以中國古代數學文化為背景的高考題賞析

石向陽

太極圖被稱為“中華第一圖”，是我國比較典型的古代文化符號。2017年，太極圖出現在高考數學題中，讓人眼前一亮，自豪感倍增。

毋庸置疑，在高考試題中滲透數學文化，可以適當引導中學數學教學，使得更多的教師關注數學文化，研究數學文化，將知識的本質傳授給學生。學生通過數學文化的熏陶，可以促進健全人格的養成。《普通高中數學課程標準》也把“體現數學的文化價值”作為高中數學課程的十項基本理念之一，強調數學文化是貫穿整個高中數學課程的重要內容，要求把數學文化滲透到每個模塊或專題的學習中。

多年以來，無論是各省市高考自主命題的地方卷還是新課標全國卷，均出現了以數學文化為背景的試題，成為新課改理念下高考改革和發展的一道靚麗風景，逐漸形成了“依托數學史料，嵌入數學名題，彰顯數學文化”高考數學命題特色和亮點。

本文選取部分有中國古代數學文化背景的高考試題進行剖析，為廣大中學數學教師更合理地利用教材進行數學文化的教學提供參考。

1.以中國古代數學名著為命題背景

數學名著是命制優秀考題的好素材，一般是從名著中選取一段相關的數學材料，在突出所要考查的數學知識的同時，培養學生的數學素養。

例1（2015年高考全國卷I）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？其意思為：在屋內墻角處堆放米（如圖2，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（）。

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

背景分析本題依托數學名著《九章算術》，考查圓錐體積公式。題目屬于生活生產中谷物儲存問題，源于《九章算術》第五章“商功”，結合立體幾何中的基礎知識進行設問，強化了數學文化的傳承和數學應用意識的培養。試題插圖的創新是本題的一個亮點，一是增強了數學問題的生活化，使數學的應用更貼近學生的生活實際；二是有利于考生分析問題和解決問題；三是探索了高考數學試題插圖的新形式，給出了如何將抽象的數學問題形象化的范例。

《九章算術》是我國古代數學名著，多次出現在高考試題中，比如2015年的全國高考卷II，2011年、2012年的湖北高考卷等。另外，《算數書》《數書九章》等名著都曾出現在高考數學試題中，值得老師們關注。

2.以中國古代數學猜想為命題背景

數學猜想是推動數學發展的強大動力之一，也是人類理性中最富有創造性的部分。數學猜想是命制考題的極好素材，它包含豐富的數學知識和思想方法，有利于學生形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態度。

背景分析祖暅，字景爍，祖沖之之子，南北朝時期偉大的科學家。他繼承劉徽和祖沖之的工作，解決了球體積的計算問題，與其父共著《綴術》。在天文學方面，曾測量日影長度，發現北極星與北天極不動處相差一度有余，糾正了北極星就是北天極不動處的錯誤觀點。主要著作有《漏刻經》一卷、《天文錄》三十卷（均已失傳）。祖暅在數學上的突出貢獻是，他在實踐的基礎上，于5世紀末提出體積計算原理（祖暅原理）：“冪勢既同，則積不容異。”“勢”即是高，“冪”是面積。意思是，如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等。祖暅提出上面的原理，要比其他國家的數學家早一千多年，在歐洲直到17世紀才有意大利數學家卡瓦列利提出上述結論。

3.以中國古代數學定理為命題背景

歷史長河中積淀下來的數學成果是數學家集體智慧的結晶，數學的發展自然離不開一個個或熟悉或陌生的面孔，他們滿腔熱情地為數學大廈貢獻畢生精力。從某種意義上說，數學史就是數學家的歷史，數學家的創新精神正是數學精神。以數學家的定理為背景命制考題，正是對創新精神、數學精神的一種傳承。

例3（1979年高考全國卷）敘述并證明勾股定理。

據悉，此題為數學家潘承洞教授所出。當年的得分率非常低，被人戲稱為“百里挑一”。

4.以中國古代數學名題為命題背景

數學名題和音樂、繪畫、雕塑、建筑等藝術作品一樣是人類文化的瑰寶，具有非凡的魅力。它常常蘊含深刻的數學內容、經典的數學方法或與一些數學大師相關聯。經驗表明，數學名題是可以持續地開采出高考題的一脈富礦。

例4（2007年高考湖南卷理科）將楊輝三角中的奇數換成1，偶數換成0，得到如圖4所示的0-1三角數表。從上往下數，第1次全行的數都為1的是第1行，第2次全行的數都為1的是第3行，…，第n次全行的數都為1的是第____行；第61行中1的個數是____。

背景分析顯然本題3個小題都有楊輝三角的背景。楊輝三角是特殊的數陣。本題以楊輝三角為載體，變化出不同的數陣，別具特色，考查考生的觀察、歸納、猜想的能力和用等價轉化思想解題。楊輝是我國南宋末年的一位杰出數學家、數學教育家，楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質與組合數的性質有關，楊輝三角中蘊含了許多優美的規律。高中生對這些大數學家及成果應當有所了解。

以上從四個方面談了試題命制的中國古代數學文化背景。高考中編制的數學試題，除了要實現能力考查的要求以外，還應注重對數學文化的滲透，特別是對中國古代傳統優秀文化的滲透，從而促進學生理性思維的發展。這是新時期數學學科內容與能力改革考查的目標之一。數學文化是數學學科的一個有機組成部分，我國古代數學里有大量的實際問題，可以結合函數、數列、立體幾何、算法等內容，通過創設新的情境、改變設問方式、選取適合的知識內容等滲透數學文化。這些問題既注重體現理性思維的本質內涵，也體現了應用性的考查。中國古代數學文化博大精深，中國古代數學文化在高考中的浸潤，需要廣大教師用心感悟，仔細品味。

【本文系湖南省教育科學“十三五”規劃2016年度課題“創新應用導向的小課題研究”（課題編號：XJK016BZXX044）研究成果】

（作者單位：長沙市南雅中學）endprint