門式框架結構的瞬態波動響應和自振特性研究

許蘭蘭, 余云燕

(蘭州交通大學 土木工程學院 730070)

門式框架結構的瞬態波動響應和自振特性研究

許蘭蘭, 余云燕

(蘭州交通大學 土木工程學院 730070)

研究門式框架結構在瞬態波動作用下的動力響應求解和自振特性分析問題。建立了局部坐標系下節點位移協調條件和力平衡條件，借助回傳射線矩陣法，得到了方波脈沖激振力作用下的門式框架結構的動力學響應函數。在此基礎上，通過離散Fourier逆變換和卷積變換，得到單位脈沖作用下框架結構的瞬態波動響應，并進一步探討了門式框架結構的自振頻率和模態特征。

回傳射線矩陣法； 門式框架； 波動響應； 自振頻率； 模態

在土木建筑和機械設備中，平面或空間框架結構得到了廣泛的應用。在設計、施工和使用過程中，這些結構不僅受到長期的靜荷載作用，還受到不同的動荷載(如地震、風荷載、沖擊荷載)作用。由于此類動荷載具有突發性、不確定性和反復性等特點，使得框架結構在動荷載作用下的動力學響應分析相比傳統的靜力響應分析更具理論挑戰。

近年來，框架結構的動力學響應分析受到了國內外學者的廣泛研究。例如，文獻[1-3]借助軸向波和撓曲波在桿件中的傳播原理，應用Timoshenko梁理論提出了回傳射線矩陣法的波動建模方法。文獻[4]利用回傳射線矩陣法分析了平面框架結構并和Ansys的計算結果進行比較，表明回傳射線矩陣法在計算結構受沖擊后短時的瞬態響應時，具有很高的精確性。文獻[5-6]基于Laplace變化的回傳射線矩陣法，研究了用節點質量和節點阻尼進行結構減振的可能性。文獻[7]將回傳射線矩陣法引入到基礎結構的動力分析中，應用Timoshenko梁理論建立了彈性地基梁模型。文獻[8-9]應用回傳射線矩陣法，研究了平面埋置框架結構瞬態波動響應和有缺陷埋置框架結構的損傷識別方法。文獻[10-11]研究了復雜框架結構的回傳射線矩陣的統一列式表達方法，進而研究了該類結構的自振特性。文獻[12]中對回傳射線矩陣法進行了綜述，通過該方法可獲取框架結構的軸向、扭轉、彎曲等應變波；尤其是借助紐曼級數確定結構早期瞬態相應時，該方法效果較好。

從上述研究可見，在分析結構動力學響應時，回傳射線矩陣法是一種有效方法。但是，當應用該方法研究框架結構動荷載響應時，仍有一些科學問題尚需進一步深入研究。首先，由于框架復雜多變，導致此類對象靜力平衡關系和位移協調條件復雜且關聯耦合，使的應用框架結構動力學建模方法難以應對。其次，由于框架結構節點多且位置分散，在動荷載作用下，各節點之間的散射關系難以定性描述。上述困難限制了回傳射線矩陣法在實際工程中的廣泛應用。

為克服以上困難，本文針對典型的門式框架結構，借助回傳射線矩陣法，建立了相應的動力學模型和節點散射關系，進而研究了該結構在動荷載作用下的波動響應并進行自振分析。文中所提方法具有以下創新點：① 分析并建立了節點間的靜力平衡關系和位移協調條件，準確的描述了動荷載條件下的節點間的散射關系。② 應用了回傳射線矩陣法，給出了出射波波幅向量表達式，方便的得到門框架結構的瞬態波動響應，并進一步分析了結構自振頻率和固有模態。

本文組織結構如下。第一節描述需研究的問題并提出回傳射線矩陣法，第二節應用回傳射線矩陣法研究了門式框架結構瞬態相應，第三節中進行了模態分析，第四節中給出了本文主要結論。

1 回傳射線矩陣法基本原理

本節研究門框架結構在動荷載作用下的動力學建模問題，以期得到節點散射特性。首先針對門框架結構，建立了回傳射線矩陣，求解頻域中所有組成桿件的內力、位移與速度等參量；然后分析了該結構中速度波的傳播特性，最終得到了各參量在對應節點處的散射特性。本文所研究的典型門式框架結構如圖1(a)和(b)所示；針對圖1(a)結構，建立總體坐標系(X,Y)，引入兩個對偶局部坐標系(x,y)JR和(x,y)KJ，以節點3為例，其局部坐標系與全局坐標系之間的關系如圖1(c)和(d)所示。

