基于Clayton Copula函數的 金融高頻數據極小值相依性

霍俊爽，張若東，潘淑霞，邰志艷，董小剛

(1.吉林醫藥學院數學教研室，吉林 吉林 132013； 2.長春工業大學基礎學院，吉林 長春 130012)

基于Clayton Copula函數的 金融高頻數據極小值相依性

霍俊爽1，張若東1，潘淑霞1，邰志艷1，董小剛2

(1.吉林醫藥學院數學教研室，吉林 吉林 132013； 2.長春工業大學基礎學院，吉林 長春 130012)

基于Clayton Copula函數對股指期貨IF1112指數和上證000001指數5 min極小值收益率序列的相依性進行了研究，深入探討了其下尾部微觀結構的相依性.

Copula函數；Clayton Copula函數；相依性

隨著經濟金融全球化進程的深入，金融市場間的相依性越來越密切.一個金融市場突發的劇烈波動常常也會引起其他金融市場的波動.本文將以高頻數據為研究對象，通過分析不同金融市場高頻數據極值收益率的變化研究其相依性，從而為金融資產的管理和風險控制提供理論依據.

由于金融市場收益率的分布大多是偏態的，而阿基米德族Copula函數在研究這類金融數據的相依性時有明顯優勢.本文借助阿基米德族二元Clayton Copula函數研究了股指期貨和股指現貨市場高頻數據極值的相依性.

1 模型方法與參數估計

1.1 Clayton Copula函數與相依性分析

阿基米德Copula函數族包含了多個Copula函數，Gumbel、Clayton、Frank、C Copula等函數是常用的二元阿基米德Copula函數.阿基米德 Copula 函數的定義是由Genest和Mackay 給出的.Clayton Copula函數對變量分布下尾部的變化十分敏感，能夠準確反映下尾部相關的變化.[1-3]

Clayton Copula函數的概率密度函數同樣是非對稱的，呈“L”形分布，其上尾部低下尾部高的形態與Gumbel Copula函數相反.它對變量分布下尾部的變化十分敏感，能夠準確反映下尾部的相關變化，從而對熊市時金融市場之間的波動變化規律有較好描述.若兩個隨機變量間的相關結構能用Clayton Copula函數來描述，則在分布的下尾部有較強的相關性，而變量在分布的上尾部是漸近獨立的.

1.2ClaytonCopula函數的參數估計

Clayton Copula函數參數估計的主要方法有極大似然估計、邊際分布推導法、經驗Copula法、Kendall系數法等.Rivest和Genest給出了Kendall系數法，推導出了用Kendall系數τ表示阿基米德族Copula函數中參數估計量的方法.[6]

1.3ClaytonCopula模型的檢驗

Clayton Copula函數及其邊緣分布的常用檢驗方法有卡方檢驗、K-S檢驗和分位數-分位圖檢驗(Q-Q圖檢驗).Q-Q圖檢驗是由變量的指定分布與變量的實際分布兩組樣本的分位數組成.當對應兩組樣本的分位數近似相等時，其對應的Q-Q圖呈一條直線，則擬合較好；反之，若Q-Q圖越偏離直線，則擬合的效果就越差.但Q-Q圖檢驗要求必須是大樣本，否則結果不準確.[7]

1.4 尾部相依性

尾部相依性主要反映了當一個隨機變量X大幅度變化時，另一隨機變量Y也發生大幅度變化的概率.由于金融時間序列具有尖峰厚尾的特點，所以在金融分析時研究隨機變量的尾部相依性是非常重要的.Clayton Copula函數恰好能反映出當一個隨機變量暴漲或暴跌時，另一隨機變量也發生暴漲或暴跌的概率.

根據Clayton Copula函數的定義和性質，可以推導出Clayton Copula函數的表達式.正尾部相依性λU(α)=P(Y>qα|X>qα)=(1-2α+c(α，α))/(1-α)；負尾部相依性λL(α)=P(Y

2 實證分析

主要研究將指數波動轉化為收益率的數據.數據選取的時間為2011年10月24日至2011年11月18日，數據選取的對象是股指期貨IF1112指數的5 min內最小值(GZX)和上證指數的5 min內最小值(SZX).價格定義為每5 min內指數的最小值PT，對數收益率定義為rt=100ln(Pt/Pt-1).選取該時間段內同期交易的1 200對數據構成兩個序列，應用Eviews，SPSS，Matlab等軟件計算和繪圖.

2.1 極小值收益率序列的波動圖

使用Eviews軟件計算了收益率，并繪制了極值收益率序列的波動圖，見圖1.

圖1 GZX和SZX收益率序列波動圖

圖1中兩圖縱坐標分別表示股指期貨和上證指數的對數收益率，橫坐標表示時間樣本數，每5 min取一個樣本值.從圖1可見當股指期貨的收益率上漲或下降時，上證指數的收益率也上漲或下降，兩個極小值收益率序列的波動趨于一致，這說明股指期貨市場與股票市場之間的極小值收益率具有高度相依性.計算得股指期貨和上證指數的極小值收益率序列的統計量見表1.

