水平軸風力機的轉矩性能及葉尖損失對其的影響

姜海波 李艷茹 趙云鵬

海軍工程大學勤務學院，天津，300450

水平軸風力機的轉矩性能及葉尖損失對其的影響

姜海波 李艷茹 趙云鵬

海軍工程大學勤務學院，天津，300450

分析了葉尖損失機理，根據PRANDTL 和GLAUERT葉尖損失修正因子及葉素-動量理論，推導出考慮葉尖損失的葉片弦長公式，然后沿葉片展向積分，推導出與風力機尖速比和翼型升阻比關聯的風力機轉矩系數解析表達式，并得到風力機在任何穩定運行狀態轉矩系數的最高參數值，可作為風力機轉矩系數的設計參考值。研究表明，葉尖損失對弦長的影響集中在葉尖部位，當升阻比為無窮大且尖速比從常見范圍10變化到4時，葉尖損失導致轉矩性能損失約4%～10%，且損失的數值隨升阻比的變化極小。

風能利用；風力機；轉矩系數；葉尖損失；葉素-動量理論

0 引言

水平軸風力機最重要的性能指標是功率、轉矩和推力。功率系數的研究已有大量文獻報道，其中BETZ于1920年給出了風力機功率系數的理論極限是16/27，約為0.593[1-3]。姜海波等[4]則給出了穩定運行狀態下與尖速比和升阻比關聯的理想風力機功率系數的具體表達式，以及阻力為0(即升阻比為無窮大)時功率的最佳性能公式，并證明只有當尖速比和升阻比均為無窮大時功率系數才會趨近于Betz極限，因此人們就不必為追求超越功率系數理論計算值而花費太多的精力，設計的風力機效率接近相應條件下的理論值時，就可認定是理想設計。

風力機的另一個重要參數是轉矩系數，研究轉矩系數是否存在理論上的極限值具有十分重要的意義。本文將利用葉素-動量理論通過推導給出風力機最高轉矩系數計算公式，對此問題給出肯定的回答。

動量理論假設風力機的葉片數為無窮多，流過風輪的每個空氣粒子都與葉片相互作用，但實際風力機的葉片數為有限個，流過風輪的一部分粒子與葉片相互作用，另一部分會穿越葉片之間的空隙。這兩種情況下空氣傳遞給風輪的動量是有區別的，即誘導速度不同。如果葉片處的誘導速度很大，那么入流角就會很小，導致轉矩在切向的分量減小，從而減小轉矩，造成功率損失。本文將在理論葉片弦長的基礎上考慮有限葉片數對葉尖損失造成的影響，給出了實際風力機最高轉矩性能的計算方法和具體參數值。

1 基本關系式

首先簡要考察風力機穩定運行狀態(既非加速又非減速的運行狀態)，風的作用情況和葉片受力狀態(圖1、圖2)[4]。

圖1 風力機葉輪順風向示意圖Fig.1 Schematic view of a wind turbine with downwind direction

圖2 圖1之A-A截面葉素風速狀態與受力分析Fig.2 Wind speed state and force analysis of the blade element at A-A cross section in Fig. 1

用與轉軸同心的圓柱切割葉片，刨面位置見圖1的A-A位置，在半徑r處取一微段(亦稱葉素)dr進行受力分析，如圖2所示。設ω為風力機自轉角速度，r為葉片展向微段dr到轉軸中心的距離，R為葉片的長度。微段dr沿旋轉平面向上運動，故存在逆風相對速度W=ωr。W與切向誘導速度bW的合成速度為w=(1+b)W。無窮遠處來流絕對速度U與軸向誘導速度aU的合成速度u=(1-a)U是通過葉片的軸向風速，u與w的合成速度v對葉片產生升力和阻力，速度v的攻角為α。升力dL垂直于合成速度v，可分解為周向分量dLw和水平分量dLu；阻力dD與v方向一致，可分解為周向分量dDw和水平分量dDu。φ為v與旋轉平面所成的夾角，稱來流角或入流角；α為翼弦與v的夾角，稱為攻角；設λ為r處W與U的比值，稱為線速度比。

對于葉尖損失，PRANDTL等[5]給出了一種近似的修正方法，經過GLAUERT改進后的修正因子為[6]

(1)

