高級數學思維及其培養策略（下）

4高級數學思維的培養策略

實踐表明，數學思維由低級向高級發展，既不能采用拔苗助長的辦法，也不能消極等待。數學教學要借鑒數學家獲得數學概念、原理時的思維活動過程，分析學生的數學思維過程，并據此設計教學情境，這樣才能符合學生的思維活動規律[17]。這也就是指，數學教學要不斷促進學生的數學思維由低級向高級發展，關鍵在于如何針對高級數學思維的基本內涵、核心要素和主要特征，采取有效的教學對策，不斷引發學生進行有效的深度數學思考。

4.1發展學生的邏輯結構

數學知識有其內在的邏輯聯系，是一個有機的整體。“逐漸形成和發展學生的作為數學活動基礎的那些邏輯結構是數學教學最重要的手段”[6]。同時，這也是促進學生數學思維水平上層次的重要前提。這就要求數學教學要關注學生對數學知識本質的認識與理解，最大限度地以推理的邏輯結構駕馭其內容，對任何數學知識內容的教學，不僅要使學生了解其本身的規定和含義，而且要將其與其他知識作縱橫比較，使之納入學生已有的知識結構。在橫向方面，要引導學生比較知識之間的區別和聯系，以有助于學生把頭腦里的知識形成合理的邏輯結構；在縱向方面，要致力于揭示知識間的上下從屬關系，弄清知識的序與流，從而有助于學生深刻理解和掌握所學數學知識。

比如，教函數的單調性時，如果學生從具體實例出發，通過思考，僅能概括得出增（減）函數的定義，則學生對函數單調性的認識還沒有上升到邏輯層面，其數學思維表現為低級。此時，教師有必要將學生的思維引向深入，得到如下更加概括化的知識：對屬于所研究區間內的任意兩個變量x1，x2，若（x1-x2）（f（x1）-f（x2））>0（<0），則f（x）為增（減）函數。這樣教學，能使學生的數學思維處于較高的概括化程度，有助于學生逐步形成整體聯系觀，發展其邏輯結構，促使其數學思維向高層次發展。

4.2提高學生的問題表征水平

研究表明，問題的適當表征與問題的成功解決之間存在正相關[18]；不當表征與解題成績成負相關[19]。由此看來，數學問題表征是數學問題解決的核心和關鍵。這是學生數學思維水平上層次的重要基礎。就數學學習而言，數學問題表征是指根據數學問題所提供的信息和自身已有的知識經驗，發現問題的結構，構建自己的問題空間的過程，也是把外部的物理刺激轉化為內部心理符號的過程。要促進學生的數學思維水平上層次，就必須不斷提高學生的數學問題表征水平。

學生能適當表征所給的數學問題，其前提是要理解數學。因此，提高學生的數學問題表征水平，重在加強學生數學語言（文字、符號、圖形、表格等）表達能力的培養，進行文字與符號、符號與圖形等之間的互譯，加強定理證明、問題解決思路等說題訓練，促進學生數學思維層次不斷提升，加深對所學數學知識的理解。

有必要指出的是，數學問題表征水平與學習者的個體差異密切相關。同一數學問題對不同的學習主體來說，會有不同的表征，因而也就會呈現出不同的學習結果和數學思維水平。但不等于說，學生的年級越高、知識掌握越多，其數學問題表征水平就越高，數學思維就肯定是高級的。比如，關于“求|x+2|+|x-5|的最小值”問題，對具有豐富數學知識的高中學生來說，無論采用代數表征還是幾何表征來解，其數學思維都算不上高級；但對初中學生而言，若能采用如下幾何表征來解，即依據絕對值概念的幾何意義，將問題轉化為“在數軸上尋求一點，使其到A、B（分別對應數-2、5）兩點的距離之和最小”的簡單問題，則反映其能超越常規思維，合理調配和有機重組已有知識等信息資源，并能選擇合理的問題解決策略，此時學生的數學思維表現就是高級的。

4.3培養學生的數學“再創造”能力

弗賴登塔爾提出：“數學教學的核心是學生的‘再創造，這就是說，數學學習事實上就是這樣的‘再創造過程，我們在此并非是要機械地去重復歷史中的‘原始創造，而應根據自己的體驗并用自己的思維方式重新創造出有關的數學知識。”[20]學生實現“再創造”的過程，實質就是數學思維由低級向高級發展的過程。“數學教師在設計數學活動教學時，所選擇的問題及安排的數學活動不但要適合于學生現有的數學思維水平，更應該考慮到促進學生的數學思維向下一個數學思維階段發展。換而言之，就是既要考慮到學生數學思維能力水平的限制，又要考慮到數學思維發展的潛力。”[17]因此，要實現學生數學學習的“再創造”，應適當加大數學知識難度和滲透科學認識的教學，重視學生對科學方法的掌握及對科學價值的理解，加強學生整理知識和重組知識能力的培養，使學生能從知識材料間的問題和矛盾中不斷探索、發現并解決問題，實現認識的深化和發展。

