教有“根”的數學
——“植樹問題”教學實踐與思考

文︳姚紅梅

教有“根”的數學
——“植樹問題”教學實踐與思考

文︳姚紅梅

《數學課程標準》指出：課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法。五年級上冊的“植樹問題”就是這樣一個與生活聯系緊密又蘊含數學思想方法的教學內容。筆者教學這個內容后，有了一些教學思考。

一、樂生疑

1.“快閃”游戲（比多少）

師：今天老師想和同學們玩個“快閃”游戲，蘋果和梨子數量比多少。兩種水果的畫面只出示1秒，1秒后閃退。你們能很快判斷出哪種水果多、哪種水果少嗎？（課件出示：蘋果和梨子無序擺放，整個大屏幕顯得滿滿的）在這種情況下，你們能一眼就準確地判斷出誰多誰少嗎？

生：不能。

師：行，咱們來往下看——

（課件出示：蘋果和梨子上下一一對應排列）

生：蘋果多1個。

師：為什么你們一下子就能判斷出來呢？

生：因為這里的蘋果和梨子一個對一個，一下子就能看出來蘋果比梨子多1個。

師：是的，像這樣1個蘋果對應1個梨子，它們就是一組，照這樣一組一組看過去，也就是依此類推，最后我們發現還剩1個蘋果沒有梨子和它相對應。所以我們就說：蘋果比梨子多1個。接下來請繼續觀察。（課件出示：蘋果和梨子環形一一對應排列）

生：一樣多。

師：為什么？

生：因為它們是1個蘋果、1個梨子這樣一一對應排列，我就把1個蘋果和1個梨子看做1組，依次數下去，正好數完了。所以蘋果和梨子同樣多。

生：我直接選1個蘋果作為開始，最后一個是梨子，就說明蘋果和梨子同樣多。

2.談話生疑

師：大家剛才都用到了一一對應。一一對應很重要，不僅能幫我們解決蘋果和梨子比多少這樣簡單的問題，還能幫助解決其他很多問題，比如植樹問題（板書課題）。關于植樹問題，你們都知道哪些呢？

二、樂解疑

1.建構模型

師：看來同學們對植樹問題都有了解，那就請大家根據自己的理解，選擇喜歡的符號，畫出長在一條小路一邊的5棵樹。看誰畫得既簡潔又能讓大家看明白。

學生自由畫圖，教師巡視后請3名學生上臺展示。

師：現在3位同學畫出了不同的圖，這3幅圖有什么相同的地方？不同的地方是什么？仔細觀察，你能發現其中一一對應的關系嗎？誰和誰對應？想好了可以和同桌互相說一說。（指名答）

師：同學們不僅能用自己喜歡的符號表示植樹情況，還運用一一對應的方法發現、感悟到了不同植樹情況中棵樹與間隔數的規律。你們真棒！

2.變式反饋

師：如果路變長一些，你們還能很快解決問題嗎？（課件出示例題：全長100m的小路一邊植樹，每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵？）大家可以自己嘗試著想一想、畫一畫。

生：不知道怎么栽的，不好畫。

師：你們希望添上一個什么條件？

生：就是要告訴我們是“兩端栽”還是“兩端都不栽”，看是哪種情況。

師：如你們所愿，（課件加上條件：兩端都栽）看誰最先知道答案。

……

師：老師繼續變一變（課件中條件改變，把“兩端都栽”變成了“只栽一端”），誰能快速解答？

師：還要變（課件中將“小路一邊”改成“小路兩邊”，植樹情況回到“兩端都栽”）。

剛才連續解答了四個問題，比較一下，在解答的過程中，哪些情況是不變的，哪些發生了變化？

師：其實數學中的植樹問題不僅僅指栽樹，所有類似于“樹和間隔這樣的（點）（段）對應”的問題都被稱作植樹問題。（板書：點段對應）想想看，生活中你還見過哪些這樣的情況呢？你能找出其中的對應關系嗎？

……

教學思考

雖然這節課沒有所謂的植樹公式的板書總結，但孩子們的思維非常活躍，我想這主要歸功于設計的改變，即用一一對應的數學思想統領課堂。

課伊始，我首先用“快閃”游戲讓學生初悟一一對應的重要性。看似只是簡單的蘋果和梨子一個對一個，卻讓一一對應數學思想一下子呼之而出。其次，通過“畫出長在一條小路一邊的5棵樹”讓學生發現其中樹與間隔存在有一一對應的關系，在分析對應關系的基礎上認識植樹問題中的不同情況。特別是精心設計問題“誰和誰對應”“為什么會多1呢”，學生通過比較，發現共性：一是了解并理解相關數學概念；二是3幅圖中都存在的一一對應關系。同時，在討論交流中發現棵數與間隔一一對應的結果不一樣，從而發現植樹問題中的規律。第三是加強變式反饋，讓學生學會舉一反三。在化繁為簡發現理解植樹問題中的規律后，聯系生活，將數字變大，將情況變化，讓學生初步利用規律解決生活中的問題。本堂課把枯燥而乏味的教學變成生動、豐富、充滿思考的課堂，讓學生在潤物無聲中經歷了一次數學思想方法之旅。

教學實踐讓我深刻意識到，數學思想方法不是一個時髦的詞，不是一朵需要修飾的花，而是深扎于課堂的根。根深才能葉茂，在積極實踐用數學思想方法來指導和帶動具體知識內容教學的當下，我們只有牢牢把握知識面下蘊含的數學思想方法的“根”，課堂才會有觸及核心的深度，學生才能體驗到數學思想方法的光輝和魅力。

（作者單位：常德市武陵區北正街小學）