概率論與數理統計微課比賽教案分析

孫曉玲

（合肥師范學院數學與統計學院，安徽合肥230601）

概率論與數理統計微課比賽教案分析

孫曉玲

（合肥師范學院數學與統計學院，安徽合肥230601）

微課教學不同于傳統教學，有教學內容少，教學時間短的特點。要在10分鐘左右的時間內完成傳統授課方式一兩節課的內容就需要在錄制微課視頻之前精心設計微課的教學內容。文章以榮獲首屆全國高校數學微課程教學設計競賽一等獎作品“分布函數”為例介紹了概率論與數理統計微課教學的設計思路以及教學過程設計。教學實踐表明，微課教學中若能合理設計教學思路，創新教學手段能夠起到事半功倍的效果。

分布函數；微課；概率論與數理統計；教學設計；Excel輔助

1 引言

微課教學作為新興的教學方式這幾年得到了較大的發展[1-3]，教育部門舉辦了各種與微課相關的教育教學交流活動。其中較大的活動為2013年舉行的首屆全國高校微課教學比賽，2015年舉行的首屆全國高校數學微課程教學設計競賽。作為一名高校教師，如何能緊跟教學改革和創新的潮流，將微課與教學實踐緊密結合，將微課教學方式與傳統教學方式相互補充是現如今教學研究的熱點課題[4-7]。

2015年3-8月期間，作者參加了首屆全國高校數學微課程教學設計競賽。該比賽是由參賽教師選擇課程中的一個知識點，提交錄制完成該點知識的10-20分鐘的微課程視頻進行參評。講解的知識點需要符合組委會發布的高等數學、線性代數、概率論與數理統計3門課的知識點目錄。要在短時間內完成平時近兩節課的授課內容就需要在錄制教學視頻之前精心設計微課的教學內容。作者講授的知識點是概率論與數理統計課程中的分布函數。在通常90分鐘的課堂上，該節的講解思路一般是概念引入、定義講解、例題、小結。在14分19秒的微課教學設計中作者的設計思路成為概念引入、定義、實例以及Excel軟件輔助計算。

本文就以作者在首屆全國高校數學微課程教學設計競賽全國決賽中的一等獎獲獎作品“分布函數”的教學設計為例，分析概率論與數理統計微課制作的教學方案設計背景以及教學過程設計。

2 概率論與數理統計微課教學設計背景

2.1 教學內容分析

“隨機變量的分布函數”既是概率論與數理統計課程中“離散型隨機變量及其分布律”教學小結的延伸，又是后面將要學習的“連續型隨機變量及其概率密度”教學小結的鋪墊，可以起到承上啟下的作用。“隨機變量的分布函數”是概率論與微積分學的紐帶，在概率論中占據著重要的地位。有了分布函數這個橋梁，就能利用微積分這個有利工具研究概率問題。另外，分布函數還是進行統計檢驗和統計推斷的基礎，因此該節內容也可為后面數理統計部分的學習打下基礎。通過本小節的學習，不僅能讓學生掌握概率計算的一般方法，培養學生分析和解決實際問題的能力，還能使學生認識到掌握數學軟件比如Excel軟件能夠對概率論與數理統計課程的學習起到很好的輔助作用。

2.2 學情分析

2.2.1 學生起點知識分析

授課對象是理工科大學二年級的學生，從學生的知識儲備上來看，學生已經學過了概率的基本概念以及隨機變量的概念，了解了隨機變量是用來表示隨機現象結果的變量，隨機變量的取值表示隨機事件。還知道離散型隨機變量及其分布，知道二項分布律特點，會計算服從二項分布的隨機變量取值的概率。大學一年級已經學過辦公自動化課程，了解Excel軟件的使用。還不會計算隨機變量在任意區間內取值的概率，沒有學習計算隨機事件概率的一般方法，不了解隨機變量的統計規律性。教師若能將授課內容與學生所學專業知識相結合，激起學生的興趣，調動學習的積極性，教學過程便可水到渠成。

2.2.2 學生心理特征分析

大二學生會對與自己生活息息相關的教學實例感興趣。本節課將首先從學生的生活實際出發，充分調動學生的思維，從每天的生活費支出情況入手，調動學生學習的興趣，激發學生的求知欲。

2.2.3 學生能力分析

學生已學過高等數學課程的知識，有一定的數學素養，具有一定的利用數學知識分析問題、解決問題的能力以及利用計算機軟件處理數學問題的能力。

有了前期的知識準備，還必須有效調動學生的知識遷移能力。本節課的目的不在知識本身，而是要形成解決問題的過程與方法，通過這節課的學習，培養學生分析問題、解決問題、總結規律的能力，促進學生創新精神和創造能力的培養。

