允許k次冪等和對角化的符號模式矩陣

馮新磊

（樂山師范學院 數(shù)學與信息科學學院，四川 樂山 614000）

允許k次冪等和對角化的符號模式矩陣

馮新磊

（樂山師范學院 數(shù)學與信息科學學院，四川 樂山 614000）

刻畫符號模式矩陣的允許對角化一直是一個著名的開問題。文章給出了一個符號k次冪等符號矩陣允許k次冪等的充要條件，同時，也獲得了一個符號k次冪等符號模式矩陣允許k次冪等也允許對角化的結(jié)論。

符號模式；允許對角化；符號k次冪等；允許k次冪等

1 引言和初步知識

符號模式（矩陣）的產(chǎn)生是源于解決經(jīng)濟和其他領(lǐng)域的某些問題，僅僅需要矩陣的元素的正負性，不涉及元素的大小，它已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用和研究[1-3]。特別地，特征值問題無論在傳統(tǒng)矩陣還是在符號模式理論中都占有重要的地位[3-4]。尋找符號模式允許對角化的充要條件一直是一個至今沒有徹底解決的問題。關(guān)于這個問題，Eschenbach和Johnson[2]，Shao和Gao[5]以及 Feng and Li etc[6]都給出了相關(guān)的結(jié)論。

Lee和 Jin[7]考慮了符號冪等符號矩陣允許冪等的問題。由此，我們打算進一步考慮符號k次冪等符號矩陣允許k次冪等的問題。另外，我們?nèi)菀撰@得一個符號矩陣允許k次冪等也會允許對角化的結(jié)論。

下面我們介紹一些定義和概念，其中大部分能夠在文獻[2-3][5]中找到。

一個符號模式是元素僅僅由{+，-，0}構(gòu)成的矩陣，所有n×n的符號模式矩陣記成n。對于 A=[aij]∈n，是一類元素符號相同的實矩陣的集合，記成(A)={B=[bij]∈Mn(R)｜sgn bij=aij}，對所有 i和 j}，B∈(A)是指 sgn(B)=A。

一個廣義符號模式[4]是指元素由{+，-，0，#}構(gòu)成的矩陣，這里#表示一個模糊數(shù)(+與-相加的結(jié)果)。一個符號模式的乘積可能是一個廣義符號模式。在本文中，我們主要考慮符號模式矩陣。一個符號矩陣A叫做可冪的，是指A1，A2，A3，…，都是符號模式矩陣。

對于一個符號模式A，令P是關(guān)于一個實矩陣的性質(zhì)，如果存在一個實矩陣B∈(A)有性質(zhì)P，我們說A允許P。

一個n×n符號矩陣A=[aij]的符號有向圖記成D(A)，是指由節(jié)點集{1，2，…，n}構(gòu)成的有向圖，其中(i，j)是一條弧當且僅當 aij≠0。令 A=[aij]是一個 n×n符號模式，一個形式為的非零乘積，叫做一個長度為k的簡單環(huán)，這里下標i1，…ik互不相同，每個im(m=1，…，k)叫做γ的一個節(jié)點，總長度為k的下標集互不相同的簡單環(huán)的乘積叫做一個長度為k的組合環(huán)。A的最大的組合環(huán)的長度記成c(A)。如果A簡單環(huán)都沒有，則c(A)=0。

類似地，定義 A的最小秩A，mr(A)，為mr(A)=min{秩B｜B∈(A)}。

一個置換符號矩陣是指元素為0和 +的方陣，且元素+在矩陣的每行每列只能且必須出現(xiàn)一次。容易得到置換符號矩陣P∈n滿足方程PTP=PPT=In，其中In是n階單位符號模式矩陣，也即它是主對角元素都是+的對角符號模式。

兩個符號模式 A1，A2∈n是置換相似的，是指存在置換符號矩陣P使得A2=PTA1P成立。

下面給出兩個將要用到的引理。

引理1.1[5]令A∈n，如果在A中存在某個長度為k的無弦組合環(huán)，那么A允許對角化，其中 mr(A)≤k≤mR(A)。

引理1.2[6]一個符號模式A∈n允許對角化當且僅當存在一個秩為k的實矩陣B∈(A)，其有一個非奇異的k×k的主子矩陣。

本文內(nèi)容安排如下：在第二部分我們考慮了符號冪等符號矩陣允許對角化的問題；第三部分，我們獲得了符號k次冪等符號矩陣允許k次冪等的充要條件，同時，也給出了符號k次冪等符號模式矩陣允許k次冪等也允許對角化的結(jié)論。

2 符號冪等符號矩陣

在本文中，允許對角化是我們重點關(guān)注的問題。Lee和 Jin[7]獲得了符號冪等符號矩陣允許冪等的一些結(jié)論，在此基礎(chǔ)上，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)符號模式允許冪等和允許對角化之間的關(guān)系。

對于可約的符號冪等符號矩陣記為PPO，是指如果Aii和Ajj的每個元素都是正的，則Aij=0。

引理2.1[7]令A是一個Frobenius標準形的可約的符號冪等符號模式，則A允許冪等當且僅當A是PPO。

因此我們能得到下面的結(jié)論。

定理2.2 令A是一個Frobenius標準形的可約的符號冪等符號模式，并且A是PPO的，那么A允許對角化。

3 允許k次冪等和對角化的符號k次冪等符號矩陣

通過約當標準形，容易得到對于任意正整數(shù)m，一個非奇異實矩陣B是可對角化的當且僅當Bm是可對角化的。但是對于符號矩陣，這個結(jié)論是不成立的。如果A允許對角化，那么Am允許對角化；但是Am允許對角化，A可能不允許對角化。基于此，在這部分，我們想弄清楚上面提到的關(guān)系，同時，我們也僅考慮符號模式是可冪的情況。

