整體定位，分段把握

黃和悅

[摘 要] 本文結合“視圖”這一案例闡述中小學數學教學應如何整體定位，給出相應針對性教學策略，從而使中小學教師在各部分知識的教學活動更具針對性、有效性.

[關鍵詞] 視圖；整體定位；分段把握；教學銜接；數學教學

中小學數學教學銜接問題是數學教學改革中常被提起的一個話題，然而各學段數學教學之間存在著一種嚴重脫節的現象，這種被忽略的割裂狀態，致使很多學生進入新的學段之后不能適應，成績明顯下降. 新課程注重數學課程內容的銜接，這就要求教師教學必須以數學課程標準為基礎，整體定位數學教育，分段把握數學教學. 其中整體定位強調數學課程在學生發展中的整體性，是從理念的視角提出的，強調數學課程在不同學段育人功能的共性；而分段把握則強調數學課程標準在教師實施中的可操作性，是從實踐的視角提出的，強調數學教學在不同學段的差異性. 而只有把握了這些共性和差異性，才有利于各學段之間教學和學習的銜接. 筆者以“三視圖”這一知識為例來談談在教學中應如何整體把握，從而實現更加有效的教學.

空間觀念是學生在生活中、學習中得到數學素養發展所必需的重要內容. 空間觀念是創新精神所需的基本要素，它是讓學生進行豐富想象和創造思維的探究過程，是通過直觀思考、二維和三維空間之間轉換的過程. 空間觀念最基本的要求是讓學生能夠從實物想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物，能實現幾何體與三視圖的互相轉化. 幾何中的三視圖是工程制圖、機械制圖等的基礎. 三視圖要求學生從三個不同方向觀察同一個幾何體，再畫出平面圖形：主視圖（正視圖）、俯視圖、左視圖（側視圖）. 人的視線正對著物體看過去，將所看到物體的輪廓用正投影方法畫出來，這個圖形就是視圖. 事實上，幾何體與三視圖之間的相互轉化就是進行思考的過程，也是實際操作的過程，這就是課程標準提到的“能根據視圖條件作出立體模型或畫出圖形”. 總之視圖內容在基礎教育的不同學段中的設計與實施，是螺旋式上升、逐步深入、循序漸進的，是從整體到局部的認識過程，是符合學生的認知規律，使學生的空間觀念從直觀感知到理性思維的過程.

空間觀念是抽象的，它需要借助各種數學教材、活動中的內容、題材等背景來呈現. 在三視圖的教學中為了培養和發展學生的空間觀念，新課程、新教材中不僅在三視圖的要求上增加了一些新的標準，而且在課程內容上做了相應的安排，加強了與培養空間觀念有關的內容，提出了一些新的具體目標.

值得指出的是，在過去的數學教學中，視圖這方面的知識內容往往是被忽視的，有些教師甚至是直接讓學生自學或是幾節課并成一節課來完成，很不重視這部分內容的教學. 其一是形如這樣的內容它不那么系統，不好用定義、定理、公式、命題、性質等形式來進行教學；其二是它不那么好教，在這里很嚴密的邏輯也很難用“灌輸”的方法來教學；其三是因為這樣的內容不那么好考，它一定需要學生經歷動手實踐到理性思維的探究過程，這就需要學生通過觀察、思考、交流、模擬、嘗試等環節，甚至還要爭論、辯論，要在生活環境中體驗、實驗，這也是許多命題者感到困惑的地方，不好在試題上來體現這些內容、方法，所以許多學生也認為這方面內容簡單好考，就不太重視了.

教材中對三視圖的內容采取了螺旋式上升的方式進行編排，筆者在本文的小學階段和初中階段分別以人教版和北師大版義務教育課程標準實驗教科書為例.

1. 觀察物體（一）（二年級上冊）

教材分析：這里是學生第一次接觸觀察物體的內容，對于位置關系的“相對性”問題還不是很熟悉，特別是左、右的相對性更是學生學習中的難點. 為了避免上述問題成為學生觀察物體的障礙，教材在編排中暫不介紹“前面、后面、左側面、右側面”等概念，只要學生能用連線、標序號等方式將觀察者與所看到的形狀圖對應起來即可. 所設計的例題和習題，應遵循兒童認知發展規律，從直觀觀察經驗的運用到間接觀察經驗的提取，逐步提高對學生空間想象力的要求.

教學策略：教學中可以讓學生進行小組合作，一名學生拿出一件物品，另一名學生則從不同的方位進行觀察，并從不同方位進行拍照或簡單畫出來. 然后根據照片或圖畫，讓第一位同學判斷是從哪個方位拍的或畫的. 在現在的日常課堂教學中，教師完全可以利用手機在教室內現場拍攝同學們上課的照片，最好是圍繞著某一位同學，分別從東西南北各個方向拍攝. 而后，用數據線馬上連接教室中的電腦，在文件夾中的照片往往沒有明顯的順序標志，將這些照片拷貝到桌面，讓學生現場判斷哪張照片是在什么位置拍攝的，并說出判斷理由. 這種方案更富有現實性，能有效激發學生的課堂參與度. 其中，判斷哪張照片是在哪個位置拍攝的，其實就是在做空間推理，這是非常好的空間觀念的培養過程. 當然也可以讓學生用3～5個小正方體積木拼出一個自己喜歡的立體圖形，再從不同方位去看，將在不同方位看到的平面圖形與同學交流；還可以讓學生判斷當看到立體圖形的一個面是長方形，那么它可能是我們學過的什么立體圖形.

