基于雙穩(wěn)態(tài)發(fā)電的非線性吸振器的動(dòng)力學(xué)特性及參數(shù)影響研究

任博林， 劉麗蘭， 張小靜， 李淑超

(西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048)

基于雙穩(wěn)態(tài)發(fā)電的非線性吸振器的動(dòng)力學(xué)特性及參數(shù)影響研究

任博林， 劉麗蘭， 張小靜， 李淑超

(西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048)

基于雙穩(wěn)態(tài)發(fā)電建立了在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的非線性吸振器的動(dòng)力學(xué)模型。從數(shù)值仿真的角度研究了在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下基于雙穩(wěn)態(tài)發(fā)電的非線性吸振器的動(dòng)力學(xué)特性，分析了激勵(lì)頻率和激勵(lì)幅值對(duì)吸振器發(fā)生大幅混沌運(yùn)動(dòng)的影響規(guī)律。研究了調(diào)諧頻率比f、質(zhì)量比μ、非線性強(qiáng)度β和吸振器的阻尼系數(shù)γ1對(duì)非線性吸振器和主系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，得到了主系統(tǒng)發(fā)生共振和非共振情況下非線性吸振器的最優(yōu)參數(shù)配置，為非線性吸振器的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。

非線性吸振器；雙穩(wěn)態(tài)發(fā)電；簡(jiǎn)諧激勵(lì)；參數(shù)配置；動(dòng)力學(xué)

隨著科技的發(fā)展，將電子設(shè)備工作環(huán)境中的振動(dòng)能量轉(zhuǎn)換為電能，提供新的綠色電源系統(tǒng),并且在一定程度上起到減振作用，可謂是一舉兩得[1-2]。

許多研究已表明線性或非線性振蕩器附加非線性吸振器的振動(dòng)系統(tǒng)能夠不可逆地傳輸能量[3-4]。為了提高吸振效果，大部分作者開始研究非線性振動(dòng)減振器，證明非線性吸振器比線性吸振器能更有效地提高帶寬，降低共振響應(yīng)[5-7]。近年來，為了提高吸振效果，大部分作者開始研究非線性振動(dòng)減振器，證明非線性振器已經(jīng)應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，例如Zhang等[8]研究表明了非線性吸振器可以顯著抑制由于風(fēng)速引起的復(fù)合材料層合板的強(qiáng)烈振動(dòng)。Han等[9]對(duì)在隨機(jī)激勵(lì)下線性、非線性的單自由度能量收集器的性能作了比較，證明非線性能量捕獲器更加有效。張也馳[10]構(gòu)造了一個(gè)由單自由度非線性能量阱和兩自由度減振對(duì)象組成的系統(tǒng)，來研究非線性能量阱對(duì)雙共振峰的振動(dòng)抑制效果，結(jié)果表明了非線性能量阱在正弦激勵(lì)作用下具有良好的寬頻減振效果。Taghipour等[11]研究了非線性振蕩器附加兩自由度的非線性吸振器的穩(wěn)定性，分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)振幅的影響。彭海波等[12]對(duì)一種含負(fù)剛度元件的新型動(dòng)力吸振器通過解析解和數(shù)值解進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化，利用固定點(diǎn)理論得到了動(dòng)力吸振器的最優(yōu)阻尼比和最優(yōu)頻率比。Kremer等[13]采用非線性吸振器收集能量，電腦仿真研究該裝置在瞬態(tài)響應(yīng)條件下減振和收集能量的性能，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了仿真結(jié)果。

本文提出了基于雙穩(wěn)態(tài)發(fā)電的非線性吸振器系統(tǒng)，該吸振器不僅可以對(duì)主系統(tǒng)減振，并且將吸收的振動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能，針對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)特性分析及結(jié)構(gòu)參數(shù)(調(diào)諧頻率比f、質(zhì)量比μ、非線性強(qiáng)度β及吸振器阻尼系數(shù)γ1)影響研究，得到了主系統(tǒng)發(fā)生共振和非共振情況下的非線性吸振器工作性能最佳的參數(shù)配置。

