中國古代數學文化綜述

徐堅+徐章韜

1.引言

中國傳統文化注重經世致用，“重實用而黜玄想”。中國古代數學的發展，起源于田畝丈量、稅收計算、水利興修等與民生息息相關的實用活動，經歷實地觀察與實驗、分析與歸納、類比與計算等過程，形成數學理論體系，最終以官方文書的形式記載在案。《九章算術》在這種獨特的文化背景下形成。書中的算法體系以問題解決為中心，強調知識的應用價值，具有鮮明的中國傳統文化特征。從哲學辯證法的觀點出發，數學的發展與當時的數學文化緊密聯系，相互制約。本文以時間為主線對中國古代數學文化進行簡單梳理，旨在突出數學文化對數學發展的影響。

2.中國古代數學文化歷史梳理

2.1先秦時期的數學文化

商代時期的經濟和科學文化發展迅速，出現了甲骨文，主要用于占卜，這表明我國的文字發展到相對成熟的階段。記數方式在結繩和刻劃的基礎上形成了數目字。在記數法方面，有發展完備的十進制記數法，最大的數目字達到三萬。另有歷法上的天干地支記日法、記時法，用10個天干和12個地支組成甲子、乙丑等60個名稱記錄60年的日期。

戰國時期，百家爭鳴，尤其是對于數學的概念、定義和命題的討論，極大地促進了中國古代數學的形成。不同學派在正名和一些命題方面，觀點各不相同。名家認為，抽象的名詞概念與原先具體的事物屬于不同的范疇，在“矩不方，規不可以為圓”“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等命題中均可體現這一論點。墨家認為，名源于物，也可在一定程度上從不同方面反映物，如墨家給出點、直線、圓、正方形、平行等抽象概念。在墨家看來，“一尺之棰”的命題是不科學的，并提出“非半”的命題：將一線段按一半一半無限分割下去，必有一個不能再分割的“非半”出現，這個“非半”就是點。“非半”命題是中國古代簡樸極限思想的萌芽。

2.2秦漢時期的數學文化

秦漢處于封建社會的上升時期，經濟、文化及各種技術迅速發展。“觀天測象，不違農時”。以農業為主的古代中國必然依賴于天文觀測和計算，從而極大地促進了數學沿著實用與算法的方向發展，這時期以《周髀算經》與《九章算術》為典型代表。

《周髀算經》是關于天文學的著作，是從數學的角度思考“蓋天說”宇宙模型。在對數的認識上，出現了分數和有理數四則運算法則。在天文測量的應用中積累了豐富的數學經驗，并以文字形式論述了勾股定理及其在測量中的應用。《九章算術》標志著中國古代數學體系的形成，其成就表現在算術、代數和幾何三個方面，以中國古代長期積累起來的數學知識為基礎，從實用的角度將幾何問題轉化為代數或算術問題。該書共246題，以問題集的形式分屬九章：方田（各種形狀田畝面積計算）、粟米（各種谷物間按比例交換）、衰分（比例分配計算）、少廣（由面積求邊長或由體積求徑長）、商功（各種土石工程、體積計算）、均輸（合理攤派賦稅、徭役）、盈不足（盈虧問題）、方程（線性方程求解及正負數）、勾股（勾股測量問題）。《九章算術》集中體現了中國古代數學體系的特征：以算籌為基礎，以算法為主，寓理于算，廣泛應用。

2.3魏晉南北朝時期的數學文化

魏晉時期，學術界思辨之風興起，數學也不再只注重實用算法，而是將重心轉移到對數學結論的證明上。數學在理論方面得到發展，如給《周髀算經》和《九章算術》作注釋，開創性地對兩部著作中的重要結論給出較嚴格的數學證明。在《周髀算經注》中，趙爽提出作“勾股圓方圖”，用弦圖對勾股定理及解勾股形的5個公式進行證明與推導。他還在“日高圖及注”中，用面積出入相補的方法證明了《周髀算經》中的日高公式。

