重視導數教學 提升學生數學素養

侯軍

在高中數學知識中，導數涉及到的部分非常廣泛.導數的知識雖然是在選修的課本中，但是對于學生來說算是必修的內容.導數給學生提供了一種極限的思維，同樣也提供了一個“難啃的骨頭”.與導數知識相關的題目形式多樣、技巧性強且聯系緊密，教師在教授導數這部分內容的時候，應該在教學設計上多下功夫，讓學生打牢基礎，進而將導數知識融會貫通.

一、全面系統，夯實基礎知識

在講解基礎知識的時候，教師必須要讓所有的學生都掌握.在很多情況下，學生出錯的原因并不是思維能力不夠，而是基礎知識不牢固，解題的時候不嚴謹.教師可以采取隨堂小測的方式鞏固學生的基礎知識，學生通過動腦思考，加深對基礎知識的印象，進而夯實學習的內容.

在學習“導數”這一章節，“基礎知識”部分時，我首先給學生設立必要的“學習目標”，讓這個目標來引領他們學習：“了解函數的概念，理解導數的幾何意義.會用求導公式……”我首先讓他們進行對 “求導公式”的學習，“求導公式”是學生必須要掌握的，這是最基礎的內容.為了利用好“問題化”的原則，教師在這部分最好設置“自我質疑”，用小題來檢驗學生掌握基礎內容的情況.在講解了求導法則的基本形式后，我讓學生去求log2x、3x、-2cosx的導數，這都是學生們很容易出錯的.還有一些復雜的情況，比如求f （x） = ■+■的導 數，在求導的時候，就涉及到復合求導的內容：ex求導后不變，學生還要了解根式的求導以及商的求導法則.再有就是求切線方程的問題，f （x） “已知函數y =f （x）的圖像經過點P（2，5），且圖像在點P處的切線方程是2x-y+1=0，則f '（2）為多少？”這道題是簡單的導數運用問題，目的是讓學生熟悉求導過程，在P處的切線方程為y=2x+1，這是求導后的式子，那么就可以通過求導公式推出原來的式子為x2+x+c，再結合點P的坐標，將其帶入到式子中去，5=4+2+c，即c=-1，函數f （x）=x2+x-1.

在高考中，基礎知識所占比重較大，但是往往學生們都不太重視，只在拔高題上下功夫，最后的結果是都沒有兼顧到.所以在打基礎的時候，教師應該讓學生認識到基礎知識的重要性，使其端正態度，進而專心致志地投入到課堂學習中來.

二、抽絲剝繭，把握概念本質

在剛接觸“導數”的時候，學生對導數的意義很難理解，教師可以通過引用他們熟悉的實例，來讓學生更好地理解.讓學生理解導數的基本概念，了解其實際含義，對提升學生認知很有幫助.

在課上我舉出的引例是牛頓和萊布尼茨曾經用到的經典引例：“瞬時速度”和“切線斜率”.學生在此之前已經學過高中物理的基本知識，了解了瞬時速度的定義，即物體在某個點瞬間的速度，用公式表達就是■.所以位移公式求導得到的就是速度公式，位移公式為x=vo t+■at2，求導之后為x'=vo+at，正好是速度公式，這樣學生就能重新認識物理老師在教位移與時間圖像的時候，為什么會將整個圖形分解成一個一個的矩形了，其實就是用到了導數的知識.而對于“切線斜率”問題，就要從導數的定義式來考慮了.導數的定義式為：Limx → x0 ■，這個式子和直線斜率的公式非常類似.只是導數的定義式中增加了一個條件，即x要趨近于x0.導數的定義式對所有函數圖像都適用，通過極限的思維，兩個點離得非常近就可以近似看作是一個點，不管函數的圖像是直線還是曲線都適用.

教師要讓學生了解到導數的重要性，并且了解其抽象的概念.對函數y=f （x）在x0處進行求導，其實就是求（x0，f （x0））處的切線斜率.學生在這里能夠打下良好的基礎，以后學習用導數求函數的基本性質就容易多了.

三、分多類討論，轉化函數最值

最值問題在導數問題里非常重要，在這個問題里，首先要考慮函數的極值點，還要考慮函數的端點值和區間問題.學生在做這方面的題時，經常會遺漏，導致解題出現錯誤.

為了能夠幫助學生在最值問題上提高準確率，我對此問題進行了重點講解.首先求函數的單調性.對于函數的單調性要結合導數的圖像來求，f '（x0）>0即f （x）為增函數，f '（x）<0即f （x）為減函數.對于極大值點，如果是x0，那么在x0附近的點，要求f （x）

通過導數去了解函數的一些基本性質，能夠讓學生認識到導數的重要作用.學生對導數的學習比較吃力，教師應該多帶學生總結解題步驟，讓學生學會循序漸進地學習.導數的最值問題需要考慮很多條件，但是通過做題不難發現，這類題都是可以總結出規律的，教師應該引導學生去掌握.

四、結合真題，突破含參問題

導數里面的含參問題，也是比較考查學生能力的一類題.在高考數學中，求參數的取值范圍很熱門，學生在這里失分很嚴重.所以教師有必要進行講解，讓學生掌握解這類題的方法.

求參數的范圍一般會用到分離參數法和分類討論法.我以高考題為例：“設函數f （x）=ex-1-x-ax2，若當x≥0時f （x）≥0，求a的取值范圍.”最簡單的是分離參數，求誰就將誰分離出來.可以通過將式子進行變形，最終求函數的最值問題.當x=0時，f （x）=0，然后將a分離出來后，函數變為a≤■，這個式子在x大于0的情況下恒成立.g（x）=■，對其求導得g'（x）=■，只要能證明它在x大于0的情況下是增函數就可以了.令h（x）=xex-2ex+x+2，再證明它是增函數，就可以解決這道題了，這樣一分析，高考數學題就不難了.如果采取的是分類討論的方法，對f （x）求導后，f '（x）=ex-1-2ax，然后再求導f ''（x）=ex-2a，當f ''（x）=0時，x=ln2a，那么此時就需要對a進行分類討論了.根據已知，我們需要f '（x）在x大于0時也是總大于0的，那么當x=ln2a時，f '（x）取到的最小值必須大于0.那么就需要將a的范圍化為a<■、a=■和a>■，下面還需要很多計算，不難看出，第一種方法比較簡單.教師應該指導學生首先考慮參數分離法，行不通時才采取分類討論法.

求參數的取值范圍，不管是分類討論法還是分離參數法，想法都是很簡單的，但是學生在運用的時候很容易思維混亂.教師應該在平時的教學中多讓學生去分析解題的過程，并且多練習，以突破這個難點.

導數可以和高中數學的很多內容進行結合，比如數列、三角函數、圓錐曲線等，需要學生具備較強的邏輯思維能力.在平時的教學中，教師應精心設計課程，幫助學生更好地理解導數知識，進而全面提升學生的數學素養.