“兩問”《常見數量關系》的教與學

范祥富 吳健敏

【摘要】“數學學習基于生活，高于生活。”因此，數學教學應對一些常見的數學關系進行適時的提煉與歸納。在數量關系的學習上，蘇教版實驗教材沒有單列成一節新課來呈現，只在練習題中由教師引導學生抽象概括。修訂版教材在整數四則運算教學的結束階段安排常見的數量關系的學習內容。這樣的編排既符合《標準（2011）》的新要求，又為學生研究數量關系提供了更豐富的材料，增加了經歷體驗數量關系提煉、歸納與應用的機會，是非常及時合理的。

【關鍵詞】數量關系 單價 數量 總價 速度 時間 路程

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）33-0166-02

一、教學設計及實錄

1.教學內容

蘇教版數學四（下）第28～29頁例2、例3和“練一練”，練習五5～11題。

2.教學目標

（1）使學生經歷從現實問題中抽象出數量關系的過程，掌握“單價×數量=總價”“速度×時間=路程”等常見的數量關系，能應用這些數量關系解決一些實際問題。

（2）使學生在解決問題的過程中，適時對這些數量關系進行抽象概括，建構形式化的數學知識，發展學生用數學的眼光觀察日常生活現象的意識和能力，發展數學思維。

（3）使學生在參與學習活動的過程中，獲得學習成功的體驗，提高學習的興趣，培養良好的學習習慣。

3.教學重點、難點

理解并掌握常見的數量關系

4.教學準備

多媒體課件

5.教學過程

探索交流，學習常見的數量關系。

（1）教學例2

1）談話導入

師：在我們的生活中會遇到很多的實際問題，今天的研究就從購物開始（出示例題情境圖）。

2）整理條件

師：情境圖中告訴我們商品的單價和數量分別是多少？

生1：鋼筆的單價是每支12元，數量是4支；練習本的單價是每本3元；數量是5本。

3）認識復合單位

師：鋼筆的單價每支12元可以表示成12元/支，怎么讀呢？

生（看課件齊讀）：12元每支。

師： 12元/支什么意思？

生2：就是每支鋼筆的單價是12元。

師：你會像這樣把練習本的單價寫一寫嗎？請寫在練習本上。與老師課件相同的，請用規范的坐姿告訴我。怎么讀呢？

生3：3元每本。

4）學習單價、數量、總價之間的數量關系。

師：既然知道了商品的單價和數量，你會先填寫商品的單價和購買的數量，再分別求出總價嗎？請獨立完成教材28頁的表格。

師：誰來回答？

生4：鋼筆單價是12元每支，數量是4支，總價是48元；練習本的單價3元每本，數量是5本，總價是15元。

師：請同學們用“數學智慧眼”來觀察這個表格，鋼筆和練習本告訴我們的已知條件是不是相同？問題呢？

生5：都告訴我們單價和數量，都要求總價（板書：單價、數量、總價）

師：再想想，你們剛才在求總價時都用什么方法？

生：都用乘法

師：單價、數量、總價之間有什么關系？你能用一個式子來表示嗎？

生6：單價×數量=總價（完善板書）

師：此處應該有掌聲。他能用一個式子來表示這三者量之間的關系。真好！

師：如果已知總價和單價可以求什么，怎樣求？如果已知總價和數量可以求什么，怎樣求？

生8：總價÷單價=數量 總價÷數量=單價

師：你能舉一個生活中的例子嗎？

生9：我用10元錢買同樣的練習本，每本2元，可以買幾本？我用10元錢買了5本同樣的練習本，每本幾元？

師：同意嗎？

【說明：教學常見數量關系的意義不僅在于讓學生記住“單價、數量、總價”這一組數量之間的關系，了解復合單位的表示方法。更在于引導學生經歷從解決具體問題的過程中抽象、概括出其共同的、本質的數量關系，并用單價×數量=總價這一關系表示出來。教學時教師不僅為學生呈現了兩道例題，還讓學生舉生活中的例子，并把教學的著力點放在引導學生比較同一類數量關系的相同點上，使學生切實經歷抽象與概括的過程，在這一過程中初步感悟一些基本的數學思想，積累相應的數學活動經驗。】

