試論橢圓問題的三個模型、兩個意識、一個公式

郎礪志

摘要：本文的主要工作是通過大量習題，提煉出橢圓問題的三種解題模型，兩個解題意識，推導出一個常用的解題公式，并引導讀者可以將類似的結果推廣到雙曲線和圓中，從某種程度上形成系統化的圓錐曲線知識，啟發讀者背誦進而在解題中靈活使用，從而提高讀者解決圓錐曲線客觀試題的能力。

關鍵詞：焦點三角形；頂點三角形；離心率；中點弦公式

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2017）07-0235-02

圓錐曲線和函數的導數是廣大高中同學公認的難點，尤其是圓錐曲線問題，本文的主要內容針對圓錐曲線的離心率問題，從大量習題中找尋些許共性，試圖幫助同學們找到解決離心率問題的鑰匙。

模型1.焦點三角形

設橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），F1，F2是其左右焦點，F1（-c，0），F2（c，0），c2=a2+b2，P為此橢圓上任意一點，若P，F1，F2不共線，則稱ΔPF1F2為此橢圓的一個焦點三角形，它擁有面的基本性質：

（1）ΔPF1F2的周長為2a+2c；

（2）SΔPF1F2=c|yp|=12PF1gPF2sinθ=b2tanθ2；

（3）離心率e=sinθsinα+sinβ；

（4）cosθ≥1-2e2

下面是關于（3）（4）的簡證：

（3）的證明：e=2c2a=F1F2PF1+PF2=sinθsinα+sinβ（正弦定理）

（4）的證明：cosθ=PF12+PF22-F1F222PF1PF2=（PF1+PF2）2-2PF1PF2-F1F222PF1PF2=4a2-4c22PF1PF2-1≥4a2-4c22（PF1+PF22）2-1=4a2-4c22a2-1=1-2e2（PF1=PF2=a時取等號）

模型2.頂點三角形

設橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0）如圖所示，稱ΔPA1A2為此橢圓的一個頂點三角形則：KPA1gKPA2=-b2a2

證明：設P（x0，y0）是此橢圓上任意一點（異于A1A2）， A1（-a，0），A2（a，0）

KPA1gKPA2=y0x0-agy0x0+a=y0x02-a2

而x02a2+y02b2=1，∴y02=b2（1-x02a2）=b2（a2-x02）a2代入上式可得：KPA1gKPA2=-b2a2

此結論可以推廣如下：

設橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0）如圖所示，若AB連線經過原點，P為橢圓上異于AB的任意一點，總有KPAgKPB=-b2a2.

下面證明一下上面這個結論，

引理（中點弦公式）設M（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1弦AP（AP不平行y軸）的中點，則有：KAP·KOM=-b2a2.

證明：設A（x1，y1），P（x2，y2），則有KAP=y1-y2x1-x2，x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1

兩式相減得：x12-x22a2+y12-y22b2=0整理得：y12-y22x12-x22=-b2a2，即（y1+y2）（y1-y2）（x1+x2）（x1-x2）=-b2a2，因為M（x0，y0）是弦AP的中點，所以KOM=y0x0=2x02y0=y1+y2x1+x2，所以KAP·KOM=-b2a2

由于B與A關于原點對稱，利用中位線定理，可以獲得上面的結論。

模型3.平行四邊形模型

如圖，設橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），F1，F2是其左右焦點，直線AB過原點，則四邊形AF1BF2是平行四邊形（利用橢圓的中心對稱性很容易證明）

下面結合例題來談談解橢圓問題的兩大意識。

【例1】橢圓C：x29+y24=1，點M與C的焦點不重合，若M關于C的焦點的對稱點分別是A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|+|BN|=________。

解析：如圖，本題題干咋一看十分棘手，因為題中的許多點都不一定在橢圓上，但仔細分析，出現了許多中點，所以我們使用一個基本原則：

中點中位線原則，事實上，|AN|+|BN|=2（|IF1|+|IF2|）=4a=12.

【例2】已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連結AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=45，則C的離心率為______。

解析：本題中的題干敘述與其他題的顯著不同是沒有涉及右焦點，所以解題時需要明確另一個解題意識：雙焦點同現原則，事實上，設F2為橢圓的右焦點，結合余弦定理可知|BF|=6，因此四邊形AFBF2是矩形，由矩形的性質，2c=|F1F2|=|AB|=10，2a=|AF|+|AF2|=|AF|+|BF|=14，e=2c2a=57.

從大量習題中提煉出來的三模型，二意識，一公式在實踐的檢驗中頗有建樹，未來還有兩個提升能力的方向：一.在平時的訓練中有意識地識別三種模型，貫徹解題意識和使用重要公式；二.將本文的主要內容推廣到圓和雙曲線上，同時繼續探究焦點在 軸時的情況，如果能夠獨立完成上述兩個問題，那么你的解題能力一定會有一個質的突破，所謂高中數學的難點就不再是難點了。