1 系統(tǒng)模型

本文所研究的基于雙穩(wěn)態(tài)發(fā)電的非線性吸振器系統(tǒng)的力學(xué)模型,如圖1所示。

圖1 非線性吸振器系統(tǒng)的力學(xué)模型

系統(tǒng)控制方程為

(1)

P0cos(Ωτ)

(2)

對(duì)式(1)和式(2)進(jìn)行無量綱化得到：

x″+(1+μ)fγ1x′-(1+μ)f2x+

(1+μ)f2βx3-γ2y′-y=-pcos(ωt)

(3)

y″+γ2y′+y-μfγ1x′+

μf2x-μf2βx3=pcos(ωt)

(4)

2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

(5)

則可以得到：

(6)

式中：a=(1+μ)f2,b=(1+μ)f2β,c=(1+μ)fγ1,d=μfγ1,e=μf2,k=μf2β。

令：

(7)

2.1平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)對(duì)應(yīng)平衡點(diǎn)(0,0,0,0)的雅可比矩陣為

(8)

其特征方程det(J1-λI)=0，即：

λ4+(c+γ2)λ3-(a-1-cγ2+dγ2)λ2-

(aγ2-eγ2-c+d)λ-a+e=0

(9)

式(7)的Routh-Hurwitz行列式為

Δ1=c+γ2,

(10)

因?yàn)棣?與Δ4符號(hào)相反，故必有一負(fù)。根據(jù)赫爾維茨判據(jù)：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是上述各行列式的各階主子式均大于零，可推導(dǎo)出平衡點(diǎn)(0,0,0,0)不穩(wěn)定。

(11)

其特征方程det(J2-λI)=0，即

λ4+(c+γ2)λ3+(2a+1+cγ2-

dγ2)λ2+(2aγ2-2eγ2+c-d)λ+2a-

2e=0

(12)

式(10)的Routh-Hurwitz行列式：

Δ1=c+γ2>0,

Δ4=2(a-e)Δ3=2f2Δ3>0

(13)

2.2吸振器剛度及勢(shì)能函數(shù)分析

圖2 吸振器剛度變化曲線

(14)

非線性強(qiáng)度β的大小直接影響勢(shì)能函數(shù)的形狀，而勢(shì)能函數(shù)也直接影響非線性吸振器的動(dòng)力學(xué)特性，圖2給出了β為0.5、1.0和1.5時(shí)勢(shì)能函數(shù)曲線，可以發(fā)現(xiàn)隨著的減小，系統(tǒng)勢(shì)阱深度越大，則系統(tǒng)越過勢(shì)壘需要的能量越大。

圖3 勢(shì)能函數(shù)曲線圖

3 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分岔分析

為了研究簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的非線性吸振器和主系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性，采用數(shù)值仿真從激勵(lì)頻率和激勵(lì)幅值兩方面進(jìn)行了研究。系統(tǒng)參數(shù)取為β=1.0，μ=0.3,f=1.0,γ1=0.05,γ2=0.05。

3.1激勵(lì)頻率對(duì)吸振器和主系統(tǒng)的響應(yīng)特性影響

激勵(lì)幅值p=0.01,p=0.15,p=0.5時(shí)，吸振器和主系統(tǒng)隨激振頻率變化的分岔現(xiàn)象如圖4所示。從圖4(a)中發(fā)現(xiàn)當(dāng)激勵(lì)幅值很小時(shí)，不管頻率多大，系統(tǒng)得不到足夠的能量無法越過勢(shì)壘，吸振器只能在平衡點(diǎn)x=1附近做小幅運(yùn)動(dòng)，主系統(tǒng)也做小幅運(yùn)動(dòng)。當(dāng)p=0.15時(shí)，系統(tǒng)在激勵(lì)頻率ω為(0～0.5)時(shí)，吸振器在平衡點(diǎn)x=-1附近做小幅運(yùn)動(dòng),在ω為(0.5～1.5)時(shí)，吸振器可越過勢(shì)壘在兩個(gè)平衡點(diǎn)之間做大幅運(yùn)動(dòng)，主系統(tǒng)也做大幅運(yùn)動(dòng)，激勵(lì)頻率ω>1.5時(shí)，開始做小幅運(yùn)動(dòng)，如圖4(b)所示。對(duì)比圖4(b)和圖4(c),隨著激勵(lì)幅值的增大，吸振器和主系統(tǒng)開始發(fā)生大幅運(yùn)動(dòng)的頻率變小且大幅運(yùn)動(dòng)的頻帶變寬，但隨著頻率的繼續(xù)增大，吸振器從大幅運(yùn)動(dòng)變成在某一平衡點(diǎn)做小幅運(yùn)動(dòng)。

