基于快速終端滑模算法的機(jī)械手跟蹤控制研究

錢東海 黃友昕 董小康 吳 鵬

上海大學(xué)機(jī)電工程與自動化學(xué)院，上海,200072

基于快速終端滑模算法的機(jī)械手跟蹤控制研究

錢東海 黃友昕 董小康 吳 鵬

上海大學(xué)機(jī)電工程與自動化學(xué)院，上海,200072

提出了一種模糊自適應(yīng)快速終端滑模控制方法。該控制方法采用多冪次趨近律構(gòu)造趨近運(yùn)動，用以提高趨近滑模面的速度，然后對常規(guī)的終端滑模面進(jìn)行改進(jìn)，提高沿滑模面收斂的速度。為消除控制系統(tǒng)中存在的不確定因素和建模誤差，該控制算法還引進(jìn)模糊自適應(yīng)方法進(jìn)行在線逼近。利用李雅普諾夫定理證明了所提出算法的穩(wěn)定性。最后基于MATLAB與ADAMS聯(lián)合仿真平臺，采用所提出的算法對自行設(shè)計的3R型機(jī)械手進(jìn)行軌跡跟蹤研究，仿真結(jié)果顯示，本控制方法具有更快的收斂性和更強(qiáng)的魯棒性，有效地抑制了滑模控制中存在的振蕩。

模糊自適應(yīng)；快速終端；非奇異終端；機(jī)械手控制；聯(lián)合仿真

0 引言

近年來，多關(guān)節(jié)機(jī)器人智能控制越來越得到人們的關(guān)注。多關(guān)節(jié)機(jī)器人是一種十分復(fù)雜的多輸入多輸出的非線性系統(tǒng)，具有耦合、時變、非線性等多種動力學(xué)特征，并具有一定的不確定性，因此，模糊控制、自適應(yīng)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制[1]等智能算法廣泛用于多關(guān)節(jié)機(jī)器人控制中。

滑模變結(jié)構(gòu)控制過程分為趨近滑模面階段和沿滑模面運(yùn)動階段。為提高軌跡跟蹤速度，需要針對性地減少這兩個階段的時間。文獻(xiàn)[2]通過模糊滑模面以減少趨近階段的時間，但這增加了沿滑模面運(yùn)動的時間。文獻(xiàn)[3]設(shè)計了一種多冪次的趨近律，保證了在遠(yuǎn)離滑模面和趨近滑模面相對較快的趨近速度，但系統(tǒng)中存在的不確定項(xiàng)無法準(zhǔn)確地得到。

在沿滑模面運(yùn)動階段，由于傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制的誤差以指數(shù)級趨于零，故其誤差不能在有限時間內(nèi)趨于零。終端滑模[4]能夠解決這一問題，誤差可以在有限時間內(nèi)收斂為零，但若沿滑模面運(yùn)動的誤差較大時，終端滑模速度反而小于傳統(tǒng)滑模，同時，終端滑模在平衡點(diǎn)上存在奇異性，這將導(dǎo)致計算出的控制器輸出趨于無窮大。可通過增加狀態(tài)變量高階項(xiàng)[5]，加快誤差較大時終端滑模沿滑模面收斂的速度，同時可通過改進(jìn)滑模面[6]，避免終端滑模的奇異性。

對于系統(tǒng)的建模誤差和不確定性，傳統(tǒng)滑模控制通過引入符號函數(shù)來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但由于符號函數(shù)的不連續(xù)，導(dǎo)致輸入力矩振蕩。上界(滑模增益)越大，振蕩越強(qiáng)烈。為消除振蕩，文獻(xiàn)[7]通過引入振蕩程度系數(shù)，并采用模糊控制，來減小振蕩。文獻(xiàn)[8-11]通過模糊控制、自適應(yīng)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相互結(jié)合的方法對整個系統(tǒng)或不確定項(xiàng)進(jìn)行逼近，消除不連續(xù)項(xiàng)，從而減小振蕩。文獻(xiàn)[12]對切換函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)以消除振蕩。

本文提出一種模糊自適應(yīng)快速終端滑模控制方法，該方法采用多冪次趨近律提高趨近滑模面的速度，采用快速終端滑模面提高沿滑模面收斂速度；為消除系統(tǒng)中存在的不確定因素，該方法采用模糊自適應(yīng)的方法對不確定項(xiàng)進(jìn)行逼近。

1 3R型腕部結(jié)構(gòu)

1.1機(jī)械結(jié)構(gòu)

