一類二階泛函微分方程初值問題解的收斂性

王培光，付芳芳，鮑俊艷

(河北大學 數學與信息科學學院，河北 保定 071002)

一類二階泛函微分方程初值問題解的收斂性

王培光，付芳芳，鮑俊艷

(河北大學 數學與信息科學學院，河北 保定 071002)

利用擬線性化方法，討論了Banach空間中一類二階泛函微分方程初值問題解的收斂性，獲得了解的平方收斂性結果.

Banach空間；泛函微分方程；擬線性化方法；平方收斂

在實Banach空間中討論如下一類二階泛函微分方程初值問題

(1)

這里φ∈C1=C([-r,0],E),f(t,xt,x′(t))∈C(J×C1×E,E),xt=x(t+τ),-r≤τ≤0.

擬線性化方法是研究各類微分方程解的收斂性的一種有力工具.與單調迭代方法相比較[1-2]，擬線性化方法可以得到解的平方收斂以及高階收斂結果.已有學者將擬線性化方法應用到一階與二階泛函微分方程的討論[3-5].本文在文獻[6]的基礎上，利用擬線性化方法對二階泛函微分方程解的收斂性問題做進一步討論.

1 預備知識

為方便后面的敘述和證明，首先給出如下概念和定義[7-9].

定義1若P是實Banach空間E中的非空凸閉集，并且滿足1)x∈P，λ≥0?λx∈P；2)x∈P，-x∈P?x=θ，θ表示E中的零元素，則稱P是E中的一個錐.

設P為實Banach空間E中的錐，則可在E中的元素間引入半序：任意x、y∈E，若y-x∈P，則x≤y.

定義2設{xn}單調遞增且有上界，即存在y∈E，使得x1≤x2≤…≤xn≤…≤y.若存在x*∈E，使得‖xn-x*‖→0(n→∞)，則稱錐P是正則的.

定義3設P是E中的正則錐，α(t)∈C*稱為方程 (1)的下解，當且僅當

成立.若β(t)∈C*使得上述不等式反向成立，則稱之為方程 (1)的上解.

引理1(Gronwall's不等式)假設u、α∈C[a,b]，非負函數β∈L1[a,b]，若

則

若進一步假設α(t)非減，則有

2 主要結果

設α0(t)、β0(t)∈C*使得在J上有α0(t)≤β0(t).定義集合

ω={(t,xt,x):α0(0)≤φ≤β0(0),α0(t)≤x(t)≤β0(t),t∈J}.

對于給定函數φ(t,xt,x)、ψ(t,xt,x)∈C1(ω,E)，使得φ(t,xt,x)≤ψ(t,xt,x).在(ω,E)上定義函數

其中Ω={(t,xt,x′)∶(t,xt,x)∈ω,φ(t,xt,x)≤x′≤ψ(t,xt,x)}.

考慮如下方程

(2)

有如下結果：

定理1設P為E中的正則錐，并且

H1)給定函數φ(t,xt,x)，ψ(t,xt,x)∈C1(ω,E)，滿足φ(0,x0,x(0))≤x′(0)≤ψ(0,x0,x(0)).

H2)φ(t,xt,x),ψ(t,xt,x)的一階Frechet導數存在，在ω上有

φt(t,xt,x)+φu(t,xt,x)φ(t,xt,x)+φv(t,xt,x)φ(t,xt,x)≤f(t,xt,x),

ψt(t,xt,x)+ψu(t,xt,x)ψ(t,xt,x)+ψv(t,xt,x)ψ(t,xt,x)≥f(t,xt,x).

證明設x(t)∈C*是方程 (2)的任一解，并且φ(0,x0,x(0))≤x′(0)≤ψ(0,x0,x(0)).下面用反證法證明φ(t,xt,x)≤x′(t)≤ψ(t,xt,x).假設存在一個t0∈[0,1]，使得x′(t0)>ψ(t0,xt0,x(t0)).定義函數

(3)

對式 (3)關于t求導，整理可得

x″(t)-ψt(t,xt,x)-ψu(t,xt,x)x′(t+τ)-ψv(t,xt,x)x′(t)+ψu(t,xt,x)x′(t)+

ψv(t,xt,x)x′(t)-ψu(t,xt,x)ψ(t,xt,x)-ψv(t,xt,x)ψ(t,xt,x)≤

ψv(t,xt,x)ψ(t,xt,x)≤x″(t)-f(t,xt,ψ(t,xt,t))=θ.

因此有v′(t)≤θ.從而當0≤t≤t0時，有v(t0)≤v(t).又由v(t0)=x′(t0)-ψ(t0,xt0,x)>θ， 則有v(t)>θ.根據式(3)中v(t)定義，有v(0)≤θ，與v(t)>θ式矛盾.因此,x′(t)≤ψ(t,xt,x).同理可證φ(t,xt,x)≤x′(t).

綜上可得φ(t,xt,x)≤x′(t)≤ψ(t,xt,x).定理證畢.

定理2設P為E中的正則錐，H3)成立，并且

H4)α0(t)、β0(t)∈C*分別為方程 (1)的下上解，并且α0(t)≤β0(t),t∈J.

H5)φ(t,γt,γ)≤γ′(t)≤ψ(t,γt,γ)，其中γ(t)=α0(t)或β0(t).對于α0(t)、β0(t)分別有

其中ψ(t,xt,x)關于xt、x是單調非增的.

H6)f(t,xt,x′)的一階Frechet導數滿足0

H7)f(t,xt,x′)的一階Frechet導數滿足Lipschitz條件，即存在常數Li,i=1,2,3,4 ，使得

|fu(t,xt,x′)-fu(t,yt,y′)|≤L1|xt-yt|+L2|x′-y′|，

|fv(t,xt,x′)-fv(t,yt,y′)|≤L3|xt-yt|+L4|x′-y′|.

則存在單調序列{αn(t)}、{βn(t)}一致且平方收斂于方程 (1)的解.

證明構造單調序列{αn(t)}、{βn(t)}如下:

下面用數學歸納法證明

α0≤α1…≤αn≤βn≤…≤β1≤β0，t∈J,

首先證明

(5)

由條件 H5)可得

即p″(t)≤θ，由此得到p(t)≤p(0)≤θ.

由條件H5)可得

綜上所述，可得到式 (5).假設對于自然數n,有

(6)

即p″(t)≤θ，由此得到p(t)≤p(0)=θ.

其中f(t,xt,x′)≤N,N>0是常數.故必存在與n無關的δ，使得只要|t2-t1|<δ，就有

下證單調序列{αn(t)}、{βn(t)}平方收斂于方程(1)的解.

令

(7)

令

(8)

定義函數

(9)

因此單調序列{αn(t)}、{βn(t)}平方收斂于方程 (1)的解.定理證畢.

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(責任編輯：王蘭英)

Convergenceforaclassofsecond-orderfunctionaldifferentialequationswithinitialcondition

WANGPeiguang,FUFangfang,BAOJunyan

(College of Mathematics and Information Science,Hebei University,Baoding 071002,China)

The quasilinearization method is applied to discuss the convergence of the solutions for a class of second-order functional differential equations with initial condition in Banach space.We obtain the solutions for quadratic convergence of the approximate solutions.

Banach space;functional differential equations;quasilinearization;quadratic convergence

O175

A

1000-1565(2017)05-0449-05

10.3969/j.issn.1000-1565.2017.05.001