內共振作用下軸向運動黏彈性梁橫向受迫振動

黃玲璐, 毛曉曄, 丁 虎, 陳立群,2

(1.上海大學 上海市應用數學和力學研究所, 上海 200072； 2.上海大學 力學系，上海 200444)

內共振作用下軸向運動黏彈性梁橫向受迫振動

黃玲璐1, 毛曉曄1, 丁 虎1, 陳立群1,2

(1.上海大學 上海市應用數學和力學研究所, 上海 200072； 2.上海大學 力學系，上海 200444)

研究內共振與外部激勵共同作用下，軸向運動黏彈性梁橫向非線性振動的穩態響應。在運動梁動力學建模中采用Kelvin本構關系，并取物質時間導數。首次將直接多尺度法應用到軸向運動連續體的內共振研究。通過直接對連續體的偏微分-積分控制方程運用多尺度法，建立內共振條件下的橫向非線性受迫共振的可解性條件。并通過穩定性分析，得到穩態響應解的穩定邊界。另外還考察了參數對響應的影響。運用數值仿真驗證了近似解析方法的正確性及有效性。

軸向運動梁；內共振；受迫振動；直接多尺度法

在工業生產和工程實際中，存在許多軸向運動的工程系統，例如動力傳送帶、帶鋸、高樓升降機纜繩、空中纜車索道、發動機中的張緊皮帶等。通常這些系統都可以建模為沿著軸向運動的梁或者弦線，當系統的抗彎剛度不可忽略時，這些工程系統元件均可以模型化為軸向運動梁。因此，對于軸向運動梁的研究具有廣泛應用前景。國內外學者也對此進行了很多有意義的研究[1-4]。

Ding等[5]研究了亞臨界狀態下軸向運動梁非線性振動的固有頻率，比較了兩組橫向模型與平面耦合模型。呂海煒等[6]研究了軸向運動軟夾層梁的橫向振動特性。隨著研究的深入，學者們開始聚焦于內共振對軸向運動體非線性動力學的影響。馮志華等[7]對滿足3∶1內共振條件的軸向運動梁的參激振動平凡解穩定性進行了分析。陳樹輝等[8]研究得到了軸向運動梁內共振復雜的頻率-振幅響應曲線。Ghayesh等[9-15]對軸向運動Euler梁的內共振下的受迫振動穩態響應進行了研究。需要說明的是，以后的研究大都是將運動體橫向振動的非線性控制方程進行Galerkin截斷，再對截斷后的多自由度非線性常微分方程組進行進一步的分析。直接對非線性偏微分(-積分)方程進行分析，以研究內共振條件下軸向運動梁受迫振動的相關研究還很罕見。

本文運用直接多尺度法研究3∶1內共振條件下的軸向運動黏彈性梁橫向非線性受迫振動的穩態響應，并運用數值方法對近似解析解進行了驗證。

1 控制方程

考慮如圖1所示的兩端簡支的軸向運動梁，其截面積為A，長度為L，密度為ρ，初始張力為P，并以一致的恒定速度Γ沿軸向移動，考慮外部存在簡諧激勵F=Bsin(Ωt)，其中B和Ω分別為激勵的幅值和頻率。當滿足I/(AL2)<0.001時，用Euler-Bernoulli梁模型來描述梁的動力學特性已經足夠精確。

圖1 軸向運動梁物理模型

根據廣義的哈密頓原理建立軸向運動梁橫向振動控制方程：

ρA(V,TT+2V,TXΓ+Γ2V,XX)+M,XX-PV,XX-

(1)

式中：V(X,T)為梁的橫向位移；σ(X,T)和M(X,T)分別為梁沿軸向分布的附加應力和彎矩。黏彈性本構關系為Kelvin模型并取物質時間導數，該軸向運動黏彈性梁的應力和應變的關系為

(2)

(3)

簡支邊界條件為

V(0,T)=V(L,T)=0,V,XX(0，T)=V,XX(L,T)=0

(4)

為將式(3)無量綱化，引入空間和時間的坐標變換及新的參數：

(5)

(6)

利用式(5)和式(6)，對式(3)進行無量綱化，得到：

γv,xxxxx)=bsin(ωt)+

(7)

相應的邊界條件變為

(8)

1.1固有頻率及內共振條件

忽略方程(7)中的非線性部分，得到運動方程的派生系統：

(9)

方程(9)的四自由度解寫為

(10)

cc表示等號右端前四項的共軛復數，其中模態函數為

(11)

將四自由度解以及模態函數代入派生系統方程中，依次乘以sin(mπx)，并對x從0到1積分，按照exp(Iωnt)歸納整理可到一下四個方程：

(12)

(13)

(14)

(15)

式中：

(16)

