半群的閉合性

摘要：本文對半群的閉合性進行了討論，得到如下結論：如果半群S中的任意導矢元都有其對應的正后生成因子，并且每個因子都帶有伴隨開立元，半群S為可交半群，有一個失離性得到滿足，任意子半群都具有正先性，并且滿足主換向降鏈條件，或者設半群S為可清源半群，存在S的子半群H，使得H可分解為正則子半群的失離穩積，則半群S為一個閉合半群.

關鍵詞：閉合性；半群；正先性；降鏈條件

中圖分類號：O152.7文獻標識碼：A

本文將討論關于半群閉合性的幾個問題。

定義：設T為半群S的任意一個子半群，如果對T進行有限次的可歸變換，使T可變換為一個超臨界子半群，且如果a在這一系列變換中始終保持其定則性不變，則稱半群S為一個閉合半群。

定理1：如果半群S為可交半群，有一個失離性得到滿足，任意子半群都具有正先性，并且滿足主換向降鏈條件.S中的任意導矢元都有其對應的正后生成因子，并且每個因子都帶有伴隨開立元，則半群S為一個閉合半群。

證明：由于半群S為可交半群，則對S的任意正交元a都至少有一個伴隨元b，使得ab成為S的一個可交子半群的成子元。設這個可交子半群為I，則I中必有相合子半群，并且相合子半群的冪等元具有正交性.另，有一個失離性得到滿足，從而半群S的任意一個正向子半群H中的冪等元具有正交性.設I∩H=K，則a，b∈K，有ab為正交元，從而S中的可正子半群R，abR。

所以K為半群S的一個可歸變換的相伴子半群。而S中的任意導矢元都有其對應的正后生成因子，并且每個因子都帶有伴隨開立元，設T為半群S的任意一個子半群，則對T進行有限次的可歸變換，T可變換為一個超臨界子半群。a∈T，顯然 a在這一系列變換中始終保持其定則性不變，因此半群S為一個閉合半群。

定理2：設半群S為可清源半群，存在S的子半群H，使得H可分解為正則子半群的失離穩積，S中的任意導矢元都有其對應的正后生成因子，并且每個因子都帶有伴隨開立元，則半群S為一個閉合半群。

半群S為可清源半群，又由于S中的任意導矢元都有其對應的正后生成因子，并且每個因子都帶有伴隨開立元，故可設導矢元p的對應的正后生成因子為q，則q為S中的成交元.又由于存在S的子半群H，使得H可分解為正則子半群的失離穩積，S中的任意導矢元都有其對應的正后生成因子，所以由降鏈條件知，正向元p、q存在對應的正后生成因子.設T為半群S的任意一個子半群，如果對T進行有限次的可歸變換，使T可變換為一個超臨界子半群，則a∈T，a在這一系列變換中始終保持其定則性不變.下面證明設T為半群S的任意一個子半群，如果對T進行有限次的可歸變換，使T可變換為一個超臨界子半群。

因為半群S為可清源半群，所以有正向子半群存在內向性，S1，S2，…Sn是存在內向性的正向子半群，由于S1，S2，…Sn的內向性可以導向一列符合降鏈條件的子半群.由此可以定義S中的密鏈運算，使得該運算滿足超臨界條件，因為S為可清源半群，所以S1，S2，…Sn是半群S的正向元集，由于每個因子都帶有伴隨開立元，所以

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作者簡介：馬晨江（1965），男，碩士，講師。