用優秀數學文化涵養學生的精神

張新春

M·克萊因在他的名著《西方文化中的數學》中說：“……幾乎每個人都知道，數學在工程設計中具有極其重要的實用價值。但是很少有人懂得數學在科學推理中的重要性，以及它在重要的物理科學理論中所起的核心作用。至于數學決定了大部分哲學思想的內容和研究方法，摧毀和構建了諸多宗教教義，為政治學說和經濟理論提供了依據，塑造了眾多流派的繪畫、音樂、建筑和文學風格，創立了邏輯學，而且為我們必須回答的人和宇宙的基本問題提供了最好的答案，這些就更加鮮為人知了。作為理性精神的化身，數學已經滲透到以前由權威、習慣、風俗所統治的領域，而且取代它們成為思想和行動的指南。最為重要的是，作為一種寶貴的、無可比擬的人類成就，數學在使人賞心悅目和提供審美價值方面，至少可與其他任何一種文化門類媲美。”《數學課程標準》中也指出，“數學是人類文化的重要組成部分……”。那么，在數學教學中，如何體現數學作為一種文化的獨特價值？或者說如何利用數學的獨特文化品格涵養學生的精神？首先，強調理性精神的啟蒙。理性精神是人類所獨有的本性。我們說的理性，通常有兩個方面的含義。一是認知理性，是人類獨有的概念、判斷、推理等思維形式和利用這些思維形式進行思維活動的能力。二是道理理性或實踐理性，是指人類獨有的用以調節和控制自身欲望與行為的精神力量。我們說數學教育的理性精神啟蒙，主要是指前者。

事實上，數學之所以是人類文化的一部分，與認知理性意義上的理性精神是分不開的。文化，就其最廣泛的意義而言，是人類在社會歷史實踐過程中所創造的物質財富與精神財富的總和。這個意義上的文化，是與自然相對應的，即是指人類創造的、非自然的事物。數學對象恰恰是非自然的、人腦抽象的結果。鄭毓信先生說“：誰曾見過一？我們只見過某一個人、某一棵樹、某一間房，而決不會見到作為數學研究對象的‘一。類似地，我們也只能見到圓形的太陽、圓形的車輪，而決不會見到作為幾何對象的真正的‘圓。從而，即使就最簡單的數學對象而言，它們也是抽象思維的產物。”亞歷山大洛夫則說“：我們運用抽象的數字，卻并不打算每次都把它們同具體的對象聯系起來。我們在學校學的是抽象的乘法表，而不是男孩的數目乘上蘋果的數目，或者蘋果的數目乘上蘋果的價錢。同樣地，幾何中研究的，例如，是直線，而不是拉緊的繩子。”像一、圓、直線這樣的數學概念（也是數學研究的對象），在客觀世界中并不存在，是人腦對客觀世界進行加工、抽象的產物。于是，數學不再是自然的，而是非自然的，是人類創造的，從而是文化的。

在數學教育中，幫助學生逐步形成概念、判斷、推理的思維形式，并形成這種理性思維能力，就是用數學獨特的文化品格涵養學生的精神。

以幾何圖形的教學為例。

小學一、二年級時，學生在認識長方形、正方形、平行四邊形等圖形時，通常是通過實物得到一些具體的圖形形狀（即概念的表象），然后說“像這樣的圖形，就叫×××”。這不是概念，也無法引向判斷、推理。因為所謂“像”是說不清楚的，或者是主觀的：甲認為像，乙認為不像。從而也就無法理清長方形、正方形和平行四邊形之間的關系。要理清這些關系，需要作如下的判斷：所有的正方形都是長方形，所有的長方形都是平行四邊形。而這樣的判斷恰恰需要以明確的概念為基礎。

到了小學四年級，我們再認識平行四邊形時，就需要明確概念。即，兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形。此時，如果我們問如右圖的四邊形ABCD是不是平行四邊形，學生就可以根據概念確認相關條件是否滿足：AB與DC平行嗎？AD與BC平行嗎？這兩個條件都能得到滿足，就說它是平行四邊形。