南北朝時期，數學成果依然層出不窮。北方數學主要是對《九章算術》的承襲和擴充，在解釋已有算法的基礎上，提出新的算法，如解一次同余式組、等差級數求和、解不定方程等。南方數學以祖沖之、祖暅父子的工作為代表，主要是計算圓周率和推導球體積公式。祖沖之關于圓周率的計算，一方面利用割圓術，計算出圓周率數值的上下限：3.1415926<π<3.1415927。這是當時世界上最精確的值；另一方面用新方法，確定了圓周率的分數式：約率和密率。祖沖之父子的另一顯著成就是利用出入相補原理和祖氏原理，從計算“牟合方蓋”的體積出發，證明并推導了球體積公式。祖氏原理對微積分的建立有重要影響。此外，祖沖之還提出了包括負系數在內的二次、三次方程的求解方法，如“又設開差冪、開差立，兼以正負參之。指要精密，算氏之最者也”等。

2.4宋元時期的數學文化

中國古代數學發展到宋元時代，進入鼎盛時期。這一時期，以“宋元四大家”的數學成就為代表。

秦九韶的代表作是《數書九章》，其最重要的成就有兩項：正負開方術———把以增乘開方法為主體的高次方程數值解法推廣至完備和大衍總數術———求解一次同余方程組，是對《孫子算經》中“物不知數”問題算法的推廣。秦九韶關于一次同余式求解的剩余定理，在近代數學和現代電子計算設計中有重要作用，比歐拉和高斯的研究早了五百多年，因此常被西方人稱為“中國剩余定理”。楊輝對數學理論的保留、傳播和發展，做出了重大貢獻。比如注釋《九章算術》，并增加了“圖解”“乘除法”“纂類”三卷，將書中的方法和246個問題按其方法的性質由易到難重新歸類。比如，依據沈括的“隙積術”，對高階等差級數求和進行研究，推出有名的“垛積術”。楊輝致力于簡化算法，首次提出素數的概念，改進算籌乘除計算技術，發展統一的求一算法和歸除法。關于縱橫圖（按一定規律排列的數表，即幻方）的研究，楊輝不僅給出了這些圖的編造方法，而且對一些圖的一般構造規律有所認識，打破了幻方的神秘性，是世界上最早對幻方進行的系統研究。楊輝還主張數學教育和數學普及，力行循序漸進、啟發式教學、變式教學等方法原則，在培養數學人才方面有獨到見解。宋元時期的數學已經開始嘗試代數符號化。比如，李治在《測圓海鏡》一書中，把求解高次方程稱為“天元術”，書中的“立天元”的意思是“設x”，用“天元”代表未知量。又如，在《四元玉鑒》中，朱世杰把從列方程到解方程的方法叫“四元術”，分別用“天元”“地元”“人元”和“物元”表示四元高次方程組中的四個未知量，與現在用字母表示未知量無異。宋元時期推崇理性數學文化，數學的發展遠離技藝致用，多以理論研究為主。

2.5明清時期的數學文化

珠算的產生和發展，是明代商業貿易的發展結果。其中，程大位的《算法統宗》流傳和影響最廣，全書共17卷，595個應用題。該書是對珠算理論的應用與總結，對珠算規則、算盤用法以及珠算口訣都有詳細論述，標志著中國由算籌到珠算的完成。

清朝初期，西方初等數學開始傳入中國。一些數學家將西方的著作引入中國，如徐光啟與意大利傳教士利瑪竇合譯了歐幾里得的名著《幾何原本》前6卷，書中演繹推理的證明方法對中國傳統數學文化產生了一定影響。第一本介紹歐洲筆算的著作《同文算指》，由李之藻與利瑪竇合作編譯而成，在西算的基礎上補充部分中算內容，開啟了筆算階段。還有一些數學家將中西數學、歷算融會在一起，其中最有影響力的是有“歷算第一家”之稱的梅文鼎。他不僅能對傳入的西方數學進行系統的整理、編排和重述，還能有所闡發和增補。康熙帝編制的《數理京蘊》匯編了西方數學知識和中算精華，還介紹了“對數造表法”和“借根方”等新內容，是一部帶總結性的著作。清朝末期，西方高等數學陸續傳入中國。受西方公理化思想的影響，中國在微積分和組合分析等方面取得了出色的成績。如李善蘭在“垛積術”和傳統極限思想的基礎上創立了“尖錐術”，這是一種微積分方法，并得出自然對數展開式。《垛積比類》是李善蘭對組合數學的研究，著名的“李善蘭恒等式”“李善蘭數”均是關于組合數的公式定理。至此，我國古代數學形式和內容的發展接近尾聲，近代數學的序幕隨之開啟。

（作者單位：華中師范大學數學與統計學學院）endprint