設計意圖 通過運用多種方式幫助學生建立清晰的圖形表象，由物到形，抽象出立體圖形到平面圖形的轉化過程，又經歷由形到物，則進行了從平面圖形到立體圖形的轉換. 這些方法為后續學習三視圖奠定了基礎.

2. 觀察物體（二）（四年級下冊）

教材分析：本單元知識是在第一學段學習了從不同角度觀察實物、幾何體的基礎上學習的. 主要內容有：從不同的方位辨認、觀察幾何組合體的形狀；從同一方位觀察不同的幾何組合體. 這些內容都是后續進一步學習的基礎，對于培養學生的空間想象力和推理能力有重要的作用.

教學策略：一般說來，低學段的學生要對空間圖形及其關系有深刻體驗，常常要通過與平時生活有關的實際情境來認識和理解與空間觀念有關的知識，進行觀察、動手操作是他們學習視圖相關內容的主要途徑. 在學習視圖中學生進行觀察、動手操作等活動，它不僅需要學生的視覺、聽覺、觸覺多種感官直觀思維，同時也需要學生的猜想、分析、推理等理性思維，從而很好地促進學生空間觀念的形成和發展. 所以在本單元教學中可進行以下環節開展小組合作課堂活動：（1）自由拼搭，讓不同學生用一樣的小正方體積木拼搭出各種不同的組合體；（2）互換畫圖，另外的同學根據前面拼搭的組合體畫出從前面、上面和左面看到的形狀，幫助學生建立從不同方位看到的物體形狀的表象；（3）情境拼搭，再讓其他同學根據前一位給出的從不同方位畫出的圖形，用小正方體積木把它拼搭出來，并和第一個同學拼搭的組合體進行對比修正.endprint

設計意圖 通過這種形式讓學生經歷從立體圖形到平面圖形和從平面圖形到立體圖形的轉化過程，能夠讓學生的空間觀念得到更加有效的培養和提升.

3. 觀察物體（三）（五年級下冊）

教材分析：這單元的知識是在前兩個學段經歷了從不同方向觀察實物和單個立體圖形以及幾何組合體學習的基礎上，學習根據從一個或多個方位觀察到的平面圖形拼搭出相應的組合體. 例如由給出的從一個方向看到的平面圖形，用給定數量的小正方體擺出相應的組合體，或由給出的從三個方向看到的平面圖形，用小正方體拼搭出相應組合體.

教學策略：教學中應引導學生自主活動與探究. 可出示問題1：請你用6個一樣的小正方體，拼搭出從正面看是如圖1的圖形. 讓學生拿出6個小正方體，根據自己的理解，用手中的6個小正方體先擺一擺，而后仔細觀察正面，驗證自己的擺法是否正確，最后和同桌及全班進行交流. 形成認識后，教師可以追問：如果增加1個同樣的小正方體，保證從正面看還是4個正方形，你還會擺嗎？這樣設計的意圖是通過學生的操作和交流，讓他們發現只看一個面擺小正方體的方法是多樣的，同時體會不同方法的內在聯系. 最后增加的追問，讓學生由依賴幾何直觀逐步過渡到空間想象. 通過參與這些活動培養學生觀察發現、聯系比較、分析推理、歸納概括的能力，獲得基本的數學活動經驗. 再出示問題2：如圖2分別給出從正面、左面、上面看到的圖形，你能用小正方體擺出原來的形狀嗎？

設計意圖 在學生動手拼擺、驗證交流的過程中，讓學生明確根據觀察到的三個面擺小正方體的方法是確定的，體會還原過程的多樣性，以及最后結果的確定性，注意引導學生由幾何直觀過渡到空間想象與分析推理.

4. 從三個方向看物體的形狀（七年級上冊）

教材分析：北師大版教材把“豐富的圖形世界”作為進入初中階段的起始章節，是學生在小學積累了一定的圖形與幾何方面的知識和經驗的基礎上，讓學生通過觀察、猜想、探究、思考、動手操作、合作交流等活動，更深入地從特征、關系等方面認識視圖，從而更好地發展學生的空間觀念. 其中“從三個方向看物體的形狀”通過讓學生從不同方向看幾何體，識別和畫出從不同方向觀察立方體及其簡單組合體所得到的形狀圖，力圖從視圖角度體會平面圖形和幾何體之間的轉化來發展空間觀念.

教學策略：教學中教師應慢慢讓學生從實物操作到無實物操作過渡，從而實現從對實物具體操作到對圖形抽象思考的學習方式的過渡.

可出示問題：圖3是由若干塊小正方體積木堆成的幾何體，分別從正面、左面、上面觀察這個幾何體，并畫出看到的圖形.

