探索an（a，n是正整數）末兩位數字通解的方法

金建平　胡明雷

[摘 要] 邏輯推理是初中競賽能力培養的重要素養，an的末一位或末兩位數字求法是初中數學競賽中常見的考試內容之一. 本文從底數是一位數、兩位數和多位數冪的末兩位數字的研究，探求an（a，n是正整數）末兩位數字的通解方法.

[關鍵詞] an；末兩位數字；通解

問題提出

近日，在競賽資料中看到：32016的末兩位數字為（ ）

參考答案 32016=91008=（10-1）1008=101008-1008×101007+…-1008×10+1=100×101006-1008×101005+…+-1080+1，所以32016的末兩位數字是21.

參考答案的解法是運用二項式定理求解，但初中階段沒學過二項式定理，且受底數和指數的限制，尤其是底數，能轉化為9和11的非常少見，能否找到一種通法解決an（a，n是正整數）的末兩位數字問題？

問題探索

1. 查閱資料，尋求答案

帶著疑問，筆者翻閱雜志、上網查閱，沒有查到如何解決an（a，n是正整數）末兩位數字問題. 僅有邵雄、何勇潮合寫的《淺談求自然數a的正整數冪an的末k位數的規律》[《教學與研究（中學數學）》]和樓健兒寫的《正整數冪an的末兩位數循環周期的確定》，但所用的知識均為高中知識，且方法較為復雜，不適宜初中生掌握.

2. 列舉探索，尋求規律

（1）以32016為例探索

筆者試著探究底數為個位數的an的末兩位數字的求法. 以底數3為例：31，32，33，34，35，36，37，38，39，310，311，312，313，314，315，316，317，318，319，320，321…的末兩位數字分別是03，09，27，81，43，29，

87，61，83，49，47，41，23，69，07，21，63，89，67，01，03，…，每20一循環，2016被20除余16，所以末兩位數字是21.

（2）探求an的末兩位數字的求法

類似于以上探索方法可得底數為個位數的其他數字的冪（an）的末兩位數字的循環規律：底數為2時，從22開始，每20個一循環；底數為8時，每20個一循環；底數為4，9時，每10個一循環；底數為6時，從62開始，每5個一循環；底數為7時，每4個一循環；底數為1時，末兩位數字均為01；底數為5時，從52開始，末兩位數字均為25. 由此可得底數為1～9的冪最多每20個一循環. 但底數為兩位數的冪與底數是一位數的冪（它們的底數個位相同）的末兩位數字并不完全一致，如221的末兩位數字是52；2221的末兩位數字是72……由此可見，直接運用末兩位數字的規律，雖然可以求出an（a，n是正整數）的末兩位數字，但循環節過多，而且特殊情況還需記憶，難度較大.

（3）再探an的末兩位數字的求法

容易知道個位數字為0，1，5，6，7的冪的末兩位數字的循環節最多只有5個，而任何末兩位數字為01～99的正整數的冪都可以轉化為末位數字為0，1，5，6的冪，具體對應如表1.

從表1可以看出：末兩位數字為01～99的正整數的四次冪的末兩位數字只有12種情況：01，00，16，21，25，36，41，

56，61，76，81，96.

（4）再次研究an的循環節個數

末兩位數字為01，00，16，21，25，36，

41，56，61，76，81，96的正整數的冪的末兩位數字的循環節為1個或5個，具體對應如表2.

（5）探求底數多于兩位數的an的末兩位數字

根據冪的特征，任何一個大于兩位數的正整數的冪的末兩位數字的情況與其個位和十位相同的兩位數的冪的末兩位數字相同.

（6）探求底數為任意位數的an的末兩位數

綜上所述，an（a，n是正整數）的末兩位數字均可以通過如下方法求得：若底數是一位數或兩位數的冪，則①根據冪運算的法則，把底數轉化（最多4次方）為末兩位數字為01，00，16，21，25，36，41，56，61，76，81，96的數；②末兩位數字為01，00，16，21，25，36，41，56，61，76，81，96的正整數的冪，其末兩位數字的循環節最多只有5個.

若某一整數是三位數及以上，則可根據規律轉化為兩位數. 根據規律和根據以上研究可知：我們可以較快地求出an（a，n是正整數）的末兩位數字.

舉例說明

1. 求5100的末兩位數字：因為5n（n≥2）的末兩位數字都是25，所以5100的末兩位數字是25.

2. 求92015的末兩位數字：因為92015=92014×9=811007×9，811007的末兩位數字的規律是81，61，41，21，01，81，…，每5個一循環，所以811007的末兩位數字是61，61×9=549，因此92015的末兩位數字是49.

3. 求42017的末兩位數字：因為42017=42016×4=161008×4，161008的末兩位數字的規律是16，56，96，36，76，16，…，每5個一循環，所以161008的末兩位數字是96，而96×4=384，因此42017的末兩位數字是84.

4. 求20152015的末兩位數字：因為20152015→20152014×2015→152014×15→2251007×15→251007×15，25n的末兩位數字都是25，25×15=375，所以20152015的末兩位數字是75.

5. 求19981999的末兩位數字：19981999=19981996×19983→981996×983=9604998×9604×98→4998×4×98=16499×392，16499的末兩位數字的規律是16，56，96，36，76，16，…，每5個一循環，所以16499的末兩位數字是36，36×92=3312，因此19981999的末兩位數字是12.

實際應用

1. 求（1+3）（1+32）（ 1+34）…（ 1+364）的末位數字.

解答？搖 （1+3）（1+32）（1+34）…（1+364）=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）…（364+1）=（3128-1），而3128=964=8132，8132的末兩位數字的規律是81，61，41，21，01，81，…，每5個一循環，所以8132的末兩位數字是61，所以3128-1的末兩位數字是60. 因此（3128-1）的末兩位數字是30或80，所以（1+3）·（1+32）（1+34）…（1+364）的末位數字是0.

（注：這是通法之一，其他方法如上文提到的用二項式定理、3n的末兩位數字，每20個一循環、高等數論中的同余也可以求. 而如能發現32+1=10，則馬上可以得到（1+3）（1+32）（1+34）…（1+364）的末位數字是0）

2. 求4（1+5）（1+52）（1+54）…（ 1+5512）的末三位數字.

解答？搖 4（1+5）（1+52）（1+54）…（1+5512）=（5-1）（5+1）（52+1）（54+1）…（5512+1）=51024-1，而5n（n≥3）的末三位數字的規律是125，625，125，625，…，所以51024-1，即4（1+5）（1+52）（1+54）…（1+5512）的末三位數字是624.endprint