(a) 激勵(lì)幅值p=0.01

(b) 激勵(lì)幅值p=0.15

(c) 激勵(lì)幅值p=0.5

Fig.4 Bifurcation diagrams of vibration absorber(on) and the main system(under) with increase of the excitation frequency in different excitation amplitudes

3.2激勵(lì)幅值對(duì)吸振器和主系統(tǒng)的響應(yīng)特性影響

研究不同激勵(lì)頻率下，激勵(lì)幅值的變化對(duì)吸振器和主系統(tǒng)的影響，激勵(lì)頻率ω=0.1,ω=1.5,ω=2.5,ω=4.5時(shí)吸振器和主系統(tǒng)隨激勵(lì)幅值變化的分岔情況如圖5所示。由圖5(a)可以看出即使激勵(lì)頻率較低時(shí)，吸振器也可以從某一平衡點(diǎn)越過勢(shì)壘進(jìn)入另一平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，主系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近做小幅運(yùn)動(dòng)。當(dāng)激勵(lì)頻率增大時(shí)，吸振器剛開始在x=-1附近做小幅運(yùn)動(dòng)，主系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)附近做小幅運(yùn)動(dòng)，隨著幅值增大，吸振器和主系統(tǒng)皆發(fā)生大幅混沌或大幅周期運(yùn)動(dòng)，并且激勵(lì)頻率越大，吸振器和主系統(tǒng)發(fā)生大幅運(yùn)動(dòng)所需的激勵(lì)幅值越大，如圖5(b)和圖5(c)所示。圖5(d)是ω=4.5時(shí)吸振器和主系統(tǒng)隨激勵(lì)幅值變化的分岔圖，可以得出當(dāng)激勵(lì)頻率增大到一定程度時(shí)，不論激勵(lì)幅值多大，吸振器都無法越過勢(shì)壘只能在平衡點(diǎn)x=-1附近做小幅運(yùn)動(dòng)，主系統(tǒng)也做小幅運(yùn)動(dòng)。

4 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響

為了使吸振器既能有效減振又能發(fā)電，必須找出系統(tǒng)的各個(gè)最優(yōu)參數(shù)以便于吸振器在最佳狀態(tài)下工作。對(duì)于設(shè)計(jì)吸振器，最危險(xiǎn)的情況是激振頻率接近主系統(tǒng)固有頻率而發(fā)生共振現(xiàn)象，此時(shí)必須先保證減振。所以本文的優(yōu)化目標(biāo)為：

(1) 主系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)，吸振器減振使主系統(tǒng)振幅最小；

(2) 主系統(tǒng)處于非共振時(shí)，吸振器幅值最大。

當(dāng)激振頻率Ω等于主系統(tǒng)固有頻率ω2時(shí)，主系統(tǒng)發(fā)生共振，由于無量綱激振頻率ω=Ω/ω2，所以ω=1是主系統(tǒng)發(fā)生共振的激振頻率。利用4 階龍格庫塔法，選取計(jì)算時(shí)間(0～800)s，固定參數(shù)β=1.0，f=0.25,μ=0.3,γ1=0.05,γ2=0.05。當(dāng)激勵(lì)幅值p分別為0.15和0.3時(shí)，主系統(tǒng)和吸振器的幅頻響應(yīng)曲線如圖6所示，可以發(fā)現(xiàn)主系統(tǒng)在激勵(lì)頻率ω=1附近發(fā)生共振，此時(shí)吸振器幅值響應(yīng)也最大。