3R型腕部結(jié)構(gòu)[13]如圖1所示，包含三個旋轉(zhuǎn)副(revolute)，四個桿件。從機(jī)器人學(xué)角度劃分，包括連桿0、連桿1、連桿2和連桿3(法蘭盤)。連桿0固定，連桿1相對于連桿0的轉(zhuǎn)動構(gòu)成關(guān)節(jié)1，連桿2的相對于連桿1的轉(zhuǎn)動構(gòu)成關(guān)節(jié)2，連桿3(法蘭盤)的相對于連桿2的轉(zhuǎn)動構(gòu)成關(guān)節(jié)3。關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3回轉(zhuǎn)軸的軸線兩兩垂直，且第三個轉(zhuǎn)動自由度的回轉(zhuǎn)軸線與第一個轉(zhuǎn)動自由度、第二個轉(zhuǎn)動自由度的回轉(zhuǎn)軸線相交，不存在偏置。

圖1 3R型腕部結(jié)構(gòu)Fig.1 3R wrist structure

1.2動力學(xué)模型

定義q=[q1q2q3]T為各關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量，τ=[τ1τ2τ3]T為各關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，其動力學(xué)方程[14]為

(1)

(2)

(3)

1.3MATLAB與ADAMS聯(lián)合仿真

將3R型機(jī)械手在Solidworks中建模，導(dǎo)入ADAMS。在ADAMS中，對模型進(jìn)行簡化，設(shè)置運(yùn)動副，定義輸入變量、輸出變量、質(zhì)量等參數(shù)，最后在ADAMS中生成MATLAB中可以使用的模塊。

2 非奇異快速終端滑模控制

2.1快速鎮(zhèn)定問題

終端滑模分為趨近階段和沿滑模面運(yùn)動階段，提高這兩個階段的收斂速度可以提高終端滑模的收斂速度。趨近階段可以看成滑模面si的鎮(zhèn)定問題，沿滑模面運(yùn)動階段可以看成誤差ei的鎮(zhèn)定問題。

微分方程：

(4)

(5)

(6)

k>0 01

為消除復(fù)數(shù)運(yùn)算，令sgna(x(t))=sgn(x(t))|x(t)|a。

式(4)的解為x(t)=x0e-kt，x需要t→∞才能趨于0。式(5)需要有限時間能使x趨于0，式(6)中x需要t→∞才能趨于0。

所以取

(7)

01k1>0k2>0

這能在有限時間內(nèi)使x(t)更快地趨于0。

2.2快速終端滑模面的設(shè)計

滑模面可設(shè)計為

(8)

01k1>0k2>0

但是以此滑模面設(shè)計控制率時，輸入項(xiàng)中包含|e|a-1，當(dāng)e=0時，此項(xiàng)無窮大，造成奇異性。

為避免奇異性，并保證滑模的快速性，將滑模面改為

(9)

(10)

對于3R型腕部結(jié)構(gòu)，滑模面S為一向量：

(11)

γ1=diag(γ11,γ12,γ13)

(12)

γ2=diag(γ21,γ22,γ23)

(13)

A=diag(α1,α2,α3)

(14)

B=diag(β1,β2,β3)

(15)

sgnA-I(e)=diag(sgnα1-1(e1)，sgnα2-1(e2)，
sgnα3-1(e3))

(16)

其中，S=[s1s2s3]T；γ1i>0，γ2i>0，1<βi<2，αi>βi，i=1,2,3；I為單位矩陣。

2.3趨近滑模面運(yùn)動的趨近律的設(shè)計

由于趨近律不存在避免奇異性問題，故趨近律可設(shè)計成

(17)

其中，M=diag(m1,m2,m3),N=diag(n1,n2,n3)，01(i=1,2,3)，K3、K4為正定對角矩陣。mi-1雖然為負(fù)數(shù)，但該項(xiàng)si的冪mi一定是正數(shù)。對于滑模階段產(chǎn)生的振動，普遍的做法[12]是將符號函數(shù)改成飽和函數(shù)。當(dāng)si<1時，飽和函數(shù)正比于|si|，而-k3isgnmi(si)正比于|si|mi，故本趨近律大于飽和函數(shù)趨近律。

2.4控制率設(shè)計

由式(2)，取控制率

τ=τ1+τ2+τ3+τ4+τ5

(18)

其中，τ1、τ2、τ3為關(guān)于快速終端滑模的控制器設(shè)計輸出，τ4、τ5為模糊自適應(yīng)的控制器設(shè)計輸出，用于趨近Δf，將在下文介紹。

τ1～τ3的表達(dá)式為

(19)

(20)

(21)

3 模糊自適應(yīng)控制

3.1模糊趨近

以S=[s1s2s3]T作為輸入，通過If-Then模糊規(guī)則對Δf進(jìn)行估計。第r條模糊規(guī)則為

ThenyrisOr

r=1,2,…,nr

(22)

其中，dr是各個隸屬函數(shù)為1時的值。y(S)也可以表示為

y(S)=ξTθ

(23)

