矩陣相抵分解的若干結論

戴立輝，吳霖芳

（閩江學院，福建 福州 350108）

矩陣相抵分解的若干結論

戴立輝，吳霖芳

（閩江學院，福建 福州 350108）

矩陣相抵分解是一類特殊的矩陣分解問題，它在解決矩陣的秩、標準形化簡等許多問題中都有重要的應用。通過對矩陣分解的深入探討，得到一系列相關結論，對矩陣的進一步研究具有重要的理論意義。

矩陣；相抵；相抵分解；結論

0 引言

矩陣分解問題是線性代數內容之一，具有豐富的理論內涵與廣泛的應用價值，在矩陣理論及應用中起著重要的作用。矩陣相抵分解就是一類特殊的矩陣分解問題，它在解決矩陣的秩、逆矩陣、行列式、標準形化簡等許多問題中都有重要的應用。

關于矩陣的相抵分解，其基本內容在文獻[1-4]中都有涉及。林亞南在文獻[5]中從矩陣的相抵談起，進一步討論了矩陣的相抵分解，得到一些結果；朱榮坤在文獻[6]中結合考研試題，研究了矩陣的相抵標準形，得到一些考研試題的相抵標準形的證法。

本文通過系統、深入探討矩陣相抵分解的本質，得到一系列相關結論，可作為文獻[1-6]的補充或提高，對矩陣的進一步研究具有重要的理論意義。

本文中，Fm×n表示數域F上m×n矩陣的全體，Er表示r階單位矩陣，r（A）表示矩陣A的秩，A-1表示矩陣A的逆矩陣，AT表示矩陣A的轉置。

1 預備知識

定義1 設矩陣A通過一系列初等變換得到矩陣B，則稱A和B相抵。

引理1 設矩陣A與B相抵，則以下表述等價：

（1）A可以通過有限次行和列的初等變換最終得到B；

（2）設 A ∈ Fm×n，則存在初等矩陣 P1，P2，…，Ps，Q1，Q2，…，Qt使得

（3）存在可逆矩陣 P ∈ F×，Q ∈ F×，使得A=PBQ；

（4）A，B可分別通過有限次行和列的初等變換最終得到同一個

（5）（rA）=（rB）。

引理2 設 A ∈ Fm×n，r（A）=r，則存在可逆矩陣P ∈ Fm×m，Q ∈ Fn×n，使得

2 主要結論

定理1設A ∈ Fn×n，（rA）=r，則

（1）存在可逆矩陣 P ∈ Fn×n，使得PAP-1后n-r行全部為零；

（2）存在可逆矩陣 Q ∈ Fn×n，使得Q-1AQ后n-r列全部為零。

證明 （1）存在可逆矩陣P，Q ∈ Fn×n，使得則PAP?1=PAQQ?1P?1=

（2）同（1）可證。

定理2設A ∈ Fn×n，（rA）=r，則

（1）存在可逆矩陣 P ∈ Fn×n，使得

（2）存在可逆矩陣 Q ∈ Fn×n，使得

證明 （1）存在可逆矩陣P， Q ∈ Fn×n，使得則令

其中A ∈Fr×n，且 （rA1）=r。

1

（2）同（1）可證。

由定理2可知，A相似于

定理3 設 A ∈ Fn×n， r( A) =r，則存在 B , C ∈ Fn×n，使得AB=CA=A，其中 （rB）=（rC）=r?；駻相似于

證明 存在可逆矩陣P，Q ∈ Fn×n，使得則 （rB）=（rC）=r，且AB=CA=A。

定理4設A ∈ Fn×n，（rA）=r，則

（1）存在冪等矩陣 B ∈ Fn×n和可逆矩陣 C ∈ Fn×n，使得A=BC；

（2）存在可逆矩陣D ∈ Fn×n和冪等矩陣 H ∈ Fn×n，使得A=DH。

證明 （1）存在可逆矩陣 P , Q ∈ Fn×n，使得則

令則B2=B，C可逆，使得A=BC。

（2）同（1）可證。

由定理可知，n階方陣可經過有限次行的（或列的）初等變換化為冪等矩陣。

定理5設A ∈ Fn×n，（rA）=r，則

（1）存在對稱矩陣 B ∈ Fn×n和 可逆矩陣 C ∈ Fn×n，使A=BC；

（2）存在可逆矩陣 D ∈ Fn×n和 對稱矩陣 H ∈ Fn×，n使A=DH。

證明 （1）存在可逆矩陣 P , Q ∈ Fn×n，使得則

令則BT=B,C可逆，使得A=BC。

（2）同（1）可證。

定理5說明，n階方陣可經過有限次行的（或列的）初等變換化為對稱矩陣。

定理6 設 A ∈ Fn×n， r( A) =r < n， 則

（1）存在B≠O，（rB）=n-r，使得AB=O；

（2）存在B≠O，（rB）=n-r，使得BA=O；

（3）存在B≠O，（rB）=n-r，使得AB=BA=O。

證明 存在可逆矩陣P，Q ∈ Fn×n，使得

（1）令則 B≠O，r（B）=n-r，且AB=O；

（2）令則 B≠O，r（B）=n-r，且BA=O；

（3）令則B≠O，r（B）=nr，且 AB=BA=O。

定理7 設 A , B ∈ Fn×n，且則存在可逆矩陣 M ∈ Fn×n，使得AMB=O。