下面研究激勵(lì)幅值p=0.15時(shí)，主系統(tǒng)分別發(fā)生共振(激勵(lì)頻率ω=1.0)及非共振(激勵(lì)頻率ω=0.6和ω=1.6)時(shí)，調(diào)諧頻率比、質(zhì)量比、非線性強(qiáng)度及吸振器阻尼系數(shù)影響下的參數(shù)配置。分別從如下幾個(gè)方面進(jìn)行仿真研究：

(1) 分析調(diào)諧頻率比的影響時(shí)，其余參數(shù)保持不變，尋找主系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)減振最明顯及非共振時(shí)發(fā)電最多的最佳配置區(qū)間。

(a) 激勵(lì)頻率ω=0.1

(b) 激勵(lì)頻率ω=1.5

(c) 激勵(lì)頻率ω=2.5

(d) 激勵(lì)頻率ω=4.5

Fig.5 Bifurcation diagrams of vibration absorber(on) and the main system(under) with the increase of excitation amplitude in different excitation frequency

(a) 主系統(tǒng)

(b) 非線性吸振器

(2) 研究質(zhì)量比的影響時(shí)，需在(1)的基礎(chǔ)上選取區(qū)間中某一值作為調(diào)諧頻率比，其余參數(shù)保持不變，得到共振及非共振時(shí)質(zhì)量比的最優(yōu)配置范圍。

(3) 研究非線性剛度比的影響，在以上基礎(chǔ)上選取區(qū)間中的某一值作為調(diào)諧頻率比和質(zhì)量比，得出非線性強(qiáng)度的最佳配置區(qū)間。

(4) 研究吸振器阻尼系數(shù)對(duì)吸振器性能影響時(shí)，需在以上的基礎(chǔ)上選取區(qū)間中的某一值作為調(diào)諧頻率比、質(zhì)量比和非線性強(qiáng)度，分別得出共振和非共振時(shí)最佳的參數(shù)配置。

4.1調(diào)諧頻率比f

對(duì)于線性系統(tǒng)而言，當(dāng)主系統(tǒng)受到外激力后，主系統(tǒng)和吸振器都產(chǎn)生振動(dòng)，吸振器固有頻率ω1等于主系統(tǒng)固有頻率ω2,即f=1時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生反共振，吸振器發(fā)生振動(dòng)，主系統(tǒng)幾乎不振，從而達(dá)到對(duì)主系統(tǒng)吸振的效果。但是非線性動(dòng)力吸振器系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)復(fù)雜,基礎(chǔ)激勵(lì)及結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)吸振器和主系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)影響極大，取參數(shù)β=1.0,μ=0.3,γ1=0.05,γ2=0.05。

主系統(tǒng)發(fā)生共振(激勵(lì)頻率ω=1.0)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)幅值隨調(diào)諧頻率比的變化曲線如圖7(a)所示。由圖中可看出主系統(tǒng)及吸振器隨調(diào)諧頻率比f變化的總體趨勢(shì)均為先減小后保持穩(wěn)定，共振時(shí)保證主系統(tǒng)響應(yīng)幅值最小是關(guān)鍵，所以最佳調(diào)諧頻率比f為(1.2～2.0)。選取該范圍中的f=1.5為例說明吸振器和主系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)情況，圖7(b)是主系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相圖，可知主系統(tǒng)做了小幅周期運(yùn)動(dòng)，吸振器工作效率高。