(a) 門式框架結構

(b) 整體和局部坐標系

(c) 局部坐標系

(d) 整體坐標系

如圖1所示，該框架結構包含了7個節點和6個桿件，節點分散處于不同的位置，且節點間存在不同的力與位移平衡制約關聯。在不考慮材料阻尼及外界影響的情況下，局部坐標系下各單元的波動控制方程為

(1)

式中：u為軸向位移；vb為彎矩引起的撓曲位移；vs為剪切引起的撓曲位移；總撓曲位移為v=vb+vs;ρ，A，I分別為桿件密度、橫截面面積和截面慣性矩；E，G，k′為桿件楊氏模量、剪切模量和剪切系數，其物理力學參數數值見表1。

表1 門式框架結構物理力學參數

(2)

對式(2)進行FFT并進行求解，得到位移在頻域中的表達式為

(3)

(4)

(5)

式(4)，式(5)中，a1(ω),a2(ω),a3(ω)為入射波波幅，d1(ω),d2(ω),d3(ω)為出射波波幅，k1,k2,k3為波數；滿足：k1=ω，

式(4)和(5)中包含了一些虛部模態，在不考慮能量耗散條件下，撓曲波中會出現彌散現象。此外，軸力、剪力、彎矩和轉角在頻域中的表達式為

在總體坐標系下，對所有節點建立靜力平衡關系和位移協調條件，以剛節點3(圖2)為例有：

-F32+Q36+F34=0，Q32+F36-Q34=0，M32+M36+M34=0，-u32=v36，v36=u36，u36=-v34，φ32=φ36，φ36=φ34

(6)

式(6)代入方程的解并整理成矩陣形式，有：

d3=S3a3+s3

(7)

式中:a3和d3分別為剛節點3處局部坐標系下的入射波和出射波波幅向量，S3為節點3處的9×9維局部散射矩陣，s3為波源向量，即：

s3=[0 0 0 0 0 0 0 0 0]T

上述表達僅給出了框架結構節點3分散射關聯，其他的節點亦存在相應的散射關聯表達式。定義其他節點的局部散射矩陣S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7和局部波源向量矩陣s1、s2、s3、s4、s5、s6、s7，以及入射波波幅向量a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7和出射波波幅向量d1、d2、d3、d4、d5、d6、d7，對所有7個節點建立相應的力與位移平衡制約關系，再將所有節點的散射關系按照節點順序組合可得框架結構總體散射關系為

上述模型給出了門框架結構的7節點散射關聯。而當選擇m個不同節點時，門框架結構散射關聯可寫為

d=Sa+s

(8)

式中：S為總體散射矩陣，是一個6 m×6 m維分塊對角矩陣；s為6 m維列向量，是總體波源向量；a和d為6 m維總體入射波和總體出射波列向量；m為節點數。

從局部坐標角度看，對于任一單元JK，其中一端的入射波對另一端而言就是出射波。因此，入射波的波幅向量和出射波的波幅向量之間應滿足如下相位關系：

(9)

(10)

d=[I-R]-1s

(11)

式中：R=SPU為回傳射線矩陣，I為單位矩陣。通過Fourier逆變換，可得各量值在時域中的響應。以速度波為例，有：

(12)

式中：AV和DV分別為桿件的入射波速度波相矩陣和出射波速度波相矩陣。利用紐曼級數，并由式(12)可得單位脈沖作用下時域速度響應V為

(13)

從式(13)可見，通過選擇不同的參數N，可以求解出相應精度的數值解。在實際計算中，可根據實際情況確定N的取值，就可求得有限時間內瞬態波的波動反應。此外，由于同一桿件中用了兩個局部坐標系而產生了因果關系，會使入射波波幅向量a和出射波波幅向量d多傳播一次。例如：a(0)=0，d(0)=Is；a(1)=PUd(0)，d(1)=(I+R)s；…；a(N)=PUd(N-1)，d(N)=(I+R+…+RN)s。可知，上述因素會導致入射波波幅向量和出射波波幅向量不同步[13]。

