指數型壽命分布產品無故障試驗數據分析評估方法

付朝暉

?

指數型壽命分布產品無故障試驗數據分析評估方法

付朝暉

(昆明船舶設備研究試驗中心, 云南昆明, 650051)

武器裝載可靠度試驗經常產生無故障試驗數據, 利用指數分布的無記憶性, 通常認為同類型的個產品的無故障試驗時間等同于同一產品無故障工作了個產品試驗時間的總和。在工程應用中, 這種方法存在局限性。文中利用浴盆曲線解釋了不能完全采用這種方法進行計算的原因, 即在裝載總時間達到進入損耗失效條件的時候, 該方法存在錯誤。針對這一關鍵問題, 提出了裝載可靠度計算的修正方法, 給出了置信下限分析, 結合算例驗證了該方法的可行性。

武器; 裝載可靠度試驗; 指數分布; 壽命; 無故障; 置信下限; 評估

0 引言

在可靠性試驗中, 經常會采用截尾試驗方式, 獲得各種截尾數據。隨著科學技術的發展, 魚雷等產品的可靠性越來越高, 在試驗中會獲得“無失效數據(zero-failure data)”。對于無失效數據可靠性研究, 已經有了無失效可靠性抽樣檢驗方法、最優置信限發、配分布曲線法、極小法、修正似然函數法、等效失效數法、參數的綜合估計法等[1]。Sun W[2]等人提出的無失效數據情形下可靠性參數最優置信下限的方法為魚雷裝載可靠度試驗應用提供了基礎。特別針對指數分布情況下的無失效數據分析, 許多人都開展了相關方面的研究[3-9], 給出了平均壽命、可靠度和可靠壽命的估計。但是, 對于在計算過程中其失效規律會發生變化情況的研究還較少, 使得在魚雷裝載可靠度試驗中的工程計算方法還存在一些值得商榷之處。

在應用這些方法的過程中, 幾乎都忽略了這些方法的前提, 即產品必須服從某種分布。例如, 目前在工程應用領域, 許多裝備的壽命都被認為是服從指數分布[10-12]。做出這種假設的一個很重要的原因是: 指數分布的特性可以使可靠性研究和分析工作極大的簡化, 從而避免了其他分布會遇到的很多難以解決的概率與統計問題。而指數分布的無記憶性則是其特性的一個重要方面, 所謂的無記憶性在裝備可靠性計算中即無故障的產品可以合并為一個產品。由此就出現了個獨立同指數分布的產品, 若在試驗中都未發生故障, 則可以等同于一個產品工作了個產品工作時間的總和而無故障。根據這個特性進行推理, 就可以得到這樣一個結論, 即在魚雷裝載可靠性試驗時, 如果有8條產品直接進行裝載, 每1條產品在魚雷發射管內裝載3個月后無故障, 則可以認為魚雷產品裝載24個月(即2年, 8×3個月)無故障。再進一步, 如果是80條產品, 則會得出魚雷發射管內裝載240個月, 即20年無故障的這樣一個難以置信的結論, 這個指標是國內目前任何一個工業部門沒有達到的。其實, 上述推理假設產品服從指數分布和利用該分布的無記憶性都沒有問題, 問題在于魚雷產品的無故障時間能不能直接簡單合并。實際上, 這種直接合并的做法是有前提條件的, 并不是針對任意的產品都可以。以下將針對這一問題進行分析。

1 指數分布的無記憶性

綜合式(1)和式(2), 可以得到指數分布產品的剩余壽命

(3)

由此可見, 指數分布產品從某一個時刻開始, 仍舊符合指數分布。通過這一個性質, 可以將任意一個無故障的產品當作是另外一個產品的前面部分。依次類推, 就可以將無故障的個產品合并為一個產品, 這個結論可以從概率上得到證明。

上述推斷就是裝備評估計算時的試驗時間“合并”的依據, 但這種推理在實際上忽略了電子產品失效率的一般規律, 即通常所說的“浴盆曲線”。在不同的時間段, 其失效率是在不斷變化的, 而不是認為在所有的時間內都是常數。

2 產品的失效率規律

產品的失效率一般是隨著時間的變化而變化的。根據長期實踐的經驗, 一般在工程上認為大多數失效率函數的曲線都是呈現浴盆截面形狀, 如圖2所示, 稱之為“浴盆曲線”。此曲線左邊部分稱之為早期失效期。在此期間指出, 產品的失效率高, 隨著時間的推移, 表現出急速下降的形態。曲線當中平坦的部分稱為偶發失效期, 進入這個期間內, 產品的失效率已經趨于穩定。產品最右邊的部分是損耗失效期, 這個期間內, 產品由于使用日久而逐漸磨損, 失效率逐漸增加。一般在進入定型階段的裝備, 都認為是處于中間的偶發失效的階段, 其特點是失效率為常數, 失效分布為指數分布, 其可靠度與失效率有如下的關系