主系統(tǒng)非共振(激勵(lì)頻率ω=0.6)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)幅值隨調(diào)諧頻率比f的變化曲線圖8(a)所示，可知調(diào)諧頻率比f為(0.20～0.50)時(shí)，主系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)幅值較小且吸振器運(yùn)動(dòng)幅值較大，當(dāng)調(diào)諧頻率比f>0.8時(shí)，吸振器便做小幅運(yùn)動(dòng)，發(fā)電效率變低，則最佳調(diào)諧頻比f為(0.20～0.50)。選取該范圍中的d=0.3為例作出吸振器和主系統(tǒng)的相圖如圖8(b)所示，吸振器做大幅混沌運(yùn)動(dòng)，主系統(tǒng)做小幅運(yùn)動(dòng)。當(dāng)激勵(lì)頻率ω=1.6時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)幅值變化曲線如圖9(a)所示，可明顯看出最優(yōu)的調(diào)諧頻率比f的范圍是(0.80～1.00)。同理取該范圍中的f=0.9為例說明兩系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)如圖9(b)所示，吸振器能夠越過勢(shì)壘做大幅混沌運(yùn)動(dòng)，主系統(tǒng)只做小幅的運(yùn)動(dòng)。

(a) 運(yùn)動(dòng)幅值響應(yīng)

(b) 相圖(f=1.5)

Fig.7 The motion amplitude response of the oscillators and the phase diagram of main system at resonance (excitation frequencyω=1.0)

(a) 運(yùn)動(dòng)幅值響應(yīng)

(b) 相圖(f=0.3)

Fig.8 The motion amplitude response and the phase diagram of the vibration absorber and main system at non-resonance (excitation frequencyω=0.6)

(b) 相圖(f=0.9)

Fig.9 The motion amplitude response and the phase diagram of the vibration absorber and main system at non-resonance (excitation frequencyω=1.6)

4.2質(zhì)量比μ

研究質(zhì)量比影響下的吸振器和主系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，根據(jù)4.1節(jié)的分析，當(dāng)激振頻率ω=1.0時(shí)，取f=1.5；激振頻率ω=0.6時(shí)，取調(diào)諧頻率比f=0.25；ω=1.6時(shí)，取f=1.0。其余參數(shù)值均取為β=1.0，γ1=0.05，γ2=0.05。

主系統(tǒng)發(fā)生共振(ω=1.0)時(shí)，非線性吸振器和主系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)幅值隨質(zhì)量比的變化如圖10(a)所示，可明顯得出質(zhì)量比μ>0.3時(shí)，主系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)幅值達(dá)到最小且穩(wěn)定，則取最優(yōu)的質(zhì)量比范圍為(0.3～0.5)。圖10(b)是選取該范圍中的μ=0.35時(shí)主系統(tǒng)的相圖，主系統(tǒng)做周期運(yùn)動(dòng)，幅值更小。

(a) 運(yùn)動(dòng)幅值響應(yīng)

(b) 相圖(μ=0.35)

圖10 共振(激勵(lì)頻率ω=1.0)時(shí)，兩振子運(yùn)動(dòng)幅值和主系統(tǒng)相圖

Fig.10 The motion amplitude response of the oscillators and the phase diagram of main system at resonance (excitation frequencyω=1.0)

主系統(tǒng)非共振(激振頻率ω=0.6)時(shí)，系統(tǒng)隨質(zhì)量比變化的運(yùn)動(dòng)幅值響應(yīng)如圖11(a)所示，由圖可知吸振器始終做大幅運(yùn)動(dòng)并且由大到小最后趨于平穩(wěn)，主系統(tǒng)做小幅運(yùn)動(dòng)且幅值由小到大最后趨于平穩(wěn)，所以可選擇最佳的質(zhì)量比范圍為(0.01～0.50)。在該范圍中選取μ=0.3，吸振器與主系統(tǒng)的相圖如圖11(b)所示，從圖11(b)中可以看出，吸振器做大幅混沌運(yùn)動(dòng)，主系統(tǒng)做小幅運(yùn)動(dòng)。

