分數次積分下關于s-凸函數的新Hermite-Hadamard型不等式

孫文兵

(邵陽學院 理學與信息科學系, 湖南 邵陽 422000)

分數次積分下關于s-凸函數的新Hermite-Hadamard型不等式

孫文兵

(邵陽學院 理學與信息科學系, 湖南 邵陽 422000)

建立了一個關于Riemann-Liouville分數次積分的恒等式, 利用此恒等式, 得到了一些函數為可微且s-凸映射的關于分數次積分的新Hermite-Hadamard型積分不等式, 并且對于可微的s-凹函數也得到一些新的結果. 文中的新結果推廣了部分已有研究的結論.最后給出了一個應用實例.

Hadamard不等式;s-凸函數; H?lder不等式; Riemann-Liouville 分數次積分

0 引 言

令f:I?R→R是一個凸函數且a,b∈I,a

(1)

這就是著名的Hermite-Hadamard不等式.

近年來,眾多研究者根據函數具備不同的凸性對Hermite-Hadamard型不等式進行了推廣和改進[1-7].隨著分數次積分的廣泛應用,不少學者開始研究涉及分數次積分的Hermite-Hadamard型不等式,并且得到了越來越多關于分數次積分的結果[8-11].

KIRMACI[12]證明了以下與不等式(1)左端有關聯的一些結果:

引理1令f:I*?R→R是區間I*上的一個可微映射(I*是I的內部),若f′∈L[a,b],a,b∈I*,a

(2)

根據引理1,KIRMACI證明了以下有關凸函數的3個定理.

定理1令f:I*?R→R是區間I*上的可微映射,若|f′|是區間[a,b]上的凸函數,a,b∈I*,a

(3)

(4)

(5)

KIRMACI等[13]還證明了對于凹函數，有

定理4令f:I*?R→R是區間I*上的可微映射,且p≥1.如果|f′|p是[a,b]上的凹函數,a,b∈I*,a

(6)

為了得到新的結果,特引入下面3個定義.

定義1[14]若f:[0,∞)→R,對于x,y∈[0,∞),λ∈[0,1]，并且對于某一固定的s∈(0,1],若不等式

f(λx+(1-λ)y)≤λsf(x)+(1-λ)sf(y)

易知,當s=1時,s-凸性即為通常意義下的凸函數.

DRAGOMIR等[15]證明了對于第2種意義下s-凸函數的Hadamard不等式的一個變式:

定理5假設f:[0,∞]→[0,∞]是一個第2種意義下的s-凸函數,其中s∈(0,1)且a,b∈[0,∞),a

(7)

下面給出α(∈R+)階左側和右側分數次積分的定義.

可見,當α=1時,分數次積分即為經典積分.

為了簡化結果的表示形式，引入不完全Beta函數的定義[16-18]:

定義3對于a,b>0且0

本文利用Riemann-Liouville分數次積分,對具有s-凸性的函數,建立了與Hermite-Hadamard不等式左端相關的不等式.將Hermite-Hadamard積分不等式推廣到分數次積分,文中結果推廣了已有文獻中的結論,如不等式(3)～(6)是本文結果的特殊情況.

1 Hermite-Hadamard型分數次積分不等式的主要結果及證明

引理2令f:[a,b]→R是區間(a,b)上的可微映射,a

(8)

證明由分部積分,有

(9)

和

(10)

其中,用到變量代換x=ta+(1-t)b,t∈[0,1].

用(b-a)分別乘以式(9)和(10)兩邊,分別得到

(11)

和

(12)

由式(11)和(12)，引理2得證.

由引理2,可以得到關于第2種意義下s-凸函數的分數次積分不等式.

(13)

(|f′(a)|+|f′(b)|)，

其中用到以下計算結果：

和

結論得證.

(14)

證明在式(13)中,取s=1,由于

于是,結論得證.

注1在推論1中,如果令α=1,則由式(14)可得到定理1中的不等式(3).