式中，B為葉片數；λt為尖速比；a為軸向速度誘導因子；x為相對半徑，x=r/R。

(2)

(3)

葉片局部誘導速度因子為

(4)

(5)

圖3 葉尖損失因子與速度誘導因子沿展向的分布曲線Fig.3 Distribution curve of the blade tip loss factor and velocity induction factor along the span

(6)

假定風力機運行在穩定的工況，由圖2可知，風的入流速度為

(7)

由此還可以得到入流角的正弦和余弦表達式：

(8)

(9)

2 考慮葉尖損失的弦長曲線

根據葉素理論[7]，由圖2和式(7)～式(9)可得葉素推力為

dT1=dLu+dDu=dLcosφ+dDsinφ=

(10)

式中，ρ為空氣密度；C為r處翼弦的長度；CL為升力系數；CD為阻力系數。

根據動量理論[8]，來流對風輪圓盤中半徑為r到r+dr的圓環的推力為

(11)

每個圓環徑跨過B個葉片的葉素，所以dT2=BdT1，可得理想的相對弦長公式為

(12)

理想弦長可以通過解析計算的方法得到。從圖形來看這種扭曲的形狀很難加工生產，強度等性能也不能滿足實際流體環境的需要，因此實際葉片必須進行改造(同時也會喪失部分性能)。但是作為理想弦長公式，可以指導設計，并能在理論上發揮重要作用，例如可以利用其推導最高功率、轉矩和推力性能公式。

3 最高轉矩性能計算

考慮葉尖損失后，根據圖2，由式(7)～式(9)可得，穩定運行工況的葉素轉矩為

(13)

式中，F為升力的合力。

對于B個葉片組成的風力機，將相對弦長式(12)代入上式積分，得轉矩系數為

(14)

令阻力系數CD=0(升阻比ζ=∞)，可得到與尖速比關聯的轉矩系數為

(15)

(16)

圖4 阻力為0時葉尖損失修正后的轉矩系數變化趨勢Fig.4 Change trend of torque coefficient after correction of blade tip loss when resistance is 0

圖4所示為阻力為0但不考慮葉尖損失的最大轉矩系數曲線，式(16)和圖4的曲線顯示阻力為0時風力機具有最高轉矩性能，文獻[9]推導出相同的結果，但未考慮葉尖損失的影響。將式(1)和式(2)代入考慮葉尖損失影響的式(15)進行數值積分，圖4中的點陣所示為葉尖損失修正后的轉矩系數變化趨勢，點陣和式(15)表明阻力為0時葉尖損失對風力機的最高轉矩性能有影響。

由圖4可以看出，尖速比較小時，葉尖損失的存在會明顯降低轉矩系數；升阻比為無窮大時，最高轉矩系數損失情況見表1。

表1 阻力為0時葉尖損失對最高轉矩系數的影響

由表1可以看出，不考慮阻力影響的情況下，尖速比從常見范圍10變化到4時，葉尖損失導致轉矩性能損失約4%～10%。

在實際流體環境，阻力不可能為0(升阻比ζ為有限值)，由式(14)得

(17)

式(17) 是依據理想弦長公式推導得到的，實際葉片會依據加工難度、結構強度等因素的影響對弦長分布進行修改，被設計加工成簡化葉片，從而會降低部分性能，因此式(17)為任何實際風力機能達到的最高轉矩性能。

式(17)給定升阻比ζ和尖速比λt一系列參數值后進行數值計算，可得到葉尖損失修正后的最高轉矩系數值如表2所示。這些參數值是任何處于穩定運行狀態的實際風力機都不可超越的極限。

表2 葉尖損失修正后的最高轉矩系數值

(18)

式(18)比式(16) 的計算值略小一點，但兩者的圖像十分相似，在尖速比大于4以后這兩個圖像幾乎重合。雖然推導出風力機的最高轉矩性能的解析表達式(18)，但未考慮葉尖損失的影響，因此式(18)理論價值較高，實用價值較低。由式(18)直接計算出未考慮葉尖損失的最高轉矩系數的理論值，并與表2的數值計算結果進行比較，計算分析表明，對于尖速比在4～10、升阻比在100以下的實用范圍內的葉片，葉尖損失導致轉矩性能損失均在10%以內，且具體數值隨尖速比變化較大，而隨升阻比的變化極小。