其次，關注探究精神的培養。數學教學離不開探索和解決各類數學問題。這些問題有的與現實生活聯系密切，有的則與現實生活沒有太多關系。在此，對與現實生活密切相關的問題的探究，我們特別強調，應該培養學生對純粹的數學問題，或者說純粹的智力活動的好奇心與探究精神。

我國傳統數學對解決實際問題非常關注。一本《九章算術》即是一本實際問題與解的手冊。毋庸諱言，相對于對實際問題的研究，我們對純粹的數學問題的探究欲望要稍弱一些。原因當然是多方面的，但我們過于重視實際，而對看似無用的問題關心不夠，可能也是一個原因。

很多數學內容在現實生活中的用處往往是滯后的。古希臘學者阿波羅尼奧斯研究圓錐曲線時，不知道甚至沒想過會有什么用。兩千年后，人們發現天體運行的軌跡就是圓錐曲線。于是，當時的人們只需拿起先人為他們準備的工具即可。黎曼也沒想到他構建的黎曼幾何會成為愛因斯坦相對論的工具。更進一步，即使不考慮這所有的用處，哈代所說的“智力上的好奇心”“謎團的吸引力”“窮究真理的需要”，都應該成為我們思考數學問題的動力。用希爾伯特的話說，“問題就在那里，你必須解決它”。

其實，明清以降，很多有識之士就認識到了這一點，當時的學者積極翻譯《幾何原本》這樣的著作就是典型的例證。《幾何原本》是數學公理化的典范，其中幾乎不涉及數學的實際應用。徐光啟先生在翻譯《幾何原本》時寫了一篇《幾何原本雜議》，他在文中說：“此書有四不必：不必疑、不必揣、不必試、不必改；有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前后更置之不可得。”他還說：“（此書）有三至、三能：似至晦，實至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，實至簡，故能以其簡簡他物之至繁；似至難，實至易，故能以其易易他物之至難。”在他所譯的《幾何原本》的序言中，他說這本書“蓋不用為用，眾用所基”。大體是說，好似沒用，卻是所有用的基礎。

以圓的周長為例，我們知道，祖沖之把圓周率的值精確到了小數點以后六位。若從實用的角度看，這一結果已經足夠好了。比如，假設地球赤道是一個標準的圓，用祖沖之所得到的圓周率的值計算其周長，誤差也不超過1.5米。從實用的意義上說，有了祖沖之的結果后，接下來探索的意義不大了。但我們應該讓學生體會到，人類有對未知領域的天然的好奇心，從而不會停止對未知問題的探索，對圓周率的研究也是如此。這也是用數學的品格涵養學生的精神。

第三，注重對廣泛聯系的揭示。數學中的很多理論、結論，與客觀世界、現實生活有密切的聯系，我們在教學中要努力予以揭示。事實上，數學的思想、方法滲透到其他學科、滲透到我們的生活，這恰恰是數學作為一種文化力量的表現。

我們知道，黃金分割在現實生活中有著廣泛的應用。筆者以“黃金分割”為關鍵詞在萬方數據庫中進行論文檢索，就可以找到《“黃金分割律”在武術套路編排中的應用》《黃金分割定律在電視訪談節目中的運用》《基于黃金分割理論的數字色彩定量設計有效性驗證研究》等論文，可見這一數學結論與其他學科、領域的廣泛聯系。

此外，我們的生活中還有很多社會的、經濟的、體育的活動，主動利用了數學的結論與思想。比如著名的《獨立宣言》就是按《幾何原本》的公理化思想寫的。2004年奧運會閉幕式上，團體操隊員是按阿基米德螺線出場的。只要有可能，我們就應該在教學中努力揭示類似的聯系。

（作者單位：長沙市教育科學研究院）endprint