2 門式框架瞬態波動響應

在本節中，首先依照回傳射線矩陣法計算了門式框架結構的速度傳播，然后對節點的受力平衡和位移協調關系進行驗證，用以說明本文所提方法的有效性。

2.1速度波的傳播

2.1.1 軸向波與撓曲波的波速關系

同理，可以得到在激振荷載作用下的各桿件單元，在軸向速度波和撓曲速度波沿桿件長度上的無量綱傳播時間，如表2所示。

表2 各桿件的無量綱長度及波傳播的無量綱時間

圖2 桿件2-1軸向和撓曲速度波傳播的無量綱時間

2.1.2 節點處速度波的反射與透射

通常而言，相應波在傳播過程中經過節點時既有反射，又有透射。以節點3為例，其響應如下圖3所示。

(a) N=0

(b) N=2

如圖3(a)所示，節點2受到方波激振后，波沿單元2-3傳播到達節點3，該波為節點3的首次入射波，N=0。該入射波到達節點后經過一次回傳(N=1)沿單元3-2傳播的出射波為節點3的反射波，沿單元3-6，單元3-4傳播的出射波為節點3的透射波。由圖可知，反射波和透射波的脈沖方向均與入射波脈沖方向相反，透射波波形曲線與反射波波形曲線之和與入射波波形曲線等值反向，疊加之和為零。圖3(b)為由節點3反射，透射后的各條曲線傳播至節點1、節點4和節點6，經各節點反射回節點3的入射波(N=2)，再次經節點3反射、透射后的各條曲線。由圖可知，由于各桿件的長度不同，經節點1、節點4和節點6反射回來的入射波到達節點3的無量綱時間并不相同，從而經節點3再次反射、透射所發生的時間亦不相同。無量綱時間40.416、42.725、76.439處為由節點1、節點4、節點6反射回節點3的入射波到達時間及相應的入射波、反射波和透射波波形曲線，三種波疊加后其和為零。軸向波在豎桿的傳播形式經節點3透射后在橫桿上以撓曲波的形式傳播，其波形發生變化。

2.1.3 速度波的傳播

圖4顯示了縱向速度波經過不同回傳次數后到達接收點A的結果，由節點2出射的波分別向節點1、3傳播。

(a) 首次波形(N=0)

(b) 回傳一次(N=1)

(c) 回傳兩次(N=2)

(d) 回傳三次(N=3)

(e) 回傳四次(N=4)

(f) 回傳五次(N=5)

(g) 回傳六次(N=6)

(h) 經過接收點A的前六條波

表3經過N次節點回傳后到達接收點A的縱向、橫向速度波的傳播路徑、類型及時間

Tab.3Propagationpath,typeandtimeoftheaxialandflexuralvelocitywavesreachedatnodeA

回傳次數傳播路徑路徑長度縱波傳播時間橫波傳播時間波的類型02-A8.0838.08312.366入射波12-1-A26.55926.55940.632出射波22-3-2-A19.63019.63030.033入射波32-3-2-1-A38.10638.10658.299出射波4562-1-2-3-2-A54.27354.27383.0322-3-4-3-2-A56.58256.58286.5652-3-6-3-2-A65.82090.29676.2222-1-2-3-2-1-A72.74872.748111.2982-3-4-3-2-1-A75.05875.058114.8312-3-6-3-2-1-A84.296108.771104.4882-3-2-1-2-3-2-A57.73765.820100.6982-1-2-3-4-3-2-A91.22491.224139.5642-3-4-3-4-3-2-A93.53393.533143.0972-1-2-3-6-3-2-A100.462124.938129.2212-3-4-3-6-3-2-A102.771127.247132.7542-3-6-5-6-3-2-A102.771127.247132.7542-3-6-5-4-3-2-A102.771127.247132.7542-3-4-5-4-3-2-A102.771127.247132.7542-3-4-5-6-3-2-A102.771127.247132.7542-3-6-7-6-3-2-112.009136.485146.887入射波出射波入射波

(a) 首波

(b) 回傳一次(N=1)

(c) 回傳兩次(N=2)

