小型四旋翼飛行器的滑模控制

王辰璐，陳增強，孫明瑋

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小型四旋翼飛行器的滑模控制

王辰璐1, 2，陳增強1, 2，孫明瑋1, 2

(1. 南開大學計算機與控制工程學院，天津，300350；2. 天津市智能機器人技術重點實驗室，天津，300350)

針對1種六自由度四旋翼模型，設計滑模控制器來提高控制系統的魯棒性。首先將四旋翼模型劃分為全驅動和欠驅動2部分，全驅動子系統由高度和偏航角2個獨立回路組成，而欠驅動子系統則包含4個被控量和2個控制量。然后針對全驅動系統的2個回路設計了基于反步法(Backstepping)的滑模控制，并進一步推導出有限時間終端滑模控制器。將欠驅動子系統寫成一種級聯標準型，并給出一種欠驅動級聯形式的滑模控制器。采用Lyapunov穩定性理論證明所設計的滑模控制系統的穩定性。研究結果表明：所提出的四旋翼控制器是有效的，它不僅具有良好的魯棒性和快速跟蹤動態性能，而且能夠有效地抑制抖振現象。

四旋翼飛行器；欠驅動系統；滑模控制；終端滑模控制；反步法

四旋翼飛行器具有機動性強、控制靈活的特點，可以實現垂直起降、定點懸停等飛行姿態，因而被廣泛應用于勘測、航拍、監控、偵查等活動中，近年來已經成為軍事、民用領域的研究熱點。六自由度的小型四旋翼飛行器模型具有典型的非線性、強耦合性和欠驅動特性，又極易受到模型本身不確定性和外界空氣動力的干擾，因而在控制上存在一定難度[1]。四旋翼飛行器常見的控制方法有Backstepping反步法[2]、自適應控制[3]、滑模控制[4]等，近幾年，一些新穎的控制方法如自抗擾控制[5]、模糊控制[6]、魯棒預測控制[7]等也成功應用到四旋翼的控制中。其中滑模控制因其具有魯棒性強的特點，成為四旋翼控制的研究熱點之一。DIKMEN等[8]設計了應用于姿態控制的滑模控制器；XU等[9]所設計的滑模控制器同時完成了姿態控制和位置控制；LEE等[10]提出了一種自適應控制與滑模控制相結合的控制方法，通過自適應修正不確定性的估計值，減小了滑模控制器的增益，使滑模控制更適用于電量有限的微小型四旋翼；王俊生[11]將滑模控制實際應用于基于OS4四旋翼平臺的飛行實驗中，并取得了較好的控制效果。在此，本文作者采用滑模控制與Backstepping相結合的方法，得到的控制器結構簡單，魯棒性強，對于具有強擾動和不確定性的四旋翼飛行系統具有很好的控制效果。在滑模控制的基礎上，還將設計有限時間終端滑模控制器，并對兩者的控制效果進行比較。

1 四旋翼飛行器非線性模型

四旋翼的原始動力學模型非常復雜[12]，在合理忽略摩擦阻力和陀螺效應的情況下，得到四旋翼飛行器的簡化模型[9]：

其中：(，，)表示飛行器的位置；，和為飛行器的姿態參數，分別為滾轉角、俯仰角和偏航角；K為阻力系數；I為每個軸的轉動慣量；U為4個控制量；為飛行器的質量；為重力加速度；為飛行器的半徑長。

四旋翼飛行器系統有6個自由度(，，，，，)和4個控制量(1，2，3，4)，獨立控制變量的個數小于自由度的個數，因此，四旋翼飛行器是一個典型的欠驅動系統。

2 控制器的設計

2.1 分析處理飛行器模型

在設計控制器前，先對四旋翼飛行器的模型進行分析和處理。將模型(1)劃分為2部分：子系統(2)有2個控制量(1，4)和2個被控量(，)，因此，是全驅動系統；子系統(3)有2個控制量(2，3)和4個被控量(，，，)，因此，是欠驅動系統。

(3)

2.2 全驅動子系統的滑模控制器設計

全驅動子系統由高度和偏航角2個獨立通道組成，因此可以分別設計控制器。以高度通道為例，設計基于Backstepping的滑模控制器。

Backstepping的核心思想是設計1個虛擬控制量，以此為中間量，利用Lyapunov穩定理論反推真正的控制量。對于二階系統，用Backstepping法設計滑模控制器分為2步。