為滿足式(12)～(15)，exp(Iωnt)的系數必須為零，由此可以得到16個方程構成的方程組。而cn,m不可能全部為0，由線性代數知識可知其Jacobi矩陣行列式值必然為0

(17)

由此系統固有頻率以及3∶1內共振條件可以解出。

選取常用V帶作為具體研究對象，其物理參數GB/T 1171—1996，如表1所示。

表1 V帶的物理參數

V帶的橫截面如圖2所示。

圖2 V帶的橫截面

根據表1的物理參數求得3∶1內共振條件以及前四階固有頻率，如表2所示。

表2 派生系統的前四階固有頻率

2 主共振響應

對式(7)應用直接多尺度法，先對方程引入重刻度，使得非線性恢復力、阻尼力以及外激勵出現在同一個方程中：

b=ε3b,α=ε2α,v(x,t)=εv(x,t)

(18)

由于控制方程中只有立方非線性，可以設控制方程的解為

v(x,T0,T2)=v0(x,T0,T2)+ε2v2(x,T0,T2)

(19)

式中：T0=t表示對應于無黏彈性阻尼的和外激勵的線性系統以固有頻率ωn運動時的快時間尺度，T2=ε2t表示更慢的時間尺度；這是因為阻尼和外激勵而引發的振幅及相位慢變。將式(19)及關于t的導數

(20)

代入式(7)，并提取ε0和ε2項系數，令它們的系數為零得到：

(21)

2γv0,T2x+2v0,T0T2+v2,T0T0+2γv2,T0x-

(22)

式(21)為齊次線性偏微分方程，其解可以寫成：

v0(x,T0,T2)=A1(T2)Θ1(x)eIω1T0+

A2(T2)Θ2(x)eIω2T0+cc

(23)

式中：cc表示等號右端前兩項的共軛復數；ω1、ω2為固有頻率；An(T2)為待定函數；Θ1、Θ2為模態函數，其表達式為

Θn(x)=pn,1sin(πx)+pn,2sin(2πx)+

pn,3sin(3πx)+pn,4sin(4πx),

(24)

將式(23)和式(24)代入方程(21)，用待定系數法求出模態函數中系數pn,m，以及pn,m的共軛復數。

為表示第二階固有頻率離開ω2的程度以及擾動頻率ω離開ω1的程度，引入調諧參數σ1、σ2，

ω2=3ω1+ε2σ1,ω=ω1+ε2σ2

(25)

將式(21)的解v0代入方程(22)中，尋求陀螺系統的可解性條件，由于只需去除方程中的長期項，因此僅需考慮方程的齊次解，可將式(22)的解寫成：

v2(x,T0,T2)=Q1(x,T2)eIω1T0+Q2(x,T2)eIω2T0

(26)

(27)

將式(23)和式(26)代入方程(22)，利用(25)的關系，內積后分別提取等號兩邊exp(iω1T0)以及exp(iω2T0)系數，可以得到：

(28)

式中：Hn,m是指數項系數中不含qn,m的部分，將列向量替換qn,m系數矩陣中任意列，即可得到可解條件。

引入待定函數A1,A2的極坐標表達式

(29)

式中：an表示響應幅值；θn表征響應的相角。將皮帶數值代入，可以得到無量綱剛度kf=0.2，無量綱非線性系數k1=23.8，無量綱阻尼系數α=0.001，無量綱激勵幅值b=0.01，梁的無量綱速度取γ=0.511 26，求得可解性條件如下：

7.287 587 915×106a1σ2-6.869 475 935×108Iαa1-

(30)

1.521 519 152×1010Iαa2=0

(31)

分離方程(30)的實部虛部得到：-6.869 475 935×108αa1-1.309 834 7×106bcos(β2)+

(32)

7.287 587 915×106a1σ2-1.945 387 102×

(33)

分離方程的實部虛部得到：

1.521 519 152×1010αa2=0

(34)

4.780 311 616×107a2σ2+1.593 437 205×107a2σ1-

(35)

從式(32)，(33)，(34)，(35)中消去相角，得到幅頻響應方程并用數值仿真結果驗證。

3 數值驗證

上節用直接多尺度方法得到了穩態周期解的幅頻響應方程，本節采用龍格-庫塔法，對四階截斷方程進行仿真，以驗證解析方法的有效性以及正確性。

選取與解析過程中相同的黏彈性梁參數，將仿真結果與解析解畫在同一副圖中，如圖3所示。圖3中虛線是穩定邊界，采用勞斯-霍爾威茲判據，由式(32)和式(33)計算得到。在該邊界內的區域響應不穩定，而區域外響應穩定。掃頻仿真中，上一步的穩態作為下一步計算的初始值，以考察初始值對非線性跳躍區域的影響。觀察圖3可以發現在不穩定的區域內，幅頻響應會出現跳躍現象，且系統的非線性呈硬特性。此外，從圖中可以看出，近似解析分析和數值仿真吻合得較好，由此驗證了近似解析分析結果的有效性及正確性。

