歸納法在高中數學解題中的運用

蔣正洋

(江蘇省揚州市樹人中學高二(二)班,江蘇 揚州 225000)

歸納法在高中數學解題中的運用

蔣正洋

(江蘇省揚州市樹人中學高二(二)班,江蘇 揚州 225000)

在高中數學解題當中，歸納法是其中常用的解題方法之一，尤其是針對一類問題以及規律問題的解答當中，更是重要的解題途徑.該類解題方法要求高中學生在日常學習的過程中，首先對例題深入分析，之后對解題思路進行歸納、總結，以便在今后的解題當中能夠熟練使用.

高中數學；歸納法；等式問題；不等式問題；高中幾何

一、歸納法在高中等式問題當中的運用

對于高中學生而言，其在知識的學習、理解以及運用方面均存在一定程度的差異，因此其在解題思維方面也將會不盡相同.在面對高中數學問題時，部分高中學生由于數學思維的欠缺，導致其在審題的過程中，常常會因漏掉已知條件而使得問題無法解決.在現今的高中數學知識學習當中，部分已知條件并不會在題目當中直接給出，而是隱含在給定的條件之內.當高中學生沒有將知識融會貫通時，則有可能出現問題.在高中數學當中，等式問題是常見的問題之一，也是運用歸納法進行解決的典型問題之一.

“牛吃草”問題是高中學生解題的過程中常遇到的難題之一，其主要難點在于牛在吃草的同時，草也在不斷的生長.消耗量與生長量之間的關系，是討論該類問題的關鍵所在.例如，設y是一片草原當中草的生長總量，N表示在該片草地當中放牧的牛的總數，x表示草地在自然狀態下的生長速度，T是牛吃草的總時間，則可得出y=(N-X)T這樣的公式.類似的問題如在一片河流當中，其河道當中沉積著一定量的砂子.當80個人晝夜不斷的開采砂子時，可開采180天；當60個人晝夜不斷的開采砂子時，可開采300天.如若保證河道中的砂子不被開挖枯竭，則可有多少人晝夜不斷的開挖？在對該類問題進行解答時，可將每個人的開挖速度設為X，則可以根據砂子的總量不變這一原則，得出(80-X)×180=(60-x)×300，最終得出X=30.

二、歸納法在高中不等式問題當中的運用

不等式的高中數學當中常見的問題之一，也是高中學生學習、解題的難點所在.因此，高中學生在數學知識的學習時，應首先根據自身的實際特點，尋找適合自身的數學知識學習方法，并以此方法為基礎，提高對數學新知識的學習程度，將知識融入到自己的數學體系當中，對知識當中的內在聯系進行發現、總結.對于簡單的一元高次不等式而言，其主要的解題方法為區間法(或稱根軸法)，其具體解題步驟包括以下幾個：其一，去掉f(x)的最高次項的系數的負號；其二，將f(x)因式分解；其三，設每個括號的因式為0，將解標注到數軸之上；其四，根據題目要求，寫出不等式的解集.而在對分式不等式進行解題的過程中，應將已知問題整理成 “>0”或 “≥0”的形式，轉化為整式不等式求解，

例如，用數學歸納法證明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·2…(2n-1) (n∈N)，從“k到k+1”，左端需乘的代數式為____.

A.2k-1B.2k-1 C.2kD.2k+1在對該類問題進行解答時，應將原式轉化為(2k+1-1)-(2k-1)=2k，因此其正確答案應選C.

三、歸納法在高中幾何問題當中的運用

所謂的歸納推理，其實質以現有的事物為基礎，對其中包含的規律進行總結，進而在遇到其他類似的問題時，可將該類規律運用到新問題的解答當中.而歸納推理的步驟主要包括以下幾個：其一，對現有的事物進行仔細的研究；其二，根據現有的事物總結出具有一般性的規律.在高中數學幾何問題學習的過程中，類比推理也是常用的方法之一，其實質根據兩類不同事物之間具有某些類似性，推出其中一類事物具有另一類事物類似的性質的推理，其主要步驟包括：其一，對不同的已知問題進行研究，找出其中相同或者相似之處；其二，根據相似之處總結規律，運用到其他問題的解答當中.在幾何問題當中運用歸納法時，其所解決的問題主要包括幾何問題中各個量的計算以及幾何問題的證明.然而，歸納法的運用并不意味著以往解題思路、數學知識的幾點套用，而是應根據新、舊知識對問題進行揣摩，并做好知識的遷移.

例如，有n個圓，相鄰的兩個圓之間均有交點，并且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成f(n)=n2-n+2個部分.

證明：①當n=1時，即一個圓把平面分成二個部分f(1)=2；又n=1時，n2-n+2=2，∴命題成立.

②假設n=k時，命題成立，即k個圓把平面分成f(k)=k2-k+2個部分，那么設第k+1個圓記⊙O，由題意，它與k個圓中每個圓交于兩點，于是它與其它k個圓相交于2k個點.把⊙O分成2k條弧而每條弧把原區域分成2塊，因此這平面的總區域增加2k塊，即f(k+1)=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2即n=k+1時命題成立.由①②可知對任何n∈N命題均成立.

在高中數學知識的學習過程中，學生只有根據已經掌握的數學知識以及典型的例題，對其進行深入的研究分析，明確解題思路，總結解題方法，歸納出一套行之有效的學習方法，進而能夠提升數學的學習效果.

[1]鄒毅,楊發建.運用歸納法和演繹法施教的比較研究[J].江西教育科研，2004(11).

[2]余昌木.數學歸納法應用舉例[J].高中生之友，2005(21).

G632

A

1008-0333(2017)22-0043-02

2017-06-01

蔣正洋(2000.10.16-),江蘇省興化,在校學生.

責任編輯：楊惠民]