其中，θ=[d1…dr…dnr]T為系數(shù)向量，通過自適應(yīng)進(jìn)行逼近最優(yōu)參數(shù)，ξ=[ξ1…ξr…ξnr]T為回歸向量，定義ξr:

(24)

3.2自適應(yīng)模糊控制

用于逼近Δf的自適應(yīng)模糊向量為

其中，

(25)

(26)

(27)

(28)

εf(S)=[εf1(S)εf2(S)εf3(S)]T

(29)

(30)

(31)

(32)

τ5是針對自適應(yīng)模糊控制保證穩(wěn)定性的魯棒項(xiàng)。定義σ0是一個正常數(shù)，小于(H0(q))-1的最小特征值，則τ5為

(33)

3.3穩(wěn)定性驗(yàn)證

取Lyapunov函數(shù)為

(34)

(35)

由式(11)得

(36)

將式(18)～式(21)、式(26)、式(33)代入式(2)，化簡得

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

STΛH0(q)-1SΛ≥σ0‖STΛ‖

(42)

(43)

(44)

4 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)采用上文所介紹的3R型機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行軌跡跟蹤，模糊自適應(yīng)快速終端滑模參數(shù)如下：

qd=[0.5+sin2πt0.5+sin2πt0.5+sin2πt]

γ1=diag(1,1,1)

A=diag(9,9,9)

N=diag(5,5,5)

K3=K4=diag(60,60,60)

軌跡跟蹤結(jié)果如圖2所示，可以看出，在0.3～0.5 s，三個關(guān)節(jié)實(shí)際軌跡收斂于理想軌跡。

圖2 模糊自適應(yīng)快速終端滑模軌跡跟蹤Fig.2 Position tracking of fuzzy adaptive fast terminal sliding mode

同時，將模糊自適應(yīng)快速終端滑模控制方法與傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)方法相比較，誤差比較結(jié)果如圖3所示，可以看出，模糊自適應(yīng)快速終端滑模控制方法的收斂速度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)收斂速度。

圖3 誤差比較Fig.3 Error comparison

輸入力矩比較結(jié)果如圖4所示，可以看出，傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)的輸入力矩有很強(qiáng)的振蕩，而使用模糊自適應(yīng)的方法對不確定項(xiàng)進(jìn)行逼近，振蕩明顯減弱。

5 結(jié)論

本文針對傳統(tǒng)滑模收斂速度慢且終端滑模存在奇異性的不足，設(shè)計了一種非奇異性快速終端滑模控制算法，并針對滑模控制中存在的振蕩，采用模糊自適應(yīng)方法對不確定項(xiàng)進(jìn)行逼近，從而減輕振蕩。同時，對算法的穩(wěn)定性進(jìn)行了證明，并通過MATLAB與ADAMS聯(lián)合仿真對本控制方法的有效性、快速性進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明，該方法具有更快的收斂速度和更小的輸入振蕩。

(a)傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)

(b)模糊自適應(yīng)快速終端滑模圖4 輸入力矩Fig.4 Input torque

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(編輯郭偉)

ResearchonTrackingControlforRobotManipulatorBasedonFastTerminalSlidingModeMethod

QIAN Donghai HUANG Youxin DONG Xiaokang WU Peng
School of Mechatronic Engineering and Automation,Shanghai University，Shanghai，200072

An adaptive fuzzy fast terminal sliding mode control method was proposed herein.In order to improve the the convergence speed,this method usd a multi power reaching law combind with fast terminal sliding-mode control. Adaptive fuzzy method was employed to approximate to the uncertain factor in the system of robotic manipulators. The system stability was proved by Lyapunov principle.The co-simulation of the 3R robotic maniputlators which was desined by authors was performed based on ADAMS and MATLAB. It turns out that the method has better convergence，and enhances robustness and reduces chatter.

adaptive fuzzy; fast teminal slide; nonsingular terminal slide; manipulator control; co-simulation

2016-10-18

TP273

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.18.014

錢東海，男，1971年生。上海大學(xué)機(jī)電工程與自動化學(xué)院副教授。研究方向?yàn)闄C(jī)器人控制、計算機(jī)視覺、最優(yōu)化方法、機(jī)器人及物流自動化應(yīng)用。發(fā)表論文約40篇，獲中國專利30項(xiàng)。E-mail:dhqian@126.com。黃友昕，男，1992年生。上海大學(xué)機(jī)電工程與自動化學(xué)院碩士研究生。董小康，男，1992年生。上海大學(xué)機(jī)電工程與自動化學(xué)院碩士研究生。吳鵬，男，1991年生。上海大學(xué)機(jī)電工程與自動化學(xué)院碩士研究生。