圖3 一階主共振時幅頻響應曲線

利用解析方法，不僅可以得到穩態響應幅頻曲線，在主共振附近任意頻率上都可以解出響應的響應幅值及相角，進而可以得到此時的時域響應曲線。同樣，解析結果的正確性用仿真結果驗證，如圖4所示。

圖4 一階主共振時時域響應曲線

圖4中，實線代表解析解，圓圈代表仿真得到的時域響應曲線，可以發現解析與仿真結果吻合非常好，又一次驗證了解析方法的有效性及正確性。

4 非線性參數影響及滯后現象

與線性系統不同，非線性系統的共振峰會產生彎曲，非線性越強，彎曲幅度越大。通過更改幅頻響應方程中的非線性系數，得到三組非線性參數下的幅頻響應曲線，以考察非線性系數對系統響應的影響。從圖5所示的幅頻響應曲線中，可以觀察發現當非線性系數超過一定范圍時，幅頻響應曲線存在多值區域，也就是跳躍現象。從圖5中還可以發現，雖然非線性系數呈等差關系，但是，隨著非線性系數的增加，共振峰的彎曲幅度呈非線性增長。因此，非線性系數對軸向運動梁的動力學特性影響非常顯著。

圖5 非線性參數對幅頻響應的影響

為了考察外激勵幅值的影響，圖6給出了是一階主共振時第一階模態響應幅值在不同激勵頻率下隨外激勵幅值的連續變化曲線。觀察發現，當解諧參數大于某一個臨界值時，幅值曲線才會出現多值現象，這也稱之為滯后現象。一般來說，滯后現象發生的條件與系統非線性特性是密切相關的。本文研究的非線性特性表現為硬特性，即穩態幅頻響應曲線向右彎曲。因此，也只有外部激勵的頻率在大于固有頻率時才會發生滯后現象。

圖6 一階主共振第一階模態滯后曲線

圖7是一階主共振時第二階模態的滯后曲線。圖8是對圖7的局部的放大。觀察圖7可以發現，同樣只有在激勵頻率大于固有頻率時才會出現滯后現象。這是由系統前兩階模態滿足3∶1內共振的耦合作用引起并決定的。實際上，第一階模態多值區間與第二階模態的多值區間有共性。但是，對比發現，與第一階模態不同的是，當外部激勵的幅值超過一個臨界值后，第二階模態上的響應將不再變化，這稱之為飽和現象。這種能量在不同模態間的轉移是內共振所特有的。

5 結 論

本文運用直接多尺度方法研究了軸向運動黏彈性梁橫向非線性受迫振動，主要考察了內共振對系統穩態響應的影響，特別是能量在不同模態間的轉移。在直接多尺度的應用過程中，考慮了陀螺系統的特點，計入了軸向運動梁前四階的模態，而非傳統做法中的兩階模態。解析方法的有效性及正確性得到了仿真結果的驗證。研究結果表明，非線性參數對幅頻響應的影響非常大，跳躍現象以及滯后現象只發生在外激勵頻率大于固有頻率的條件下，同時，還發現了二階模態響應中內共振特有的飽和現象。

圖7 一階主共振第二階模態滯后曲線

圖8 一階主共振第二階模態滯后曲線局部放大

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Transversenon-linearforcedvibrationofanaxiallymovingviscoelasticbeamwithaninternalresonance

HUANG Linglu1, MAO Xiaoye1, DING Hu1, CHEN Liqun1,2

(1.Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200072, China;2．Department of Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200444, China)

The transverse nonlinear forced vibration of an axially moving viscoelastic beam with a three-to-one internal resonance was analytically and numerically studied here. The beam material obeys Kelvin constitution relation model with material time derivatives adopted. For the first time, the multi-scale method was used to study the internal resonance of the axially moving continuous beam. The solvability condition for the transverse nonlinear forced vibration of the beam was derived under the internal resonance condition. The stable boundary for the beam’s steady-state response solution was obtained with the stability analysis. The effects of the system parameters on the beam’s steady-state response were examined. Finally, the correctness and effectiveness of the proposed approximate analytical method were verified with numerical simulations.

axially moving beam; internal resonance; forced vibration; multi-scale method

國家自然科學基金重點項目(11232009)；國家自然科學基金(11372171；11422214)

2016-01-13 修改稿收到日期：2016-06-24

丁虎 男，博士，教授，博士生導師，1978年3月生 E-mail:dinghu3@shu.edu.cn

O322

： A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.17.011