(d) 回傳三次(N=3)

圖5表示橫向速度波經過N次回傳后到達接收點的波形圖。與縱向速度波相比，橫向速度波的無量綱傳播路程與無量綱傳播時間不相等，傳播時間滯后于傳播路程，且其波形曲線也發生了較為明顯的變形。受橫截面剪力系數κ′、剪切變形、轉動慣量等影響，橫向速度波并不是規則的方波，且隨著傳播距離的增大，其波形會發生較為明顯的變形。

2.2節點的受力平衡和位移協調關系

根據前文所述，回傳射線矩陣是由節點的受力平衡關系和位移協調關系建立的，故而結構上任一點由回傳射線矩陣法計算所得到的力和位移必定滿足受力平衡和位移協調關系，該關系可由圖(6)表示。

依照本文結論，圖(7)顯示了節點3所受軸力、剪力和彎矩波形圖；圖(8)顯示了節點3的位移、轉角波形圖。在上述計算過程中，紐曼級數展開項取N=12。

(a) 節點3軸力、剪力

(b) 節點3彎矩

(c) 節點2 軸力、剪力

(d) 節點2彎矩

由圖(7)可知，節點3在單元3-2所受的軸力與其在單元3-6所受的剪力、單元3-4所受的軸力之和大小相等，方向相反，其和為0，在單元3-2、單元3-6和單元3-4所受彎矩之和也為0，即-F32+Q36+F34-0，M32+M36+M34=0，即整體坐標系下節點3滿足受力平衡條件。同理可知整體坐標系下節點2同樣滿足受力平衡條件。

由圖(8)可知，節點3在單元3-2產生的軸向位移u32與其在單元3-6產生的橫向位移v36、單元3-4產生的軸向位移u34大小相等，方向相反，即u32=-v36=-u34。同理由圖(8)可知，v32=u36=-v34,φ32=φ36=φ34,即在整體坐標系下節點3滿足位移協調條件。

3 模態分析

3.1結構的自振頻率

由回傳射線矩陣法可知：[I-R]d=s。在計算固有頻率時，考慮自由振動和自由波的傳播問題，令波源向量s為零向量，方程變為：[I-R]d=0。若該方程有非零解，其系數行列式必為零，即[I-R]=0，對應的頻率ω即為所求的結構固有頻率[14]。將計算結果與有限元軟件ANSYS和SAP2000求得的結果對比如表3所示。

圖8 節點3的位移、轉角

由表3結果可以看出，利用回傳射線矩陣法求得的自振頻率同ANSYS和SAP2000求得的自振頻率結果非常接近，相對偏差較小，說明了本文RRMM方法的有效性。

3.2結構的固有模態

將固有頻率數值代入式(24)可以得到對應的非零出射波波幅向量d，再把d代入(18)式便得到了對應的入射波波幅向量a，最后將波幅向量a和d代入位移表達式，即可得到對應的模態[15]。圖(9)顯示了本文計算結果和SAP2000軟件計算得到結構模態對比。

表3 門式框架前12階自振頻率(ki=9/10)

(a) 一階模態

(b) 五階模態

(c) 八階模態

(d) 十階模態

(e) 十五階模態

(f) 二十階模態

由圖(9)結果可知，本文計算結果與SAP2000結構模態幾乎完全重合，說明應用本文中RRMM方法進行固有特性的計算結果有效，所得結果可靠。

4 結 論

本文基于回傳射線矩陣法，研究了門式框架在方波脈沖荷載作用下的瞬態響應和自振特性。所提方法可以方便的得到門式框架結構的動力學響應函數和單位脈沖作用下的瞬態波動響應，為進一步研究結構自振頻率和模態特征提供了可靠方法。

[1] HOWARD S M, PAO Y X. Analysis and experiments on stress waves in planar trusses[J]. Journal of Engineering Mechanics (ASCE), 1998, 124: 884-891.

[2] PAO Y X, KEH D C, HOWARD S M. Dynamic response and wave propagation in plane trusses and frames[J]. Journal of AIAA，1999,37(5): 594-603.

[3] PAO Y H, SUN G J. Dynamic bending strains in planar trusses with pinned or rigid joints[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2003,129: 324-332.

