little effect on the sequence. The sensitive parameters should be paid close attention to in the design and manufacturing process of relevant equipment.

Best Estimate method；criticality safety analysis；nonparametric sampling approach；parameter sensitivity analysis；spent fuel rack；fuel transport package

2017-03-11

陳 添(1992—)，男，江蘇人，助理工程師，碩士，現從事核臨界安全分析相關工作

TL36

：A

：0258-0918(2017)04-0619-09