反例教學對培養學生積極心理品質的研究
——學生核心素養培養研究

譚福玲

黑河學院理學院數學系

反例教學對培養學生積極心理品質的研究
——學生核心素養培養研究

譚福玲

黑河學院理學院數學系

培養學生積極心里品質對學生核心素養的培養具有重要意義，本文針對反例教學對培養學生積極心里品質的若干作用進行了分析介紹，并配以相關的教學實例對分析過程進行說明。

反例教學；積極心里品質；洞察力；開放性思維能力；求知力；創造性思維能力

“核心素養”指學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力，突出強調個人修養、社會關愛、家國情懷，更加注重自主發展、合作參與、創新實踐[1]。自主發展要求學生具有健全的人格，要自信自愛，堅韌樂觀，有自制力，能調節和管理自己的情緒，具有抗挫折能力等積極的心理品質。所以培養學生積極心里品質對學生核心素養的培養具有重要意義。

學生的積極心理品質包括知識與智慧維度(創造力、求知力、思維與洞察力)、情感維度(真誠、執著、謙遜、樂觀)、態度維度(友善、合作、求真)及價值維度(善良、理想)[1]。數學中的反例能夠把一個很難說清楚或容易混淆的問題變得淺顯易懂，作為數學教學的重要的組成部分，反例教學對培養學生積極心理品質具有重要作用，從知識與智慧維度看，它對培養學生的創造力、求知力、思維與洞察力具有重要的促進作用，從情感維度看，它能夠幫助學生形成實事求是、堅持真理、嚴謹誠實的個性品質。

一、運用反例教學，培養學生的洞察力

所謂的洞察力是對所處環境周圍事物和發生的現象進行的全面、細致地查看，并通過事物發生現象的原本面目，剖析并確立二者之間的性質和關系的普遍的心理現象.而反例教學不但能夠使學生及時發現錯誤和漏洞,修補相關知識，而且通過這樣不斷地發現錯誤、修補漏洞[2]，更能夠不斷提高學生的數學直觀思維能力，從而逐步培養學生的洞察力。

我們知道，數學中的許多概念、定理及相關結論等一般都是比較抽象的，其中涉及到的每一個字、詞及每一句話等都具有特定的意義，是需要認真細致地推敲的,而要想從正面全面、深刻地理解和掌握這些知識是不容易的，有時針對其中的某個條件或定理、結論的必要性及充分性舉反例進行說明或論證，能夠很好的幫助學生及時發現自己理解錯誤或理解得不到位的地方，更能不斷提高學生的洞察能力。

例如高等代數教材中關于可約多項式與不可約多項式是這樣定義的：如果F[x]的一個n(n＞0)次多項式f(x)能夠分解成F[x]中的兩個次數都小于n的多項式g(x)與h(x)的積，即f(x)=g(x)h(x)，那么f(x)在F上可約。如果f(x)在F[x]中的任一形如f(x)=g(x)h(x)的分解式中含有一個零次因式，那么f(x)在F上不可約。該定義中指出如果f(x)為可約多項式或不可約多項式，則f(x)的次數應大于零，但很多初學者對該定義把握得不夠嚴密或理解得不夠深刻，在實際應用中常常忽略該條件或誤以為零多項式及零次多項式既然在定義中沒有被提到，那么他們應該是不可約多項式。為了減少或避免這種教學效果發生，教師在授課過程中可以給出有針對性的反例，例如對照定義列舉多項式f(x)=c(c∈C)，提問學生判斷該多項式是可約多項式還是不可約多項式。

在介紹多元函數可微分、可偏導及連續的相關定理時，如果單從正面強調可偏導不一定連續，可偏導不一定可微分會顯得很生硬，且不會給學生留下較深刻的印象，學生也很難掌握相關的知識點，若能夠給出反例

結合偏導數的定義、多元函數連續的定義及多元函數可微分與連續的關系推得fx(x,y)=0,fy(x,y)=0，但(x,y)不存在，便可證明f(x,y)在點(0,0)處可偏導但不連續，從而f(x,y)在點(0,0)處不可微。

二、運用反例教學,培養學生的開放性思維能力及求知力

首先，反例教學本身就是啟發學生打破常規思維方式，轉換思考角度，從相反的方向考慮問題，其次，教師在反例教學中常常要引導學生如何根據一個具體的問題構造相應的反例去解決問題，所構造的反例要與所要解決的問題很好的結合，并能夠充分的解決問題。而在構造反例的過程中要求學生對相應問題的相關知識點有一定的把握，并能夠應用這些知識開拓思路，可以從多角度的去考慮并解決問題[3]。因此反例教學不僅提高了學生對相關知識的理解和掌握程度，更培養或促進了學生的開放性思維能力。另外，反例在實際應用中對辨別錯誤有很好的直觀性和很強的說服力，學生一旦掌握了這種用反例去說明問題的方法，就會常常針對所遇到的具體問題，查閱相關的知識，積極地去尋找相對應的反例，這樣的過程不僅幫助學生積累了知識，更鍛煉了學生的自學能力，使學生對學習更有信心，能夠更有興趣的去學習。

