對簡諧振動教材處理的不同策略

桂金星

【摘要】由簡諧振動的動力學方程，利用數學知識導出它的運動學方程，從理論上導出其運動學方程是正弦函數形式，補充了教材的無理論推導的不足，和必修二教材對平拋運動的處理達到了異曲同工之效，使教材編寫得更加完美，利用導出的彈簧振子周期公式可直接導出單擺的周期公式。

【關鍵詞】簡諧振動 ； 線性回復力 ； 正弦函數運動方程 ； 單擺周期

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）08-0213-01

人教版物理3-4第一章第一節是簡諧振動，教材的處理思路是：先給出簡諧振動的定義，然后通過實驗探究簡諧振動的圖像，就是從實驗中得出振動圖像，在第二節，教材直接給出了它的振動方程x=cos（wt+φ），教材這樣設計的原因，可能是因為高中學生的微分數學基礎有限（不會解微分方程），所以采用了從實驗實踐中探究運動方程這樣的編排方式。

人教版物理必修二教材在處理平拋運動的時候，則采用了相反的模式，由理論到實驗探究驗證，即：學生已學過了牛頓第二定律后，知道了物體的運動過程和性質是由合外力決定的，于是對平拋運動物體受力分析后，得出物體水平方向做勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動。我想，其實在簡諧運動這里也可以嘗試一下，從理論推導到實驗驗證，但是對數學的要求，技巧性處理稍強一些。

3—4物理課程開設時間一般在高二下學期或是高三后期，此時學生的選修數學2—2已學過，其中的微積分初步知識已了解，已會求導，已經知道：位移對時間求一階導數得到的是速度，v=■；速度再對時間求一階導數得到的是加速度，a=■；也即位移對時間求二階導數得到的是加速度，a=■，這為我們建立簡諧振動的動力學微分方程打下了數學基礎。

教材首先給出的是簡諧振動模型：彈簧振子。學生已經學完必修一物理，最大的收獲就是解決了運動和力的關系，應該有了這樣的物理意識：物體的運動不需要力來維持，但是，物體究竟做何種性質的運動，是由合外力來決定的。要研究物體的運動過程和性質，就要對物體進行受力分析，列出動力學方程這個“通項公式”，運動的性質和過程就蘊含在這個高度概括的簡潔力學方程中。

給出簡諧運動的定義：F=-kx，提出線性回復力，通過變形：F=ma=m■=m■■=m■，也即是：m■=-kx，再變形：m■+kx=0，■+■x=0，令：w2=■，則有：■+w2x=0；剩下的問題就是如何求解這個微分方程。（高中學生是不會求的）

我們可以鋪墊設問：微分求導，大家在數學中已有所了解，比如cosx， sinx， ex， xn等的導數；請觀察：■+■x=0，什么樣的函數，在求過二次導數以后，加上自身，可以等于0？

學生開始在自己腦海里學過的函數中尋找，并在默默求導。

這時教師可以提示：要滿足■+■x=0，說明這個函數求兩次導數以后，和自身具有相同的形式。進一步追問：你們學過的函數中有滿足的嗎？這時學生馬上想起了正弦函數和余弦函數。

老師指出：正弦函數和余弦函數，是同一類函數，他們的圖像可以經過平移而得，沒有本質的區別。（注：ex指數式可以通過歐拉公式化成正弦函數形式）

通過探尋，我們得到了■+■x=0這個微分方程的解，通解形式是正弦函數形式，那么這個方程的解是多少呢？可以鼓勵學生把正弦函數帶入驗證。特解取決于起始條件。

這樣，我們就把求微分方程的解進而轉化為驗證正弦函數是它的解。（求導驗證，高中學生是會的）

我們就這樣找到了簡諧振動的振動運動學方程。從理論上，我們先推導出來了，這樣為后面的實驗探究和對結論的理解很有好處，和教材對平拋運動的處理，達到相同的效果，同時也顯得教材內容更加完整和完美！

通過以上這個簡短的案例，我們也得到啟示：在提高高中物理課堂提問的有效性時，就必須：提問要有目的性，針對性，啟發性，層次梯度有序性，使問題之間要有聯系，要有鋪墊，這樣問題能更好的推進課堂教學，學生在這些問題的思考中更好的理解課堂內容。

我們還可以從簡諧振動的動力學微分方程中推導出它的周期：T=■=2π■（因為w2=■），公式表明簡諧振動的周期由振子自身結構（振子的質量和彈簧勁度系數）決定的。還可以設計實驗，通過測量周期時間來間接測量質量和彈簧的勁度系數。

在這一章，還研究了單擺，單擺是一種典型的簡諧振動，我們同樣可以建立起單擺的動力學微分方程，通過求解微分方程，得到它的振動運動學方程，不過在推導的過程中，我們也很容易導出單擺的振動周期：T=2π■，這條思路，讀者不妨一試。

這里提供另一條思路：直接利用彈簧振子的周期公式推導單擺的周期公式。

在單擺中，設擺角為θ，單擺的線性回復力是：F=-mgsinθ=

-mg■=-mg■x=“k”x，即單擺的勁度系數相當于：“k”=-mg■，直接帶入彈簧振子的周期公式，就可以得出單擺的周期公式T=2π■。教材在這里設計了實驗，通過測量單擺的周期來間接測量單擺所在地的重力加速度，這樣以來，就會使教材知識前后聯系緊密，互相照應，也會使同學們對知識的來龍去脈掌握得更加清楚。

簡諧振動是運動的形式之一，通過以上討論，使學生進一步深刻理解運動和力的關系，簡諧振動之所以會有正弦函數形式，是因為本質上由它的線性回復力決定的。再一次明確：運動不需要力來維持，但運動過程和性質由合外力決定。

以上案例呈現了另一種處理方式，旨在引導學生：運用已有的知識結構和方法去探究新的知識領域，方法上實現類比和遷移；同時將新學的知識內容歸類在原有的知識結構中，實現了知識的建構遷移，加深對某一物理概念，觀念，意識的深刻理解，一舉多得，何樂而不為呢！endprint