令 M=Q-1R-1，則 AMB=O。

定理8設A ∈ Fm×n，（rA）=r，則存在A1，A2，…，Ar∈ Fm×n，使得

A=A1+A2+…+Ar，其中 （rA）i=1（i=1，2，…，r）。

證明 存在可逆矩陣 P ∈ Fm×m，Q ∈ Fn×n，使得則

其中Eij表示第i行、第j列元素為1，其他為0的矩陣。

令Ai=PEiiQ（i=1，2，…，r），則r（A）i=1（1，2，…，r），且

定理9設A ∈ Fm×n，（rA）=r則

（1）存在可逆矩陣 P ∈ Fm×m，使得

（2）存在可逆矩陣 Q ∈ Fn×n，使得

A = (N, O) Q ，其中 N ∈ Fn×r，且 r ( N)=r 。

證明 （1）存在可逆矩陣 P ∈ Fm×m， Q ∈ Fn×，n使得令其中 M ∈ Fr×n，于是

（2）同（1）可證。

定理10 設 A ∈ Fm×n， r ( A)=r ， 則存在 M ∈ Fm×r，N ∈ Fr×n使得A=MN，其中 r ( M ) = r ( N ) =r 。

證明 存在可逆矩陣 P ∈ Fm×m， Q ∈ Fn×n，使得故

其中且r（M）=r（N）=r。

定理10中的分解稱為矩陣的滿秩分解。

定理11 設 A ∈ Fm×n，

（1）若 （rA）=n，則存在可逆矩陣P ∈ Fm×m，使得

（2）若 （rA）=m，則存在n階可逆矩陣Q ∈ Fn×n，使得 A = (Em,O) Q 。

（2）因為 （rA）=m，所以 （rAT）=m

由（1）存在可逆矩陣 P ∈ Fm×m，使得故A = (Em,O) PT，令 Q=PT，則 A=(Em，O)Q。

定理11中的分解稱為矩陣的行（或列）滿秩分解。

定理12 設 A ∈ Fm×n，

（1）若 r（A）=n，則存在 B ∈ Fn×m，使得 BA=En，ABA=A；

（2）若 r（A）=m，則存在 C ∈ Fn×m，使得 AC=Em，CAC=C。

證明 （1）存在可逆矩陣 P ∈ Fm×m， Q ∈ Fn×n，使得令 B = (Q?1, O) P?1，則

BA=En。從而 ABA=A。

（2）同（1）可證。

定理13 設 A ∈ Fm×n， r( A) =r 則存在 B ∈ Fn×m，使得 ABA=A，BAB=B。

證明 存在可逆矩陣 P ∈ Fm×m，Q ∈ Fn×n，使得令可得 ABA=A，BAB=B。

［1］北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］林亞南.高等代數［M］.北京：高等教育出版社，2013.

［3］莊瓦金.高等代數教程［M］.北京：科學出版社，2013.

［4］辛林，周德旭.高等代數［M］.杭州：浙江大學出版社，2012.

［5］林亞南.從矩陣的相抵談起［A］.福建省《高等代數》與《線性代數》課程建設第十次研究討會交流論文，2008.

［6］朱榮坤.矩陣相抵標準形的考研試題研究［A］.福建省《高等代數》與《線性代數》課程建設第十五次研究討會交流論文，2013.

A Series of Conclusions of Matrix Counterbalance Decomposition

DAI Li-hui，WU Lin-fang
(Minjiang University，Fuzhou 350108，China）

Matrix counterbalance decomposition,one of the special matrix decomposition issues,plays a major role in solving many problems such as the rank of the matrix and standard form reduction.Based on the further discussion about matrix decomposition,the paper draws a series ofrelevant conclusions in hope that it lays an important theoretical significance on the matrixresearch.

matrix；counterbalance；counterbalance decomposition；conclusion

O151.2

A

1674-3229（2017）03-0012-03

2017-03-16

戴立輝（1963-），男，閩江學院數學系教授，研究方向：矩陣論。