若產品分布適合指數分布, 根據無記憶性, 使得累計時間通常使用數量和每一個時間的乘積, 這種方法存在不足。浴盆曲線有一個時間處于早期/耗損失效, 如果無限使用數量與單個數量乘積的做法則忽略了浴盆曲線的早期/耗損失效。例如每一個產品擱置1個月, 合格, 如果有10 000個產品同時試驗, 顯然其時間不能是10 000個月, 即800多年。

2.1 原因分析

通過上面簡單的推論, 可以知道指數型壽命分布產品的無故障使用時間是不能夠簡單疊加的, 至少是不能夠無限疊加, 它有一個上限。其實, 僅僅在圖2中的區間之內, 產品的規律才是符合失效率為一個常數的, 此時式(4)才成立。超過了這個區間, 產品的失效率會在短時間內劇增, 并已處于早期失效和損耗失效階段。在這個階段, 如果再次加入新的產品, 其無故障使用時間不但不會增加, 反而會不斷地減少, 這也可以從概率上得到證明。

2.2 無故障產品壽命置信下限計算

通過分析與計算可知, 對于無故障產品的壽命而言, 即使是服從指數分布, 直接合并還是需要慎重。目前, 對于無故障數據分析研究受到了工程界和統計學者的廣泛重視, 取得了不少進展, 陳家鼎[9]等關于無失效數據情形下置信限的討論是其中的代表性成果。針對具體的指數分布, 其計算如下。

即

(8)

(10)

上述計算是在工程上的應用, 實際上就是基于總工作時間不大于耗損失效時間的, 即

一旦不滿足式(11), 對于平均壽命和可靠度的計算方式有待商榷。若不滿足式(11), 不妨假設, 由此可以等效的認為, 在時間內的產品符合失效率相同的分布, 而超出部分時間產品的失效率記作, 通過浴盆曲線可知, 隨著增加,也顯著增加, 即。由此式(7)轉化為

(12)

即

解上述方程, 可得

(14)

2.3 無故障產品壽命置信下限分析

因此, 當累計試驗時間超過了浴盆曲線偶發試驗時間界限(即時刻)時, 增加樣品數量雖然不能簡單的進行“試驗時間合并”, 但是累計試驗時間長的試驗所證明的產品平均壽命相對長一些。對于超過了偶發試驗時間界限之后的時間, 可研究其等效于偶發失效的時間, 從而繼續利用式(10)進行計算。

2.4 計算實例

在《魚雷通用規范》(GJB531B-2012)中, 對于魚雷裝載可靠度試驗樣品數目規定不少于6條, 具體數目可由承制方與定購方根據考核要求確定。因此可假設6條魚雷產品同時進行裝載可靠度試驗, 試驗采取定時截尾方式, 時間為6個月, 均未出現故障。并且為了計算方便, 假設魚雷產品裝載18月后, 其失效率將明顯變化, 變化規律為在基準失效率的基礎上呈指數增加, 底數為2。

由此, 可以得到在實際試驗過程中, 實際的試驗時間存在一個等效因子, 折算之后, 可以繼續進行時間的簡單合并, 其具體的等效性因子

(16)

由圖3可知, 當試驗總時間超過了偶發失效的時間界限之后, 相應的試驗時間需要經過折算, 方可繼續進行計算。例如, 累計超過時間界限約236個月, 折算后的時間僅為60個月。為了更加直觀的理解試驗時間的等效關系, 在無故障和每一個樣本試驗時間為6個月的前提條件下, 試驗樣本量的等效關系計算如圖4所示。

由圖4可知, 在不同的階段, 等效試驗樣本量增多, 需要的實際樣本量急劇增加。為了得到最佳的等效性效果, 其實際的樣本量大約在5~10 之間, 這也與《魚雷通用規范》(GJB531B-2012)規定的樣本量不小于6條是符合的。

3 結束語

通過對產品失效率浴盆曲線的分析, 解釋了目前裝載可靠度驗證試驗數據計算中存在一個誤區, 并且證明了隨著產品數量的增加, 其計算結果就越失真。該方法雖然給出了平均壽命計算的修正公式, 但是在總試驗時間大于(偶發失效和損耗失效的間隔時間)條件下, 所得到的置信最優置信下限存在依賴于產品的耗損失效率曲線, 在工程上計算不方便。不同產品的損耗失效曲線并不相同, 究竟樣本量為多少才是最優, 樣本量與可靠度的關系等問題還有待于后續進一步研究。

[1] 韓明. 無失效數據可靠性進展[J]. 數學進展, 2002, 31(1): 7-19.Han Ming. The Advances of Reliability for Zero-Failure Data[J]. Advances Mathematics, 2002, 31(1): 7-19.