[4] CHEN J F，PAO Y H．Effects of causality and joint conditions on method of reverberation-ray matrix[J]．AIAA Journal, 2003,41(6): 1138-1142．

[5] PAO Y H, SU X Y, TIAN J Y．Reverberation matrix method for propagation of sound in a multilayered liquid[J]. Journal of Sound and Vibration, 2000,230(4):743-760．

[6] 徐劍鋒, 杜曉偉, 涂振國, 等. 鋼屋架瞬態動力響應的彈性波分析[J]. 上海交通大學學報, 2002,36(3): 432-435.

XU Jiangfeng, DU Xiaowei, TU Zhenguo, et al. Elastic wave analysis of transient response for a steel roof truss[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2002, 36(3): 432-435.

[7] 田家勇, 蘇先樾. 剛架結構中瞬態波的傳播[J]. 爆炸與沖擊, 2001,21(2): 98-104.

TIAN Jiayong, SU Xianyue. The transient waves in frame structures[J]. Explosion and Shock Waves, 2001,21(2): 98-104.

[8] 田家勇, 蘇先樾. 剛架結構的節點質量阻尼減振分析[J]. 固體力學學報, 2002,23(1): 41-52.

TIAN Jiayong, SU Xianyue. The vibration suppression of joint mass-damping in frame structures[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 2002,23(1): 41-52.

[9] 陳云敏,王宏志. 回傳射線矩陣法分析樁的橫向動力響應[J]. 巖土工程學報, 2002,24(3):271-275.

CHEN Yunmin, WANG Hongzhi. Analysis on lateral dynamic response of a pile with the method of reverberation ray matrix[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2002,24(3):271-275.

[10] 余云燕. 在埋置框架中應力波傳播的影響因素分析[J]. 計算力學學報, 2007,24(5): 659-663.

YU Yunyan. Stress wave propagation and study on influencing factor in frame structure embedded partially in soil[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2007,24(5): 659-663.

[11] 余云燕. 有缺陷埋置框架的波動響應及影響因素研究[J]. 振動工程學報, 2007,20(2): 194-199.

YU Yunyan. Studies on wave responses of a defective frame structure embedded partial ly in soil and influence factors[J]. Journal of Vibration Engineering, 2007,20(2): 194-199.

[12] PAO Y H, CHEN W Q. Elastodynamic theory of framed structures and reverberation-ray matrix analysis[J]. Acta Mechanica, 2009,204(1):61-79.

[13] 郭永強. 回傳射線矩陣法的理論及其應用[D]. 杭州：浙江大學, 2008.

[14] 郭永強,陳偉球,肖春文. 復雜空間框架結構的自振特性分析[J]. 振動工程學報, 2008,21(3): 261-267.

GUO Yongqiang, CHEN Weiqiu, XIAO Chunwen. Dynamic property analysis of complex space structures[J]. Journal of Vibration Engineering, 2008,21(3): 261-267.

[15] MIAO F X，SUN G J, PAO Y H. Vibration mode analysis of frames by the method of reverberation ray matrix[J]. Journal of Vibration and Acoustics. 2009,131:1-5.

Transientresponseandnaturalvibrationcharacteristicsofportalframes

XU Lanlan, YU Yunyan

(School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Here, transient responses and natural vibration characteristics of portal frames were studied under shocking load with the reverberation-ray matrix method (RRMM). Firstly, the node displacement compatibility conditions and force equilibrium conditions were established under the local coordinate system. The dynamic response function of a portal frame was obtained with RRMM under the action of a square wave impulse exciting load. Afterwards, the transient response of the portal frame under the action of a unit impulse was obtained using the inverse fast Fourier transformation (IFFT) and the convolution transformation. Furthermore, natural frequencies and modal characteristics of the portal frame were discussed.

reverberation-ray matrix method, portal frame, transient response, natural vibration frequency, mode

國家自然科學基金(51268031)；甘肅省基礎研究創新群體資助(145RJIA332)；甘肅省自然科學基金(1107RJZA084)

2016-04-06 修改稿收到日期：2016-07-27

許蘭蘭 女，講師，1978后生

余云燕 女，教授，博士生導師，1968年生

E-mail: yuyunyan@mail.lzjtu.cn

TH1

： A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.17.026