淺析微積分應用的若干問題

華冬云

[摘 要] 在實際工程中，人們可結合實際情況使用微積分對各種實際問題進行解決，與此同時利用微積分也可對幾何學、力學等知識理論進行相應的展示，可以使其具有較強的清晰性，使學生更加容易對其進行充分了解與掌握。所以對微積分思想進行了解與掌握，并根據實際情況在各種問題中對微積分思想與知識進行靈活使用可較好地對問題進行充分解決。

[關 鍵 詞] 微積分；應用；分析

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）31-0120-01

一、工程中的微積分思想

在實際生活中對工程實際問題進行解決時，可將其相關流程無限小地分割成相應的區域，再將范圍無限小的區域進行科學分割被稱為微分。其中對各個無限多微元結果進行求和就是積分，這也是微積分的主要思想。另外，微積分主要是高等數學中對函數的積分、微分、相關理念與使用進行研究的一個數學分支。同時，其也是數學知識中的重要組成部分，主要內容通常包括積分知識、微分知識、極限與應用等。其中微分知識主要為求導數的計算，屬于變化率理念中的一種。其可使速度、函數、曲線等同時使用相同的符號進行分析與探討。積分主要包含積分計算，為面積、體積等供給統一的方法。在通常情況下，學生多可以對各種較為規整圖形的面積進行計算，但若要對曲邊梯形等面積進行計算，過程中則需要對微積分知識進行相應的使用。

例如：y=f（x）在其閉區間c，d中為非負連續，在直線x=c，x=b，y=0與曲線y=f（x）所組成的圖形就屬于曲邊梯形。在對其面積進行計算時，可結合實際情況在區間c，d中加入相應的分點，將區間c，d分成若干個區間，在y=f（x）連續性的作用下，致使其函數值在各小區間中的變化情況相對較小，A≈■y=f（xi）■，也就是曲邊梯形面積的相似值，在其接近無窮大時，A=■■y=f（xi）■就為曲邊梯形面積的準確數值。在這種情況下，對分積分思想與方法進行使用可以較好地對曲面梯形面積計算問題進行解決。

二、微積分知識解題的主要流程

人們在使用微積分方法對相關的工程問題進行解決時主要流程分別為：首先，結合實際工程為制定合理的坐標系，對積分微元進行明確，同時在微分區域中利用近似值對準確值進行替換。其次，對所有微元值進行累計求和，對微積分的上限與下限進行確定。最后，結合實際問題對合理的積分方法進行使用，并對原函數值進行計算，真正對實際問題進行解決。

例如，一個盛滿水的瓶子，其縱截面如圖所示，是拋物線y=ax2（a>0），在其斜角α為何值時，瓶中的水正好倒掉■。

解析：首先，結合問題對瓶裝豎立滿水時的體積用相應的積分進行表示，其結果為V=■，其次，設瓶子傾斜角度為α時瓶子剛好倒掉一般的水，以此為基礎制訂相應的坐標系，其中這時瓶子的對稱成為y軸，與瓶子對稱軸層垂直狀態的射線為x軸，之后再將平面坐標系轉換為正常的立體圖形，這時瓶中水橫截面圖為拋物線與瓶中水面之間的公共范圍，應注意的是這時水面所處的直線與x軸之間的傾角正好為問題中所需要解答的傾斜角α，（如圖所示，傾斜后瓶中水平面與x軸成平成狀態，所以水面與瓶子的對稱夾角應為90°-α，也就是在對新坐標系中，瓶中水面所屬的直線與y軸夾角的度數也為90°-α，因此其與x軸夾角為α），這時結合實際問題設其直線方式為y=tanαx+b設直線與拋物線交點分別為A（x0，y0），B（sqrt（■），h），其中A在左側，B在右側，B點縱坐標與瓶子的高度（h）相同，這時通過B點的坐標對直線截距b進行計算，再將直線與拋物線方程進行聯立，就可對A點的坐標進行明確。最后，對當前瓶子中水的體積進行計算，同時可根據實際情況將圖進行兩部分分割，第一部分為直線y=y0，與拋物線相交的部位。第二部分為y=y0，直線y=tanαx+b與拋物線y=ax2（a>0）相交的部分，第一部分體積經過計算為V1=■π（x2）dy=■■（該積分上限為0，下限為y0），第二部分體積為V2=■（sqrt（■）-■/2）2dy（該積分上限為y0，下限為h），所以在根據V1+V2=V/2=■=■■+■（sqrt（■）-■/2）2dy，進而求得α的值。

通過這一例題，我們可以較為明顯地發現，在學生對微積分知識進行充分掌握的同時，還應對其主要流程進行了解，這樣可以更好地促使學生的解題能力提升。

綜上所述，使用微積分對實際問題解決重點是進行相應的分析，結合實際問題對微元進行科學的選擇、制訂相應的微分、明確問題主要目標、確定問題初始條件等，這樣可以更好地提高學生對實際問題的解決質量與速度，為學生的發展奠定堅實基礎。

參考文獻：

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[2]張穎，孫旭春.高職微積分概念教學方法淺析[J].職業教育研究，2013（9）：112-114.