基于隨機振蕩序列離散灰色模型的優化

孔新海

（廣安職業技術學院，四川 廣安 638000）

基于隨機振蕩序列離散灰色模型的優化

孔新海

（廣安職業技術學院，四川 廣安 638000）

文章探討了隨機振蕩序列灰色建模的問題，分析了兩種具有代表性的基于振蕩序列灰色建模方法，指出了其函數變換的實質以及應用范圍。現有實證給出的建模方法其模型輸出序列呈現出下凸的（除第一點外）和“Z字型”特點。結合這兩種建模方法的優勢，提出了另外兩種數據變換方法，即加權均值平滑變換和級比調節平滑變換，實例說明了新的兩種數據變換方法能有效地提高建模精度。

隨機振蕩序列；DGM(1，1)模型；平移變換；平滑變換

0 引言

灰色預測模型是灰色系統理論體系的重要內容，針對小樣本數據通過累加生成就能有效揭示系統未來發展趨勢[1]。由于灰色預測模型對數據沒有嚴格的要求和限制，建模過程簡單，受到越來越多學者重視，各種灰色模型不斷被提出和優化，經過幾十年的快速發展，已經被廣泛應用于經濟社會各領域，取得了非常好的應用效果[2]。但對隨機振蕩序列建立灰色模型進行預測時，學者們發現模型的模擬預測精度并不甚理想，原因在于灰色預測模型為指數形式，具有單調性，如果由該指數表達式計算出的模擬序列，其變化規律自然就不符合原始隨機振蕩序列的特征，導致模擬預測精度較差。為了拓廣GM(1，1)模型的應用范圍，文獻[3]提出了通過加速平移變換將隨機振蕩序列轉化為單調遞增序列，再對單調遞增序列進行累加均值生成，然后建立GM(1，1)模型。文獻[4]則運用傅立葉級數修正GM(1，1)模型的殘差，從而提高了振蕩序列的模擬精度。文獻[5]引入了平滑性算子來壓縮隨機振蕩序列振幅以提高建模序列光滑度，并獲得較高的模擬精度。文獻[6]直接根據振蕩序列的級比序列建立DGM(1，1)模型，進而用來預測原始序列。文獻[7]通過對振蕩序列的上下界序列分別建立非等間距GM(1，1)模型，得到上下包絡曲線以描述系統發展的邊界，采取區間預測算法。

通過文獻中的例子佐證，上述函數變換在某些特定序列下具有較高的模擬精度，但還原精度并不理想。自身光滑性較差是隨機振蕩序列灰色建模精度不高的主要原因，而利用均值生成一些函數變換在一定程度上是可以提高建模序列的光滑度，但是加權均值生成并不能實質性改進隨機振蕩序列的光滑性且函數變換也無法從根本上改變隨機振蕩序列的振蕩特征。本文利用平滑性算子可以壓縮序列振幅特點，探索新的函數變換，以進一步提高灰色建模精度。

1 基本概念

定義 1[3]設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為一數據序列，

1）若?k=2，3，…，n，有 x(k)-x(k-1)＞0，則稱X為單調增長序列；

2）若?k=2，3，…，n，有 x(k)-x(k-1)＜0，則稱X為單調衰減序列；

3）若?k，k′∈{2，3，…，n}有 x(k)-x(k-1)＞0 且 x(k′)-x(k′-1)＞0，則稱X為隨機振蕩序列。設 M=max{x(k)｜k=1，2，…，n}，m＝min{x(k)｜k=1，2，…，n}，則稱 T=M-m 為序列X的振幅。

定義2[3]設隨機振蕩序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，則稱

為加速平移變換；稱

為加權均值生成變換。

定義3[5]設隨機振蕩序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，則稱

為一階平滑變換。

2 現有的兩種建模方法比較

下面比較兩種具有代表性的基于振蕩序列灰色建模方法，所選驗證數據分別來源于文獻[3]和文獻[5]，通過交叉驗證來發現規律。

例1 我國 1978—1983 年的人均糧食產量為 X=(637，685，653，654，703，759)[3]，單位：斤。這是一組波動序列。文獻[3]基于變換f1和f2建立GM(1，1)模型，而文獻[5]是基于變換f3建立DGM(1，1)模型，其模擬結果見表1，擬合曲線如圖1所示。

表1 兩種建模方法結果對比

圖1 兩種建模方法對例1的擬合曲線

例2 一組振蕩序列 X=(20.3，22.5，16.4，26.6，20.3，28.6)[5]，分別用文獻[3]和文獻[5]中的方法建立灰色預測模型，其模擬結果見表2，擬合曲線所圖2所示。

表2 兩種建模方法結果對比

圖2 兩種建模方法對例2的擬合曲線

根據上面交叉驗證，我們可以得到以下結論：

1）文獻[3]建模方法得出的擬合曲線是下凸的（除了第一點外），所以不適合用于一般振蕩序列的預測；

2）文獻[5]建模方法得出的擬合曲線具有“Z字型”特點，這里把能夠適用于“Z字型”特性的原始序列預測，稱之為嚴格振蕩數據序列預測；

3）對于毫無規律的振蕩數據序列，建議采用區間包絡法[7]或縮小級比偏差法[8]。

3 原因分析

文獻[3]通過對原始振蕩序列先進行加速平移變換，再進行加權均值生成變換，最后建立GM(1，1)模型，然后還原就得到模擬預測序列。這種建模的特點是把原始振蕩序列轉換成單調遞增序列，再用累加均值化來弱化快速增長序列，其建模序列為

這就說明了原始振蕩序列經兩次變換之后成了累加均值序列與加速序列之和，看起來像是指數化了，但也提高了序列的增長率，級比偏差拉大，導致GM(1，1)建模誤差過大，從而模擬序列成近似指數型（除第一點外）。