根據(jù)圖12(a)，激勵(lì)頻率ω=1.6時(shí)，質(zhì)量比μ為(0.10～0.45)時(shí)吸振器做大幅運(yùn)動(dòng)，主系統(tǒng)做小幅運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量比μ>0.8時(shí)，吸振器和主系統(tǒng)做小幅運(yùn)動(dòng)，發(fā)電效率低。顯然最優(yōu)的質(zhì)量比μ=(0.10～0.45)。取該范圍中的質(zhì)量比μ=0.3來說明吸振器和主系統(tǒng)的

(a) 運(yùn)動(dòng)幅值響應(yīng)

(b) 相圖(μ=0.3)

圖11 非共振(激勵(lì)頻率ω=0.6)時(shí)，吸振器及主系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)幅值響應(yīng)和相圖

Fig.11 The motion amplitude responseand the phase diagram of the vibration absorber and main system at non-resonance (excitation frequencyω=0.6)

響應(yīng)情況，如圖12(b)，主系統(tǒng)做小幅運(yùn)動(dòng)，吸振器可多次發(fā)生分岔越過勢(shì)壘做大幅混沌運(yùn)動(dòng)，利于發(fā)電。

4.3非線性強(qiáng)度β

由第2.2節(jié)分析，非線性強(qiáng)度β的選擇影響著吸振器的勢(shì)能函數(shù)，也是吸振器呈現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)和發(fā)電效率的關(guān)鍵，所以選擇合適的β是至關(guān)重要的。由4.1節(jié)和4.2節(jié)的仿真分析發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在某些參數(shù)值時(shí)，吸振器運(yùn)動(dòng)幅值小于主系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)幅值，所以為了使仿真明顯，應(yīng)選擇合適的固定參數(shù)值分別為：激勵(lì)頻率ω=1.0時(shí)，取其余參數(shù)μ=0.35，f=1.5,γ1=0.05,γ2=0.05。激勵(lì)頻率ω=0.6時(shí)，固定參數(shù)μ=0.3,f=0.25,γ1=0.05,γ2=0.05；ω=1.6時(shí)，固定參數(shù)μ=0.3,f=1.0,γ1=0.05,γ2=0.05。

主系統(tǒng)發(fā)生共振(ω=1.0)時(shí)，從圖13(a)可看出β非常小時(shí)，主系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)幅值較大，當(dāng)0.05<β<1.15，主系統(tǒng)、吸振器幅值均保持不變，β>1.15后，兩振子運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定，變化敏感。則可得出主系統(tǒng)幅值最小時(shí)，非線性強(qiáng)度β最佳區(qū)間是(0.10～1.15)。取該范圍中的β=0.8，研究主系統(tǒng)的響應(yīng)特性，如圖13(b)所示，主系統(tǒng)做小幅周期運(yùn)動(dòng)。

(a) 運(yùn)動(dòng)幅值響應(yīng)

(b) 相圖(μ=0.3)

圖12 非共振(激勵(lì)頻率ω=1.6)時(shí)，吸振器及主系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)幅值響應(yīng)和相圖

Fig.12 The motion amplitude response and the phase diagram of the vibration absorber and main system at non-resonance (excitation frequencyω=1.6)

非共振(激勵(lì)頻率ω=0.6)時(shí)，兩振子運(yùn)動(dòng)幅值變化如圖 14(a)所示。從圖可知，隨著非線性強(qiáng)度β的增大，主系統(tǒng)做小幅運(yùn)動(dòng)且幅值平穩(wěn)，吸振器做大幅運(yùn)動(dòng)且幅值逐漸減小，則選擇最優(yōu)的非線性強(qiáng)度為(0.10～0.40)。圖14(b)是取該范圍中的β=0.2時(shí)吸振器和主系統(tǒng)的相圖，可知吸振器做大幅周期運(yùn)動(dòng)，發(fā)電效率高，主系統(tǒng)做小幅周期運(yùn)動(dòng)，減振明顯。