引理 3.1[8]令A是一個不可約的符號k次冪等符號模式，其有塊m×m環(huán)模式，m≥1。對于1≤i≤m，令Ji表示元素都是+的與Ai型號一樣的矩陣；并且令Ci表示Ai的第一列，那么，當m∈{k/2，k}，1≤i≤m，存在向量 ui屬于{+Ci，-Ci}使得 Ai=uiui+1T；當 1≤i≤m-1(m≥2)，那么 Am=αumu1T，其中α=+，當m=k時，α=-，當m=k/2時，進一步，如果 D=diag(u1，u2，…，um)，那么

由上面引理 3.1，我們能得到下面的結(jié)論。

定理3.1 如果A是一個不可約符號k次冪等符號矩陣，那么A允許k次冪等。

證明 如果A是一個不可約符號k次冪等符號矩陣，且A的非本原指標為m，m≥2，那么存在置換矩陣P，通過置換相似使得A變成 Frobenius標準形，記為PTAP=。由引理3.1，?D，使得相似于

類似于定理2.1，A允許k次冪等，明顯地，A也允許對角化。因此，我們有：

推論 3.1 如果A是一個不可約符號k次冪等符號矩陣，那么A也允許對角化。

下面的部分我們將考慮可約符號k次冪等符號矩陣。

定理3.2 如果A是一個可約的主對角線上無零元素的Frobenius標準形的符號k次冪等符號矩陣，那么A允許k次冪等當且僅當A是不可約符號k次冪等符號矩陣的直和。

證明 如果A是一個可約的主對角線上無零元素的Frobenius標準形的符號k次冪等符號矩陣，那么

根據(jù)矩陣的乘法，我們可以得到

上面方程的兩邊同時左乘Aii，我們得到

AiiAij是不模糊的，因此上面方程左邊的每一項應(yīng)該為0，即，。因此，我們能得到另外，因為Aii和Aij是不可約符號k次冪等符號矩陣，我們能夠得到

所以結(jié)論成立。

定理3.3 如果A是一個可約的Frobenius標準形的符號k次冪等符號矩陣，那么A允許k次冪等當且僅當A是不可約符號k次冪等符號模式的直和，或者在主對角塊上存在一些零塊，其他的是不可約符號k次冪等符號模式矩陣。

證明 根據(jù)定理3.2，我們僅需要證明在主對角塊上存在零塊的情況就行了。令

推論 3.2 如果A是一個可約的符號k次冪等符號矩陣且允許k次冪等，那么A允許對角化。

在這部分我們僅考慮了符號k次冪等符號矩陣允許k次冪等，那么它也允許對角化的情況。以后A允許對角化和Am的允許對角化的關(guān)系仍值得進一步研究。

[1]BRUALDI R A，SHADER B L.Matrices of sign-solvable linear systems[M].Cambridge：Cambridge University Press，1995：1-316.

[2]ESCHENBACH C A，JOHNSON C R.Sign patternsthat require repeated eigenvalues[J].Linear Algebra and its Applications，1993（190）：169–179.

[3]HALL F，LI Z S.Sign pattern matrices[M]//Handbook of Linear Algebra，Chap.33，L.Hogben，ed.，Boca Raton：Simon and Hall/CRC Press，2007：1-20.

[4]HORN R A，LOPATIN A K.The moment and Gram matrices，distinct eigenvalues and zeroes，and rational criteria for diagonalizability[J].Linear Algebra and its Applications，1999（299）：153–163.

[5]SHAO Y，GAO Y.Sign patterns that allow diagonalizability[J].Linear Algebra and its Applications，2003，（359）：113–119.

[6]FENGXL，HUANG T Z，LI Z S，et al.Sign patterns that allow diagonalizability revisited[J].Linear and Multilinear Algebra，2013，（61）：1223–1233.

[7]LEE S G，PERK J W.Sign idempotent sign pattern matrices that allow idempotence[J].Linear Algebra and its Applications，2015（487）：232–241.

[8]STUART J，ESCHENBACH C，KIRKLAND S.Irreduciblesign k-potent sign pattern matrices[J].Linear Algebra and its Applications，1999（294）：85-92.

Matrix of Coincidence Mode with Acceptable K-power of Similarity and Diagonalization

FENG Xinlei
（School of Mathematics and Information Science，Leshan Normal University，Leshan Sichuan 614000，China）

The acceptable diagonalization of mat rix in symbolic pattern has always been a wellknown open problem.In this paper，the matrix of K-power symbolic pattern which accepts the necessary and sufficient condition for symbols like K-power is offered.Meanwhile，the result that a sign K-power symbolic pattern matrix accepts both k-powers and diagonalizability is obtained.

Symbolic Pattern；Acceptable Diagonalization；Sign K-power；Acceptable K-power

O157

A

1009-8666（2017）08-0001-05

［責任編輯、校對：李書華］

10.16069/j.cnki.51-1610/g4.2017.08.001

2017-05-02

四川省教育廳重點項目“多智能體系統(tǒng)一致性的最快收斂研究”（16ZA0304）

馮新磊（1979—)，男，山東聊城人。樂山師范學院數(shù)學與信息科學學院副教授，理學博士，研究方向：符號模式矩陣以及多智能體系統(tǒng)一致性。