文獻[5]運用一階平滑變換對隨機振蕩序列進行均值弱化，然后建立DGM(1，1)模型，其建模序列為

這里 z(k)=0.5(x(k)+x(k+1))，其中Z=(z(1)，z(2)，…，z(n-1))為原始序列的緊鄰均值序列。由此可知，文獻[5]針對嚴格振蕩序列建模能夠具有較高精度的本質不在于平移了T和振幅壓縮了T/2，關鍵在于一階平滑算式，即相鄰數據之和弱化了隨機性。

其實，平滑變換(3)式中的分母可以是任意正數，而DGM(1，1)模型[9]的模擬與預測效果保持不變。這是因為

其中M是一個常數，且M＞0。文獻[10]已證離散灰色模型經數乘變換不會改變模擬相對誤差，雖然能縮小數據的量級，但不會改變模型的模擬與預測效果。

4 基于隨機振蕩序列DGM(1，1)建模的優化

由上面的分析，下面給出兩種改進的變換算式：一種叫加權均值平滑變換；另一種叫級比調節平滑變換。

定義4 設隨機振蕩序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，則稱

為加權均值平滑變換。

定義5 設隨機振蕩序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，則稱

為級比調節平滑變換，這里要求k+c＞0，α∈R，c為平移參數，α為形狀參數。對于參數c，α，可以采用二分法枚舉，直到DGM(1，1)建模精度在允許范圍之內。

由于直接對隨機振蕩序列建立的灰色預測模型精度較差而隨機振蕩序列的平滑序列具有較好的光滑性，因此，利用（4）式或（5）式對原始數據序列進行平滑變換處理，再構建變換序列的DGM(1，1)模型，最后進行逆變換。設數據序列 X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n+1))，其變換序列為 Y(0)=(y(0)(1)，y(0)(2)，…，y(0)(n+1))。對序列 Y(0)建立 DGM(1，1)模型：

根據最小二乘法，可估計出[β1，β2]T=(BTB)-1BTY，其中

對(7)式進行累減還原，得到變換序列的模擬預測值

最后就(8)式進行逆變換，可得原始序列的模擬預測值

5 算例分析

下面還是以文獻[5]中的序列 X=(20.3，22.5，16.4，26.6，20.3，28.6)為例，分別用上面加權均值平滑變換f4（本文方法一）和級比調節平滑變換f5（本文方法二）對原始數據進行預處理，再建立DGM(1，1)模型，其平均相對誤差分別為0.9356%和0.8352%（見表3），要好于文獻[3]和文獻[5]得出11.6476%和1.5230%的擬合精度（見圖3）。這里選擇了c=T（原序列振幅），α=3。

表3 兩種建模方法模擬結果對比

圖3 四種建模方法的擬合曲線

6 結語

本文分析了兩種基于振蕩序列的灰色建模方法，指出了其中的函數變換僅僅適用于特定的數據序列，不具有廣泛性。另外，振蕩序列經變換之后能起到弱化隨機性，光滑性條件得到提高，具有很高的模擬精度，但是還原序列的模擬精度會下降。文中也給出了兩種函數變換，通過實例驗證，這兩種變換方法模擬精度有很大提高。最后需要說明的是，每種函數變換具有自身特點，要根據隨機振蕩序列的發展趨勢合理選擇數據變換方法再建灰色預測模型。

[1]DENG J L.Introduction to grey system theory[J].The Journal of Grey System，1989，1（1）：1-24.

[2]劉思峰，楊英杰.灰色系統研究進展[J].南京航空航天大學學報，2015，47（1）：1-18.

[3]錢吳永，黨耀國.基于振蕩序列的 GM（1，1）模型[J].系統工程理論與實踐，2009，29（3）：149-154.

[4]王正新，黨耀國，裴玲玲.基于 GM（1，1）冪模型的振蕩序列建模方法[J].系統工程與電子技術，2011，33（11）：2440-2444.

[5]曾波，劉思峰.基于振幅壓縮的隨機振蕩序列預測模型[J].系統工程理論與實踐，2012，32（11）：2493-2497.

[6]楊保華，方志耕，張可.基于級比序列的離散 GM（1，1）模型[J].系統工程與電子技術，2012，34（8）：715-718.

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[8]孫倩倩，魏勇.函數變換縮小數據級比偏差效果的比較原則[J].數學的實踐與認識，2014（8）：254-259.

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[10]謝乃明，劉思峰.離散灰色模型的仿射特性研究[J].控制與決策，2008，23（2）：200-203.

Optimization of Discrete Grey Model Based on Stochastic Oscillation Sequences

KONG Xinhɑi
（Guang’an Vocational&Technical College，Guang’an Sichuan 638000，China）

This paper discussed the grey modeling problem of stochastic oscillation sequences and analyzed two kinds of representative grey modeling methods based on the oscillation sequences.Besides，the essence and the application scope of two function transformations were pointed out.The empirical results shows that the existing modeling methods are presented in which the model output sequence exhibits lower convexity（except for the first point）and the“Z”feature.By combining with the advantages of these two modeling methods，two other data transformation methods are proposed：the weighted average smooth transformation and the class ratio-adjusted smooth transformation.In conclusion，the example also shows that the two new data transform methods can effectively improve the modeling accuracy.

Stochastic Oscillation Sequence；DGM （1，1）Model；Translation Transformation；Smooth Transformation

N941.5

A

1009-8666(2017)08-0031-07

［責任編輯、校對：方忠］

10.16069/j.cnki.51-1610/g4.2017.08.007

2017-04-13

四川省教育廳科研項目“難采儲量評價方法及其應用研究”（14ZB0388）

孔新海（1983—），男，江西余干人。廣安職業技術學院講師，博士，研究方向：不確定性預測與決策。