實際上，式(17) 和表2已給出葉尖損失修正后與升阻比和尖速比關聯的最高轉矩性能和具體參數值，可作為設計風力機轉矩性能最實際的追求目標，因此兼具重要的理論與應用價值。

4 結論

(1)由葉素-動量理論可導出考慮葉尖損失的弦長公式，葉尖損失對弦長的影響主要集中在葉尖部位。

(2)轉矩沿翼展積分可導出考慮葉尖損失的最高轉矩性能計算公式，這是實際風力機轉矩系數的最高值。

(3)不考慮阻力影響的情況下，尖速比從10變化到4時，葉尖損失導致轉矩性能損失約4%～10%。

(4)對于尖速比在4～10、升阻比在100以下的實用范圍內，葉尖損失導致轉矩性能損失在10%以內，且隨尖速比變化較大，而隨升阻比的變化極小。

[1] BETZ A. Das Maximum der Theoretisch M?glichen Ausnützung des Windes durch Windmotoren[J]. Zeitschrift für das Gesamte Turbinewesen,1920, 20: 307-309.

[2] BERGEY K H. The Lanchester-Betz limit[J]. Journal of Energy, 1979,3: 382-384.

[3] van KUIK G A M. The Lanchester-Betz-Joukowsky Limit[J]. Wind Energy, 2007(10): 289-291.

[4] 姜海波,曹樹良,陽平.水平軸風力機的功率極限[J].機械工程學報, 2011, 47 (10): 113-118. JIANG Haibo, CAO Shuliang, YANG Ping. Power Limit of Horizontal Axis Wind Turbine[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47 (10): 113-118.

[5] PRANDTL L, TIETJENS O G. Applied Hydro and Aeromechanics[M]. New York: Dover Publications, 1957.

[6] TONY B, DAVID S, NICK J, et al. Wind Energy Handbook[M]. Hoboken: John Wiley & Sons Ltd.,2005.

[7] 馬丁·漢森. 風力機空氣動力學[M].2版.北京: 中國電力出版社,2009. MARTIN O L H. Aerodynamics of Wind Turbines[M]. 2nd ed. Beijing: China Electric Power Press, 2009.

[8] 賀德馨. 風工程與工業空氣動力學[M]. 北京: 國防工業出版社, 2006: 81-185. HE Dexin. Wind Engineering and Industrial Aerodynamics[M]. Beijing:National Defense Industry Press, 2006: 81-185.

[9] JIANG Haibo, LI Yanru, CHENG Zhongqing. Performances of Ideal Wind Turbine[J]. Renewable Energy, 2015, 83(11) : 658-662.

(編輯胡佳慧)

TorquePerformanceofHorizontalAxisWindTurbinesandItsImpactsofBladeTipLosses

JIANG Haibo LI Yanru ZHAO Yunpeng
Logistics College,Naval University of Engineering,Tianjin，300450

This paper analyzed the mechanism of blade tip losses, and derived the blade chord formula according to PRANDTL and GLAUERT blade tip loss correction factor and blade element-momentum theory. With the blade chord formula, an analytical expression of torque coefficient associated with tip speed ratio and airfoil lift drag ratio of wind turbines was deduced by integrating along the wingspan using the blade element-momentum theory, and highest torque coefficient value of wind turbines in any steady state was obtained, which might be used for pre-estimating torque coefficient of actual wind turbines in design. The research shows, the impacts of blade tip losses to chord concentrated in the blade tip area, blade tip loss will reduce the torque coefficient about 4 to 10 percent when tip speed ratio changes from 10 to 4, and the value of the loss has minimal changes with lift drag ratio.

wind energy utilization; wind turbine; torque coefficient; blade tip loss; blade element-momentum theory

TK89

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.18.009

2016-11-14

國家自然科學基金資助項目(51375489)

姜海波，男，1962年生。海軍工程大學勤務學院教授、博士研究生導師。主要研究方向為可再生能源開發利用。獲國家科技進步一等獎1項。出版專著1部，發表論文30余篇。E-mail：jianghaibo022@126.com。李艷茹，女，1974年生。海軍工程大學勤務學院副教授、博士。趙云鵬，男，1974年生。海軍工程大學勤務學院副教授。