表1 極小值收益率序列的統計量

由表1可知SZX收益率序列、GZX收益率序列的J-B統計量均不服從正態分布.因為偏度值都大于零，所以都出現了右偏.

2.3 檢驗Clayton Copula函數

雖然參數θ的估計值在定義域內，但Clayton Copula函數是否能用來描述GZX與SZX收益率序列之間的相依性還需進一步檢驗.這里使用均勻分布的Q-Q圖進行檢驗，結果見圖2.

從圖2中發現Q-Q圖大致呈一條直線，即Clayton Copula函數能夠高效準確地反映最小值收益率序列的相依性.

圖2 收益率的Clayton Copula Q-Q圖檢驗

圖3 GZX與SZX對應收益率序列最優經驗分布散點圖

2.4 尾部相依性

2.4.1 最優經驗分布散點圖

用收益率序列的最優經驗分布所得0-1序列的散點圖(見圖3)，來研究對應極小值的尾部相依性.從圖3可以看出，GZX與SZX對應收益率序列最優經驗分布散點圖具有很強的尾部相依性.

2.4.2 GZX與SZX收益率的相依性研究

由Clayton Copula函數計算下尾部相關系數：當α=0.925時，λL=0.802 9；當α=0.975時，λL=0.928 0；當α=0.995時，λL=0.985 0；當α→1時，λL= 0.591 6.

當GZX收益率超過q0.925，q0.975，q0.995時，SZX收益率超過對應分位數的概率分別為0.802 9，0.928 0，0.985 0，分別大于0.075，0.025，0.005，由此得出GZX與SZX收益率序列有較強的下尾部相依性.通過研究下尾部相依性，可知當GZX收益率暴跌時，SZX收益率發生大幅度下跌的概率是很大的.

3 結論

通過實證研究，發現Clayton Copula函數能夠較好地描述GZX與SZX收益率序列的下尾部相依性.即GZX收益率暴跌時，SZX收益率也暴跌的概率比較大，但上漲時相依性較弱.此結論與熊市期間我國股指期貨與上證指數之間的實際走勢基本一致.從熊市投資者投資行為上分析，投資者看到股指期貨指數暴跌時，大多數投資者處于悲觀氛圍中，賣出股票，從而使得上證指數也隨之暴跌；而股指期貨指數暴漲時，大多數投資者的謹慎買入導致上證指數不會暴漲，或暴漲滯后.[8-9]

[1] GUMBEL E J.Bivariate exponential distributions [J].Journal of American Statistical Association，1960，55：698-707.

[2] CLAYTON D G.A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence [J].Biometrika，1978，65：141-151.

[3] EMBRECHTS P，LINDSKOG F，MCNEIL A.Modeling dependence with Copulas and applications to risk management [M].Switzerland：Zürich，2001：55-58.

[4] FREES E W，VALDEZ E A.Understanding relationships using Copulas[J].North American Actuarial Journal，1998，2(l)：31-55.

[5] GENEST C，RIVEST L P.Statistical inference procedures for bivariate archimedean Copulas [J].Journal of the American Statistical Association，1993，88：1034-1043.

[6] HURLIMANN W.Fitting bivariate cumulative returns with Copulas [J].Computational Statistics & Data Analysis，2004，45：355-372.

[7] ROCH O.Testing the bivariate distribution of daily equity returns using copulas.：an application to the Spanish stock markert[J].Computational Statistics & Data Analysis，2006，51：1312-1329.

[8] 鄭東.附加交易費用的動態投資組合魯棒策略[J].東北師大學報(自然科學版)，2014，46(6)：30-34.

[9] 霍俊爽.基于Gumbel Copula函數的金融高頻數據極大值相依性[J].東北師大學報(自然科學版)，2015，47(4)：49-52.

(責任編輯：李亞軍)

Extremeinterdependencyofthehigh-frequencydatainfinancialmarketsresearchbasedonClaytonCopulafunction

HUO Jun-shuang1，ZHANG Ruo-dong1，PAN Shu-xia1，TAI Zhi-yan1，DONG Xiao-gang2

(1.Department of Mathematics，Jilin Medical College，Jilin 132013，China； 2.School of Basic Sciences，Changchun University of Technology，Changchun 130012，China)

Based on Clayton Copula function，the dependency of the sequence yielded by 5 minutes minimum of index futures IF1112 index and SSE 000 001 is studied，and the interdependence of their microstructure is explored deeply.

Copula function；Clayton Copula function；dependency

1000-1832(2017)03-0038-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.03.009

2016-03-27

國家自然科學基金資助項目(11071026);吉林省教育廳“十二五”科學技術研究項目(2015393).

霍俊爽(1982—),男,碩士,副教授,主要從事應用統計研究.

O 212.1 [學科代碼] 110·2110

A