變式1：由幾個一樣的小立方塊搭成一個幾何體，從上面觀察它，看到的圖形如圖4，其中小正方形中的數字表示在該位置的小立方塊的個數. 請你畫出從正面、左面看到的這個幾何體的圖形.

變式2：由幾個一樣的小立方塊搭成一個幾何體，如圖5是從三個不同方向看到這一幾何體的視圖，你能根據它們算出小立方塊的數量嗎？

變式3：由幾個一樣的小立方塊搭成一個幾何體，如圖6分別是從它的正面、上面看到的形狀圖，問：這樣的幾何體是否只有一種？若不是，則搭建它最少需要多少塊小立方體？最多需要多少塊小立方體？并請你畫出小立方體最少與最多時從左面看到的圖形.

設計意圖 問題及變式1就是從正向角度但又擺脫了低學段具體情境和具體實物，讓學生經歷從直觀到抽象、從三維空間到二維平面的過程，提高學生的想象力. 而變式2及變式3則是從逆向角度來體驗從二維到三維的相互轉化關系，讓學生初步感受給定三個方向的視圖可以確定立體圖形，只給定兩個方向的視圖則立體圖形就不唯一. 通過這種逆向思維從不同的角度、不同的側面去理解視圖、把握視圖，讓學生逐步由小學的直觀階段向初中抽象階段轉化，這更是需要學生逐步進行演繹和論證的過程.

5. 視圖（九年級上冊）

教材分析：根據課標的要求，義務教育階段學習投影與視圖，投影是一個抽象的數學概念，視圖則是與平行投影有著密切聯系的概念. 在小學和七年級，學生經歷了從不同方向觀察物體的活動過程，能辨認從不同方向（前面、側面、上面）看到的物體的形狀圖，又學習了平行投影和正投影. 在此基礎上，從想象物體的正投影入手，引入視圖的概念，從學生的生活經驗出發，先讓學生由實物抽象出幾何體（這就不再像七年級學習視圖時只研究由小立方塊組成的幾何體一樣），會畫圓柱、圓錐、球、直棱柱及其簡單組合體的視圖，并會根據視圖描述簡單的幾何體，進一步研究二維與三維圖形的聯系與轉換，發展學生的空間觀念. 當然投影是視圖的基礎，而物體的視圖則是物體的一種特殊的平行投影，所以不論是由幾何體畫出視圖，還是由視圖想象出幾何體，都可以用投影原理進行思考，這也為高中學習空間幾何體的三視圖埋下了伏筆.

教學策略：培養空間觀念需要學生參與大量的實踐活動，以被動聽講為主要教學方式對形成和發展空間觀念是不利的，在教學過程中，應精心設計教學過程，組織學生開展操作與觀察、演示與想象、直觀與推理、分析與綜合、思考與交流等活動. 可設置如下問題：

問題1：如圖7是一個長方體，上下有一個穿透的圓柱形，畫出它的三視圖.

設計意圖 讓學生明確畫一個幾何體的三視圖要做到：①要讓自己的視線與觀察面垂直，這樣得到的圖形是該面的正投影；②畫圖時要用實線表示看得到部分的輪廓線，用虛線表示看不到部分的輪廓線，這與七年級學習的是不一樣的；③按三視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視圖.

問題2：兩個三棱柱的底面均為等邊三角形，它們的俯視圖分別如圖9所示，畫出它們的主視圖和左視圖.

設計意圖 讓學生在解決這些問題的過程中，更加理性與深刻地理解幾何體與其視圖之間的關系，從而使學生的空間觀念更加系統和科學. 如果學生直接畫視圖有困難，那么可以借助實物或模型來完成. 讓學生在思考與交流中明確俯視圖無法反映幾何體的高度，所以答案是不唯一的. 可建議學生先自己選定一個高度，然后據此畫出棱柱的主視圖和左視圖，再讓不同學生之間進行對比研究.

問題5：先想象一個幾何體并畫出它的三種視圖，然后請同伴根據你畫出的三種視圖描述出這個幾何體.

設計意圖 問題3～5分別讓學生由視圖辨認幾何體、根據三種視圖描述對應的幾何體、自己想象幾何體并畫出三視圖讓別人來描述幾何體，通過這些操作或想象活動，探討如何根據視圖描述簡單的幾何體，是一組有難度、有梯度的問題，可以深化學生對幾何體及其三種視圖的理解和認識.

總之，教材中像視圖這樣注重中小學銜接的課程內容是很多的，許多知識是根據學生的年齡特征、認知規律與學習特點，在整體編排、呈現形式、學習方法等方面遵循逐級遞進、螺旋上升的原則，對同一類型的知識前一學段出現是為后一學段繼續學習打基礎、做滲透，而后一學段再次出現則是對前面所學內容的深化與拓展. 所以從整體上定位相同知識的完備性是必要的，這是從宏觀角度來要求. 又需要老師分段來把握相同知識，做到不降低了也不超過了，這是從微觀角度來要求. 只有這樣才能讓我們的教學、練習、作業、命題、評價等更具針對性和有效性. 這種銜接其實不僅僅是知識的銜接，更重要的還有意識上和經驗上的銜接.endprint