當(dāng)激勵(lì)頻率ω=1.6時(shí)，吸振器在在(0.01～0.40)之間運(yùn)動(dòng)幅值較小，在(0.40～0.80)之間，運(yùn)動(dòng)幅值變化敏感，β>0.8后運(yùn)動(dòng)幅值逐漸減小，所以選擇最佳的非線性強(qiáng)度β區(qū)間為(0.80～1.00)。取該范圍中的中間值β=0.9，得到吸振器和主系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)如圖15(b)所示，吸振器可發(fā)生多次分岔做大幅混沌運(yùn)動(dòng)，主系統(tǒng)做小幅運(yùn)動(dòng)，利于發(fā)電和減振。

4.4吸振器阻尼系數(shù)γ1

根據(jù)上述仿真分析，本節(jié)參數(shù)選取為：ω=1.0時(shí)，參數(shù)μ=0.35，f=1.5,γ2=0.05,β=0.8；ω=0.6時(shí)，參數(shù)μ=0.3，f=0.25,γ2=0.05,β=0.2;ω=1.6時(shí)，參數(shù)μ=0.3,f=1.0,γ2=0.05,β=0.9。

發(fā)生共振(ω=1.0)時(shí)，主系統(tǒng)和吸振器的運(yùn)動(dòng)幅值響應(yīng)如圖16(a)所示。圖中明顯看出當(dāng)γ1=0時(shí)，主系統(tǒng)和吸振器幅值均最大，隨后逐漸減小，γ1>0.05后，幅值大小不再變化，所以取最優(yōu)區(qū)間為(0.05～0.20)。同樣取該范圍中的γ1=0.1時(shí)，主系統(tǒng)的相圖如圖16(b)所示，主系統(tǒng)做小幅周期運(yùn)動(dòng)。

非共振(ω=0.6)時(shí)，兩振子幅值隨γ1的變化曲線如圖17(a)所示，明顯看出主系統(tǒng)幅值小且基本保持不變，吸振器幅值在γ1=0時(shí)最大，隨后開始降低，γ1>0.4后，趨于平穩(wěn)，所以最優(yōu)的吸振器阻尼系數(shù)應(yīng)該取為γ1=0。圖17(b)為兩振子的相圖，主系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)之較小，吸振器運(yùn)動(dòng)幅值變大，更利于發(fā)電。

激振頻率ω=1.6時(shí)，主系統(tǒng)和吸振器的幅值變化曲線如圖18(a)所示。圖中發(fā)現(xiàn)主系統(tǒng)和吸振器幅值變化趨勢(shì)均為由大變小，因主系統(tǒng)幅值較低，首先保證發(fā)電效率，故取最佳的γ1=0。如圖18(b)兩振子的相圖，可以知道吸振器做大幅混沌運(yùn)動(dòng)，主系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)幅值小。

(a) 運(yùn)動(dòng)幅值響應(yīng)

(b) 相圖(β=0.8)

圖13 共振(激勵(lì)頻率ω=1.0)時(shí)，兩振子運(yùn)動(dòng)幅值和主系統(tǒng)相圖

Fig.13 The motion amplitude response of the oscillators and the phase diagram of main system at resonance (excitation frequencyω=1.0)

4.5優(yōu)化結(jié)果分析

上述逐步對(duì)參數(shù)f,μ,β及γ1進(jìn)行了仿真優(yōu)化分析，分別得出了共振(ω=1.0)時(shí)吸振器減振最佳和非共振(ω=0.6及ω=1.6)時(shí)發(fā)電最佳的參數(shù)配置區(qū)間。在每步優(yōu)化的參數(shù)區(qū)間內(nèi)選取該區(qū)間內(nèi)主系統(tǒng)的最大振動(dòng)幅值及吸振器的最小幅值進(jìn)行比較，其變化規(guī)律如圖19所示。

(a) 運(yùn)動(dòng)幅值響應(yīng)

(b) 相圖(β=0.2)

Fig.14 The motion amplitude response and the phase diagram of the vibration absorber and main system at non-resonance (excitation frequencyω=0.6)

(a) 運(yùn)動(dòng)幅值響應(yīng)

(b) 相圖(β=0.9)

Fig.15 The motion amplitude response and the phase diagram of the vibration absorber and main system at non-resonance (excitation frequencyω=1.6)