[2] Sun W, Chen J. Some New Results on the Confidence Limits for Reliability Parameters in the Case of No Failures[J]. Systems Science and Mathmatical Sciences, 1999, 12(1): 70-81.

[3] 趙海兵, 程依明. 指數分布場合下無失效數據的統計分析[J]. 應用統計概率, 2004, 20(1): 59-65.Zhao Hai-bing, Cheng Yi-ming. Staistical Analysis about Zero-failure Data Using Memoryless Property of Exponential Distribution[J]. Journal of Applied Probalibility and Statistics, 2004, 20(1): 59-65.

[4] 郭念國, 徐昕, 焦萬堂. 指數分布場合下無失效數據分析[J]. 鄭州輕工業學院學報(自然科學版), 2008, 23(5): 117-120.Guo Nian-guo, Xu Xin, Jiao Wan-tang. Staistical Analysis about Zero-failure Data with Exponential Distribution[J]. Journal of Zhengzhou University of Light Industry (Natural Science), 2008, 23(5): 117-120.

[5] 郇正良. 指數分布下無失效數據的統計分析[J]. 山東農業大學學報(自然科學版), 2001, 23(1): 363-367.Xun Zheng-liang. The Staistical Analysis of Zero-failure Data of Exponential Distribution[J]. Journal of Shandong Agricultural University(Natural Science), 2001, 23(1): 363-367.

[6] 任海平, 李中恢. 指數分布的無失效數據的Bayes統計分析[J]. 井岡山學院學報, 2007, 28(12): 60-70.Ren Hai-ping, Li Zhong-hui. Bayes Staistical Analysis for Zero-Failure Data of Exponential Distribution[J]. Journal of Jinggangshan University(Natural Science), 2007, 28(12): 60-70.

[7] 劉永峰, 鄭海鷹. 無失效數據的統計分析[J]. 浙江大學學報(理學版), 2012, 39(3): 273-277.Liu Yong-feng, Zheng Hai-ying. Statistical Analysis about Zero-failure Data[J]. Journal of Zhejiang University (Science Edition), 2012, 39(3): 273-277.

[8] Chen Jia-ding, Sun Wan-long, Li Bu-xi. The Confidence Limits for Reliability Parameters in the Case of No Failure Data[J]. Proceoaing of the Asian Conference on Sta. Com, 1993, 17-20.

[9] 陳家鼎, 孫萬龍, 李補喜. 關于無失效數據情形下的置信限[J]. 應用數學學報, 1995, 18(1): 90-100.Chen Jia-ding, Sun Wan-long, Li Bu-xi. On the Confidence Limits in the Case of No Failure Data[J]. Acta Ma- thematicae Applicatae Sinica, 1995, 18(1): 90-100.

[10] 焦志剛, 岳明凱. 彈藥可靠性工程[M]. 北京: 國防工業出版社, 2013.

[11] 劉春和, 陸組建, 劉雷鋒. 裝備可靠性評定方法[M]. 北京: 宇航出版社, 2009.

[12] 趙宇. 可靠性數據分析[M]. 北京: 國防工業出版社, 2014.

(責任編輯: 許 妍)

Evaluation Method of Failure Free Test Data for Exponential Life Distribution Products

FU Zhao-hui

(Kunming Shipborne Equipment Research and Test Center,Kunming 650051, China)

The reliability test of weapon loading often produces failure free test data. By making use of the memoryless of exponential distribution, it is generally considered that the failure free test time ofsame-type products is equal to the total test time ofproducts for one product to work without failure. In engineering applications, however, this method has limitation. This paper explains the reason why this method cannot be fully used for calculation by making use of the bathtub curve, that is, there is a mistake when the total load time is up to the failure condition. To solve this problem, a modified method for calculating the reliability of loading is proposed, and the lower confidence bound is given. The feasibility of the proposed method is verified by an example.

weapon; loadingreliability test; exponential distribution; life; failure free; lower confidence bound; evaluation

10.11993/j.issn.1673-1948.2017.01.011

TJ630.1; TB114.37

A

1673-1948(2017)01-0054-05

2016-10-20;

2016-12-22.

付朝暉(1983-), 男, 碩士, 工程師, 主要研究方向為試驗數據分析處理技術.