多元函數(shù)微分的變量代換

林美琳

（莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 莆田 351100）

數(shù)理研究

多元函數(shù)微分的變量代換

林美琳

（莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 莆田 351100）

學(xué)生在學(xué)習(xí)多元函數(shù)微分的變量代換時(shí)，相對(duì)比較困難.針對(duì)教材，從三個(gè)方面歸納總結(jié)了這類(lèi)型題目的解題方法，這樣使學(xué)生能夠全面地掌握這一部分的內(nèi)容，并能做到舉一反三.

多元函數(shù)；變量代換；自變量；因變量

目前，本學(xué)院用的《數(shù)學(xué)分析》的教材是復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的，此教材在介紹多元函數(shù)微分的變量代換時(shí)，只有一個(gè)例題，而課后關(guān)于這方面的練習(xí)題倒比較多.很多同學(xué)在學(xué)這一內(nèi)容時(shí)比較困難，他們覺(jué)得很抽象，做題目無(wú)從入手.而這一部分內(nèi)容特別是對(duì)考研的同學(xué)尤為重要.縱觀各高校的考研題，此類(lèi)型題目出現(xiàn)的機(jī)會(huì)也是很經(jīng)常的.而且工科學(xué)生在研究生入學(xué)考試中，遇到此類(lèi)題目也感到束手無(wú)策.因此，本文從三個(gè)方面歸納了多元函數(shù)微分的變量代換題型的解題方法.這樣可以使學(xué)生比較系統(tǒng)的學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容，做起題目可以得心應(yīng)手，并能做到舉一反三.

1 在含有導(dǎo)數(shù)的式子中的變量代換

在式子 F=Φ(x,y,y',y",…)中，需要把 x，y轉(zhuǎn)換成新的變量：t（自變量）和u（因變量），由x=f(t,u)，g=g(t,u)進(jìn)行微分得到：

類(lèi)似地可以表示出高階導(dǎo)數(shù)y"，….

例 2 設(shè) x=rcosθ，y=rsinθ，變換方程

2 在含有偏導(dǎo)數(shù)的式子中自變量的代換

以此類(lèi)推，可以算出高階偏導(dǎo)數(shù).

3 在含有偏導(dǎo)數(shù)的式子中自變量和因變量的代換

這種情況下，一般是由方程w=w(x,y,z)解出z=f(x,y,w)，然后兩邊同時(shí)對(duì)x，y求偏導(dǎo)得

〔1〕滕興虎,鄭琴,周華任,廖洪林.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集精選詳解(下冊(cè))[M].南京：東南大學(xué)出版社，2011.

〔2〕錢(qián)吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹[M].武漢：崇文書(shū)局，2003.

〔3〕歐陽(yáng)光中,朱學(xué)炎,金福臨,陳傳璋.數(shù)學(xué)分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2007.

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