第1步，定義誤差變量：

則

(5)

假設虛擬控制量為

其中：1為正常數。

(8)

多余項12使得系統無法滿足Lyapunov穩定定理，故在第2步設計中，需要在真正的控制量1中加入1項，以消除12。

第2步，選擇滑動平面：

(11)

定義整個控制系統的Lyapunov函數:

(13)

采用指數型滑模趨近律[13]：

故式(11)和(14)聯立可以求得

為了消除第1步中引入的12項，在中加入1項，得

(16)

驗證Lyapunov穩定性:

故系統滿足Lyapunov穩定性定理，控制器設計完成。同理可以得到偏航角通道的控制器：

(18)

2.3 全驅動子系統的終端滑模控制器設計

2.2節所設計的滑模控制器采用線性滑模面，系統為指數型收斂，在時間趨于無窮的情況下無限趨近于滑模面。終端滑模控制是一種有限時間控制，即系統能在有限的時間內收斂到滑模面，具有更好的收斂性能和魯棒性[11]。

首先引入有限時間Lyapunov穩定判據[14]。

1)為正定函數；

2) 存在正實數＞0和∈(0，1)，以及1個包含原點的開鄰域，使得下列條件成立：

則系統為有限時間穩定的。

可以利用有限時間Lyapunov穩定判據，在滑模控制器的基礎上，設計四旋翼全驅動子系統的終端滑模控制器。

仍然以高度控制為例，選擇非線性滑模面[14]：

其中：為正常數；和為正奇數，且2＞＞。

(20)

根據滑模控制原理得

其中：，和均為正實數。

根據有限時間系統的Lyapunov穩定判據，系統有限時間穩定。

2.4 欠驅動子系統的滑模控制器設計

欠驅動系統形式多種多樣，控制器的設計方法也不盡相同。首先給出欠驅動模型的一類標準形式，即欠驅動級聯系統[15]：

其中：1和2為擾動項；為控制量；1是關于1，2，3的函數，且滿足，可逆且有界。

將式(3)所示的四旋翼飛行器欠驅動子系統改寫欠驅動級聯形式：

，

在考慮不確定性和外加干擾的情況下，用1和2表示模型本身不確定性和外部擾動的總和，1和2為有界擾動，且滿足。此時控制律為等效控制和切換控制之和，，利用Lyapunov穩定性理論求得切換控制。

令

(27)

將式(26)代入式(27)得

根據Lyapunov穩定定理，系統穩定。

(29)

其中：

2.5 抖振的抑制

滑模控制是一種需要頻繁切換控制狀態的控制方法，系統在到達滑模面后，將沿滑模面運動，但由于切換函數在實際控制中的滯后性，系統會在滑模面附近很小的范圍內做高頻振蕩即抖振[13]。抖振現象會給控制系統帶來不穩定，破壞系統性能，在理論上無法完全消除，但可以采取一定的措施來抑制。

本文采用一種高增益連續函數()替代上述控制器中的符號函數sgn()，可以在一定程度上抑制抖振：

其中：為很小的正常數。

3 仿真研究

本文通過Matlab仿真來驗證所設計控制器的實效性。

四旋翼飛行器的參數設置為：1=2=3=0.010，4=5=6=0.012，1=2=1.25，3=2.5，=2 kg，=0.2 m，=9.8 m/s2。

首先對全驅動子系統進行普通滑模控制和終端滑模控制的對比仿真研究。經過調試，普通滑模控制器參數選擇為：1=1，1=0.5，1=2，4=1.5，4=0.7，4=2，終端滑模控制器參數選擇為：1=7，1=3，1=5，1=0.5，4=7，4=3，4=5，4=0.4，=1。

采用普通滑模控制器和終端滑模控制器時，飛行器高度和偏航角的變化曲線見圖1。由圖1可知：對于四旋翼飛行器的控制問題，普通滑模控制器可以在較短的時間內使飛行器穩定到期望位置和姿態，且無超調，可以滿足控制要求；終端滑模控制在控制器設計和參數調試上更復雜，但收斂速度更快，比普通滑模控制器的控制效果更好。