(a) 運(yùn)動(dòng)幅值響應(yīng)

(b) 相圖(γ1=0.1)

Fig.16 The motion amplitude response of the oscillators and the phase diagram of main system at resonance (excitation frequencyω=1.0)

從圖19中看出經(jīng)過對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的逐步優(yōu)化，主系統(tǒng)發(fā)生共振(ω=1.0)時(shí)，主系統(tǒng)振動(dòng)幅值變小(圖19(a))；非共振時(shí)，吸振器振動(dòng)幅值逐漸變大的同時(shí)，主系統(tǒng)振動(dòng)幅值較小(圖19(b)、圖19(c))。最佳參數(shù)配置如表1所示。

(a) 運(yùn)動(dòng)幅值響應(yīng)

(b) 相圖(γ1=0)

Fig.17 The motion amplitude response and the phase diagram of the vibration absorber and main system at non-resonance (excitation frequencyω=0.6)

(a) 運(yùn)動(dòng)幅值響應(yīng)

(b) 相圖(γ1=0)

Fig.18 The motion amplitude response and the phase diagram of the vibration absorber and main system at non-resonance (excitation frequencyω=1.6)

(a) 共振(ω=1.0)

(b) 非共振(ω=0.6)

(c) 非共振(ω=1.6)

5 結(jié) 論

本文建立了基于雙穩(wěn)態(tài)發(fā)電的非線性吸振器在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)方程，從數(shù)值仿真的角度研究了激勵(lì)頻率和激勵(lì)幅值對(duì)非線性吸振器和主系統(tǒng)的響應(yīng)特性影響。分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)吸振器的工作性能的影響，結(jié)論如下：

(1) 通過分析非線性吸振器的分岔現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)非線性吸振器在低頻時(shí)便可越過勢(shì)壘發(fā)生大幅混沌運(yùn)動(dòng)，并且頻帶寬利于發(fā)電，改變激勵(lì)幅值，吸振器和主系統(tǒng)可由小幅運(yùn)動(dòng)變成大幅運(yùn)動(dòng)。

(2) 非線性吸振器對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化極其敏感，通過對(duì)調(diào)諧頻率比f、質(zhì)量比μ、非線性強(qiáng)度β和吸振器的阻尼系數(shù)γ1逐步進(jìn)行優(yōu)化，主系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)的振幅逐漸降低，非共振時(shí)主系統(tǒng)幅值較低的同時(shí)，吸振器的振幅逐漸變大，利于發(fā)電。獲得了最佳的參數(shù)配置區(qū)間，吸振器的工作性能得到提高。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)配置表

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Dynamiccharacteristicsandparametricinfluencesofnonlinearvibrationabsorbersbasedonbi-stablepowergeneration

REN Bolin， LIU Lilan， ZHANG Xiaojing， LI Shuchao

(School of Mechanical and Instrumental Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China)

The dynamic equation of a nonlinear vibration absorber based on bi-stable power generation under simple harmonic excitation was established. The dynamic characteristics of the nonlinear vibration absorber based on bi-stable power generation under simple harmonic excitation were studied with numerical simulation. The effect laws of exciting frequency and exciting amplitude on the large amplitude chaotic motion of the vibration absorber were analyzed. The influences of tuning frequency ratiof, mass ratioμ, nonlinear strengthβand damping coefficientγ1on dynamic characteristics of the nonlinear vibration absorber and the main system were studied here. The optimal parametric configuration of the nonlinear vibration absorber was obtained during the main system resonance or non-resonance. The results provided a theoretical foundation for the optimal design of nonlinear vibration absorbers.

nonlinear vibration absorber； bi-stable power generation； harmonic excitation； parametric configuration; dynamics

國(guó)家自然科學(xué)基金(11572243)

2016-04-26 修改稿收到日期：2016-07-08

任博林 男，碩士生,1990年2月生

劉麗蘭 女,副教授,碩士生導(dǎo)師,1979年12月生 E-mail:liulilans@163.com

TH113

： A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.17.033