4.4加強學生數學思維自我監控能力的培養

研究表明，優等生和中等生在問題解決上所表現出來的差異主要來源于思維策略上的差異，優等生在問題空間的搜索中，更善于捕捉啟發信息，能更快地從試誤策略轉化為啟發式搜索策略。進行思維策略訓練的重要任務，就是要加強學生元認知控制能力的培養。元認知控制是對認知行為的管理和控制，是主體在進行認知活動的過程中，將自己正在進行的認知活動作為意識對象，不斷地對其進行積極、自覺的監視、控制和調節[21]。加強學生元認知控制能力培養的關鍵，就是要加強學生數學思維自我監控能力的培養。這就要求平時的數學教學，教師應有目的、有計劃、有意識地引導和指導學生在有效完成數學學習任務時，清醒地認識到自己應該做什么、何時做、如何做，學生則在不斷進行思維自我監控和調節的過程中，促使自身的數學思維逐步由低級向高級發展。endprint

4.5加強學生數學反思能力的培養

做數學是目前數學教育的一個重要觀點，它強調學生學習數學是一個現實的經驗、理解和反思的過程[22]。這里的做數學，不能簡單地理解為解數學題，它指的是學生在數學活動中所經歷的一系列數學過程，具體包括觀察、分類、比較、分析、綜合、抽象、概括、猜想、論證、反思、評判等數學活動。因此，數學教學應從數學學科特點出發，對學生的數學認知活動進行深入研究，重視引導學生進行批判性回顧，促進學生的數學思維由低級向高級發展。

引導學生進行批判性回顧，應鼓勵學生大膽質疑，培養學生的反思習慣和反思能力。現在我們培養的學生往往只會做“學答”，即學會回答別人已經解決了的問題，而不會做“學問”，即不會問問題、不知怎樣問問題。書本知識是一定條件下的經驗總結，有一定的適應范圍，但人們的認識會隨著社會實踐的發展而不斷深化。因此，教師要提倡學生敢于懷疑課本中每道例題的解答、定理證明的簡捷性（甚至正確性），注意培養學生的學習自信心，乃至科學自信心。

同時，教師應引導學生反思問題解決過程中所運用的數學概念、數學規則的正確性，反思所采用的解題策略是否合理或最優，反思數學問題本身有無可利用的隱含條件，反思解題表達是否規范等，從而不斷提高學生的批判性思維水平，促進高級數學思維的發展和數學學習水平的提升。

例如，教圓的方程時，我們讓學生思考如下的問題：有一圓與直線x-y+3=0相切于點（2，5），且經過點（2，3），求此圓的方程。結果幾乎所有學生都是通過數形結合的方法列出方程組，再解這個方程組，得出所要求的圓的方程。顯然，就本題而言，僅采用此種解法的學生，其數學思維表現就是低級的。實際教學中，當教師要求學生反思問題解決策略是否最優時，有學生想到了將切點視為點圓，可采用共點曲線系方法解之。即視切點（2，5）為點圓（x-2）2+（y-5）2=0，設所要求的圓的方程為（x-2）2+（y-5）2+姿（x-y+3）=0，將點（2，3）的坐標代入此方程得姿=-2，從而得到所求的圓的方程為x2+y2-6x-8y+23=0。采用此法，解題過程簡單明了，說明學生表現出了較高層次的數學思維。

最后有必要指出的是，培養學生的高級數學思維始終是數學課程最重要的核心任務和長久任務，這是學生數學學習能力發展和數學學習水平提高的根。平時的數學教學應有目的、有計劃、有針對性地將高級數學思維的訓練有機貫穿人才培養全過程，改善學生的數學學習方式，以切實提高學生的數學學習效率。否則，片面追求高級數學思維培養的任何數學教學都是沒有意義的，因而也就失去了其應有的教學價值。

【本文系江蘇省重點建設一級學科———數學（JSXK201301）；江蘇省高等教育教改研究重點立項課題“MPCK（MPCA）視閾下數學本科專業教師教育課程設置研究”（2015JSJG059）成果】

（作者單位：江蘇省泰州學院）

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