∑∞其它知識列舉反例來否定級數(un+vn)是發散級數，例如級數

n=1師能夠經常對學生做這樣的訓練，不僅能夠幫助學生更進一步的掌握相關知識，還能夠在一定程度上激發學生的學習興趣，增強學生的求知欲望，更能夠逐步培養學生的開放性思維能力。

三、運用反例教學，幫助學生形成實事求是、堅持真理、嚴謹誠實的個性品質

首先，反例教學的過程就是幫助學生及時發現錯誤和漏洞,修補相關知識,從而培養學生思維的深刻性及嚴謹性的過程,而一個思維嚴謹又對事物認識深刻的人，必定是一個言必有據、一絲不茍、堅持真理、具有實事求是的科學態度的人；其次，在構造反例的過程中,常常需要根據所討論問題的某一個已知條件或相關的某一知識點構造相應的反例,經過相關的嚴格的推理論證,得出與該已知條件或相關的知識點相矛盾的結論,這樣的構造反例,及利用反例解決問題的過程就是讓學生經歷信息梳理、問題的發現和解決的過程，能夠有效地鍛煉學生的推理論證能力，這對培養學生實事求是、堅持真理、嚴謹誠實的個性品質具有重要的促進作用。

如高等數學教材中關于邊界點的概念是這樣定義的：如果點P的任一鄰域內既含有屬于E的點，又含有不屬于E的點，那么稱P為E的邊界點。很多初學者對定義理解得不夠深刻，他們往往對照附圖理解定義，誤以為點集E的邊界點就一定在點集E的邊界上，對此，教師在授課過程中可以對照邊界點的概念給出不在點集E的邊界上的邊界的點的反例,如邊界點P2不同,但根據邊界點的定義可以證明但它符合邊界點的定義，是E的邊界點。

四、運用反例教學,培養學生的創造性思維能力

反例的構建是一項綜合性、創造性的活動，通過猜想、試驗、推理等多重思維活動，可以有效地培養學生創新精神、誘發學生的創造力[4]。

如矩陣A與B相似，則A與B等價，那么若A與B等價，則A與B一定相似嗎，當然不是，若想說明此問題，從正面證明是不容易的，若能舉出相應的反例，問題便迎刃而解了，試想構造出兩個矩陣A與B，它們等價，但不相似，由于A與B等價當且僅當r(A)=r(B),而若A與B相似，則A與B必有相同的特征值，那么只需構造秩相等但特征值不相等的兩個矩陣A與B就行了，這樣的例子太多了，簡單型陣A與B有相同特征值，但A與B未必相似問題時，學生很容易A同，且B不能夠相似對角化，根據線性方程組理論，只需讓3-r(E3-B)≠2，即r(E3-B)≠1即可，這樣的B有很多，如構造上三會想到若A與B相似，則A與B等價，即A與B的秩相等，那么構造兩個特征值相等，但秩不同的兩個矩陣就可以了，這樣的例子也很與B有相同特征值，但A與B未必相似問題，當然還可以從其它角度構造相應的反例，如若A與B相似，且A可相似對角化，則B必可相似對角化，構造特征值相同，其中一個可對角化，另一個不可以對角化的兩個矩陣即可。可對角化的矩陣容易構造，實對稱的矩陣都可以，最簡單的就是對角陣了，特征值互不同的不可以，先構r(E3-B)=2≠1。

通過反例構造訓練，學生不僅可以舉一反三，更能夠學會從多角度、多方面去思考問題，這當然是學生開放性思維的體現，這樣的反例構造訓練，更是誘發學生的創造力，培養學生創造性思維能力的重要途徑。

[1]施久銘.核心素養：為了培養“全面發展的人”[J].人民教育, 2014，(10)：13.

[2]蓋虹,范東昕.反例教學法在高等數學教學中的應用[J].現代交際，2015（12）：191.

[3]許建平.巧用反例法提高教學實效[J].考試周刊，2013,(46)：68-69.

[4]王元知.巧用反例培養學生思維品質[J].教育科學（引文版），2016,18（5）：114.

譚福玲（1978-），女，黑龍江哈爾濱人，黑河學院理學院數學系教師，副教授，碩士，主要從事數學教育及泛函分析研究。

黑龍江省高等教育學會“十三五”高等教育科研課題《基于學生核心素養發展的教師教育課程整合研究》，項目編號：16G379。