（2）教學例3

認識速度。

師：請一位同學來當新聞播報員，播報一下這兩條信息。（出示例3情境圖）

生1：一列和諧號列車每小時行260千米；李冬騎自行車每分行200米。

師：每小時行260千米，每分行200米。這樣的量也可以像單價那樣用復合單位來表示，你會嗎？

生2：260千米/時；200米/分

師：260千米/時，200米/分。分別表示什么？

生3：260千米/時表示列車每小時行260千米；200米/分表示李冬騎自行車每分行200米。

師：像這樣的量還有：聲音在空氣中的傳播速度是340米/秒；小明的步行速度大約是60米/分；小轎車此時的速度是100千米/時；這段高速公路的限速是120千米/時

師：剛才這些每秒行多少米、每分行多少米、每時行多少千米等，單位時間內行駛的路程，人們把它叫做什么？

生4：速度（板書）

師：和速度有關的量是什么？

生：時間和路程（板書）

師：這三者量之間又有怎樣的關系呢？

生5：速度×時間=路程（板書：速度×時間=路程？）

師：是不是這樣呢？我們舉幾個例子來證明一下。請你先填寫和諧號列車與李冬騎自行車的速度，再分別求出行駛的路程（29頁的表格）

生6：列車的路程是260×3=780（千米） 自行車的路程是200×8=1600（千米）

師：通過剛才的兩個例子我們驗證了速度、時間、路程三者量之間的關系。已知路程和速度，可以求什么，怎樣求？已知路程和時間呢？

生7：已知路程和速度，可以求時間，路程÷速度=時間。

生8：已知路程和時間呢，可以求速度，路程÷時間=速度。

師：你們會舉例說明嗎？

【說明：由于速度的概念比較抽象，教師在引導學生理解“速度”的含義時，不僅結合教材具體的例子，還提供聲音的速度、小學生的步行速度、小轎車的速度、高速公路的限速等幫助學生理解。告訴學生速度是表示單位時間內行駛的路程，可以用每時、每分或每秒行的路程來表示。揭示“路程、速度、時間”三者量的關系時，教師結合具體的實例，引導學生在填表、分析、比較、討論等活動中去概括，使學生經歷由具體到抽象的學習過程。為了深化對數量關系的理解，教師讓學生舉符合這一關系的例子，由抽象再回到具體中。

教材將數量關系歸納為“總價=單價×數量、路程=速度×時間”，根據題中已知條件和問題之間的關系，學生提煉歸納得出“單價×數量=總價、速度×時間=路程”是“水到渠成、順理成章”。】

二、教后反思

“數學學習基于生活，高于生活。數學學習不僅僅是解決生活問題，更主要是基于現實問題的解決過程，從中習得數學知識與技能，體會數學思想方法的應用，積累數學學習的基本活動經驗，最終形成良好的數學素養”。因此，數學教學應對一些常見的數學關系進行適時的提煉與歸納。在數量關系的學習上，實驗教材沒有單列成一節新課來呈現，只在四年級下冊第一單元《三位數乘兩位數》教師用書的“旁注”中提醒教師引導學生抽象概括。

與實驗版教材相比，修訂版教材明顯加大的力度，在整數四則運算教學的結束階段安排常見的數量關系的學習內容，引導學生對已經掌握的數量關系進行抽象概括，進而從更抽象的層面上去理解所學知識，既是培養學生分析和解決問題的能力、提高數學思維水平的需要，也是學生進一步學習和生活的需要。除了“單價、數量、總價；速度、時間、路程”數量關系的學習外，還在習題中出現“工作效率、工作時間、工作總量”這三者量之間的關系讓學生感知。這樣的編排既符合《標準（2011）》的新要求，又為學生研究數量關系提供了更豐富的材料，增加了經歷體驗數量關系提煉、歸納與應用的機會，是非常及時合理的。但是，筆者在教學過程中有兩個疑惑，借此提出與教材編輯老師和同行商榷。

一問：教材為什么要將數量關系式歸納為“總價=單價×數量；路程=速度×時間”這種表現形式？

在教學單價、數量和總價，速度、時間和路程的關系時，教材分別呈現了兩道已知單價和數量求總價、已知速度和時間求路程的問題。依據解決實際問題列出的算式，體會單價、數量和總價，速度、時間和路程的關系，根據已知與未知間的關系，學生很容易提煉歸納出：“單價×數量=總價”“速度×時間=路程”這樣的數量關系。教材為什么要概括成：

難道是因為：（1）為了與《標準（2011）》表達方式相一致？《標準（2011）》在〈課程內容〉第二學段中提到“在具體情境中，了解常見的數量關系：總價=單價×數量、路程=速度×時間，并能解決簡單的實際問題。”筆者認為如果是這個目的，大可不必。因為“由因導果”遠比“執果溯因”更適合學生的思維。（2）為了方便學生推理已知總價和單價求數量、已知總價和數量求單價；或者已知路程和時間求速度、已知路程和速度求時間？筆者認為如果是為了推理相應的另兩個數量關系式，有兩條線索。一條是通過解決實際問題來得出（就像教學實錄中讓學生舉例）。另一條是根據除法與乘法的內在聯系來推理（已知兩個因數的積和其中一個因數，求另一個因數。即：積÷一個乘數=另一個乘數），從這個角度出發也應該是“單價×數量=總價、速度×時間=路程”這種表現形式更適合學生。

二問：教材為什么不給這6個量下定義？

把實際問題里的具體數量抽象成單價、數量、總價或者速度、時間、路程等

概念。這是形成常見數量關系十分重要一步。如果不抽象出或者不理解這些概念，就難以形成概括的數量關系。在這六個量中“數量”“時間”學生容易題解和識別，而“單價”“速度”等概念卻較難形成。教材通過舉例來講述：

單價每支12元可以寫成“12元/支”，元/支讀作元每支。

每小時260千米、每分200米是速度。

雖說這些聯系實例的講述有助于學生形成概念，但這些實例學生并不陌生，在以往的學習中早有接觸，多數有經驗的教師在前面的教學中已結合實例向學生指明。而用規范的語言來描述概念有助于學生理解概念的內涵與外延，特別是在整數四則運算教學的結束階段來學習常見的數量關系，更有必要讓學生切實掌握清晰的概念。人教版是這樣編排的：

這樣的編排是不是更有利于學生的后續學習？

以上兩問謹是筆者的拙見，若有不妥之處，肯請教材編輯老師、同行多多指教。

參考文獻：

[1]義務教育數學課程標準（2011年版）.

[2]義務教育教科書教師教學用書（蘇教版四年級下冊數學）.

[3]義務教育教科書教師教學用書（人教版四年級上冊數學）.