推論2令f:[a,b]?[0,∞]→R,在區間(a,b)上是一個可微映射,a

(15)

證明在式(13)中,取α=1,由于

則結論成立.

注2在推論2中,令s=1,則式(15)也能得到定理1中的不等式(3).

定理7令f:[a,b]?[0,∞]→R,在區間(a,b)上是一個可微映射,a1,則以下分數次積分不等式成立:

(16)

其中，

因為|f′|q在[a,b]上是第2種意義下s-凸的,則有

和

通過計算得到

定理7得證.

3|f′(b)|p/(p-1))(p-1)/p+

(17)

證明在式(16)中,取s=1,即可得到式(7).

注3在推論3中,如果令α=1,則由式(17)可得到定理2中的不等式(4).

推論4令f:[a,b]?[0,∞]→R,在區間(a,b)中是一個可微映射,a1,則以下不等式成立:

(18)

證明在式(16)中,取α=1,即可得到式(18).

注4在推論4中,如果令s=1,則由式(18)也可得到定理2中的不等式(4).

(19)

證明令a1=|f′(a)|p/(p-1),b1=(2s+1-1)|f′(b)|p/(p-1),a2=(2s+1-1)|f′(a)|p/(p-1),b2=|f′(b)|p/(p-1)，這里對p>1,有0<(p-1)/p<1.因為對于0

由定理7,可得

[1+(2s+1-1)(p-1)/p](|f′(a)|+|f′(b)|)≤

定理8得證.

(20)

證明在式(19)中,取s=1,即可得到式(20).

注5在推論5中,取α=1,則由式(20)可得到定理3中的不等式(5).

推論6令f:[a,b]?[0,∞]→R,在區間(a,b)上是一個可微映射,a1,則以下分數次積分不等式成立:

(21)

證明在式(19)中取α=1,即可得到式(21).

注6在推論6中,如果令s=1,則由式(21)也可得到定理3中的不等式(5).

(22)

因為|f′|q在區間[a,b]上是第2種意義下s-凹的,利用不等式(7),可得

通過計算,可得

(23)

證明根據定理9中的式(22),由于|f′|是一個線性映射,立即可得式(23)[13].

注7在推論7中,取s=1,α=1,由于p>1,則由式(23)可得到定理4中的式(6).

2 應用舉例

文獻[14]給出一個s凸函數的例子：令s∈(0,1),a1,b1,c1∈R，函數f:[0,∞]→R定義為：

注8若在本文結論中取[a,b]=[0,1]，即a=0,b=1,f(x)=xλ-1(2>λ>1,x∈[0,1])，結合不完全Beta函數定義可得：

其中用到換元1-t=x，并且

因此，有以下命題：

命題1令2>λ>1,由注8以及定理6可得不等式：

注9按照命題1的方法，由文中其他結論可得到類似的不等式.

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SUN Wenbing

(Department of Science and Information Science, Shaoyang University, Shaoyang 422000, Hunan Province, China)

In this paper, we establish a new identity for Riemann-Liouville fractional integrals. Using the established identity, some new Hermite-Hadamard type inequalities for differentiables-convex mappings that are connected with the Riemann-Liouville fractional integrals are obtained. Also, some results are deduced for differentiables-concave functions. Our results extend some proved results in the existing researches. Finally, we give an example to illustrate the applications of the results.

Hadamard’s inequality;s-convex function; H?lder inequality; Riemann-Liouville fractional integral

O 178

：A

：1008-9497(2017)05-531-07

2016-08-30.

湖南省自然科學基金資助項目(12JJ3008)；湖南省教育廳重點項目(14A132);邵陽市科技計劃項目(2016GX04).

孫文兵(1978-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-5673-4519，男，碩士，副教授，主要從事解析不等式研究，E-mail:swb0520@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.05.006

NewHermite-Hadamard-typeinequalitiesfors-convexfunctionsviafractionalintegrals. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(5):531-537