然后對飛行器系統進行飛行仿真。全驅動子系統采用普通滑模控制，欠驅動子系統采用級聯形式的滑模控制。經過多次調試，確定控制器的參數如下：1=0.5，1=0.5，1=5，4=1，4=2，4=5，1=40，2=60，3=25，=10。

要求飛行器從坐標(1，1，2)處運動到(3，3，5)處，偏航角到達給定值d=45°，并保持俯仰角和滾轉角平穩收斂到0°，即飛行姿態平穩。

仿真結果如圖2和圖3所示。由圖2和圖3可知飛行器的位置和姿態角均在9 s內收斂到給定值。

由于第2.4節設計欠驅動系統控制器時取近似≈d，下面分析該近似值選取的合理性。分析圖3中偏航角的變化曲線可知：偏航角通道的響應速度很快，在2 s左右達到40°，即給定值的89%，又由于偏航角在控制器求解中以正余弦三角函數的形式出現，僅作為系數存在，故該近似值的選取對控制器的影響很小，對控制效果的影響也可以忽略不計。

分析位置和姿態的仿真曲線可知：飛行器在較短的時間內到達期望位置并懸停在該位置，俯仰角和滾轉角變化在很小的范圍內，說明飛行器飛行姿態平穩，故該滑模控制器對四旋翼飛行器的控制是有效的。

(a) 高度的變化曲線；(b) 偏航角的變化曲線

(a) x的變化曲線；(b) y的變化曲線；(c) z的變化曲線

(a) 俯仰角的變化曲線；(b) 滾轉角的變化曲線；(c) 偏航角的變化曲線

4 結論

1) 針對六自由度四旋翼飛行器這一典型的欠驅動非線性系統，設計滑模控制器。首先將四旋翼模型分成全驅動和欠驅動系統2部分，然后這對這2部分分別設計滑模控制器。對全驅動部分設計基于Backstepping的滑模控制和有限時間終端滑模控制2種控制器，對欠驅動部分設計了級聯形式的滑模控制。利用Lyapunov穩定理論證明了控制系統的穩定性。最后通過數值仿真對所設計的整體控制方案進行驗證，證明該控制方案達到了滿意的動態控制性能，并能有效地抑制抖振的發生。

2) 對全驅動部分的普通滑模控制器和終端滑模控制器的進行了仿真比較，終端滑模控制器不僅收斂速度快，而且控制效果更好。

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(編輯 楊幼平)

Sliding mode control of a quadrotor helicopter

WANG Chenlu1, 2, CHEN Zengqiang1, 2, SUN Mingwei1, 2

(1. College of Computer and Control Engineering, Nankai University, Tianjin 300350, China;2. Tianjin Key Laboratory of Intelligent Robotics, Tianjin 300350, China)

A sliding mode control scheme was proposed for a 6 degree of free quadrotor model to improve the robustness of the quadrotor control system. Firstly, the quadrotor model was divided into two parts which included a fully-actuated subsystem and an under-actuated subsystem. The fully-actuated subsystem was composed of two independent loops with altitude and yaw angle, while the under-actuated subsystem had four state variables and two control variables. Secondly, a backstepping based on sliding mode controller and furthermore a finite time terminal sliding mode controller were proposed to the fully-actuated subsystem, and then a cascade sliding mode controller was designed to control the under-actuated subsystem which was transformed into a cascade standard form. Thirdly, the stability of the designed control system was proved by using Lyapunov stability theorem. The results show that the proposed quadrotor control scheme is effective, it not only has good robustness and fast tracking dynamic performance, but also has the ability to restrain buffeting.

quadrotor; under-actuated system; sliding mode control; terminal sliding mode control; back stepping

TP272

A

1672?7207(2017)04?1006?06

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.04.021

2016?04?06；

2016?06?18

國家自然科學基金資助項目(61573199，61573197)；天津市自然科學基金資助項目(14JCYBJC18700)(Projects (61573199, 61573197) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (14JCYBJC18700) supported by the Natural Science Foundation of Tianjin City)

陳增強，博士，教授，博士生導師，從事復雜系統建模控制與仿真、飛行器制導優化與控制研究；E-mail：chenzq@nankai.edu.cn