3 教學過程設計

3.1 分布函數的概念

3.1.1 概念引入

先給一個與學生生活貼近的實例激發學生的學習興趣和求知欲。

創設學習情境：若r.v.x表示某同學大學生活每天的支出，支出分布律如表1所示（單位:元，假設某同學每天的生活支出是隨機的并且只有以下5種情況）

表1 生活支出分布律

提問：該同學一天帶30元錢夠花的概率是多少？

分析：{帶30元夠花}={≤30}，若該同學一天的支出是10元，20元或30元3種情況，那么一天帶30元錢就夠花，因此有

過渡：請同學自己演算“帶40元夠花的概率”是多少？

分析：“帶40元夠花的概率”即為

擴展：若要進一步討論該同學一天帶其它錢數夠花的概率，可以設一天所帶錢數為x，那么該同學帶x元夠花的概率即為x的函數，可記為F（x），其中F（x）=P{X≤x}。

進一步擴展：對任意實數x，可知P{X≤x}是x的函數，通過P{X≤x}可以計算r.v.X在任意區間內取值的概率。

小結：通過實例引導學生思考隨機變量在某區間上取值概率的計算，再由特殊到一般，由淺入深地引申出分布函數的概念。

3.1.2 分布函數的定義

定義[8]：設X為隨機變量，對任意實數x，稱函數F（x）=P{X≤x}（-∞＜x＜+∞）為隨機變量X的分布函數。

關于分布函數概念的兩點解釋：

1.幾何解釋：如果將隨機變量X的取值看作數軸上隨機點的坐標，那么分布函數F（x）在點x處的值就表示隨機變量X在區間（-∞，x]內取值的概率。

2.概率的分布函數表示：若隨機變量X的分布函數F（x）已知，則對任意實數x1＜x2，隨機變量X在區間（x1，x2]內取值的概率可表示為：

P{x1＜x2}=P{X≤x2}-P{X≤x2}-P{X≤x1}=F（x2）-F（x1）；

隨機變量X在區間（x1+∞）內取值的概率可表示為：

P{X＞x1}=1-P{x≤x1}=1-F（x1）。

隨機變量X在其余任意區間內取值的概率也同樣可以用分布函數值來表示，由此可知，只要確定了隨機變量X的分布函數，就能計算隨機變量X落在任意區間內的概率，即利用分布函數能夠完整地描述隨機變量的統計規律性。

小結：通過對分布函數定義的解釋使學生了解分布函數概念的實質以及概念引入的重要意義。接下來可以讓學生分組討論隨機變量在其它任意區間內取值的概率計算公式并總結一般方法，通過分組討論，培養學生自我解決問題的能力，養成自主學習、小組合作學習的習慣。

3.2 離散型隨機變量的分布函數

假設X是離散型隨機變量，分布律為P{X=xk}=Pk（k=1，2，3，…），那么其分布函數為F（x）=P{X≤x}=即F（x）是離散型隨機變量X取小于等于x的諸值xk的概率之和，故F（x）又被稱作累積分布函數[8]。

例1：小李每日開車上班，途經10個路口，每個路口都有交通信號燈，若他在各個路口遇到紅燈的事件是相互獨立并且概率均為0.7。問：小李上班途中至多遇到6次紅燈的概率是多少？

分析：以X表示小李上班途中遇到紅燈的次數，可將每次通過路口看作一次隨機試驗，由于每次遇到紅燈的概率相同且每次試驗結果相互獨立，因此X∶b（10，0.7）。由于隨機事件{至多遇到6次紅燈}={X≤6}，由二項分布律公式以及離散型隨機變量分布函數的計算公式有

小結：通過實例分析及演算使學生掌握計算離散型隨機變量分布函數值的步驟，結合實例使學生了解分布函數的實際應用從而為后面連續型隨機變量及其分布的講解埋下伏筆。通過PPT演示的直觀圖為學生清晰地展現分布函數的計算過程，使學生更深入理解分布函數的概念及計算方法。

按照該方法進行常規計算將會非常復雜，這里可考慮用Excel軟件來輔助計算。Excel軟件不僅是常用的辦公軟件，還是很好的數學軟件，其中包含了大量的數學函數，是解決概率統計問題的很好的輔助工具，相比于其它常見數學和統計軟件來說，Excel軟件更容易獲取和使用。

利用Excel軟件中的二項分布函數：BINOMDIST（m,n,p,L）可直接得到隨機變量的分布律和分布函數值，該軟件還能夠根據所給數據繪出分布律表、分布律柱狀圖和分布函數的線圖。由表2可知若遇到紅燈的概率為0.7，則小李至多遇到6次紅燈的概率為F（6）=P{X≤6}=0.3504。通過PPT動態展示圖1，2能夠更清晰地看出概率計算原理及分布函數的意義[9]。

利用Excel演示分布函數值的計算過程不僅能讓學生理解分布函數的概念及應用，還能讓學生認識到利用Excel軟件能夠較大程度地提高學習效率、提升學習效果，促進學生創新精神和創造能力的培養。

表2 分布律表

圖1 分布律柱狀圖

圖2 分布函數線圖

3.3 小結

1.分布函數的概念：F（x）P{X≤x}，（-∞＜x＜+∞）。

2.離散型隨機變量分布律與分布函數的關系：

利用關系圖總結離散型隨機變量分布律與分布函數的關系，能夠強化學生對概念的認識和記憶并為下節課的教學內容埋下伏筆。

3.4 作業

1.若X是僅取一個常數值c（c為任意常數）的隨機變量，寫出它的分布律以及分布函數并畫出函數圖形。

2.思考：不同的隨機變量，其分布函數一定也不相同嗎？

通過布置分層作業達到讓不同層次的學生進行有效鞏固教學內容及其運用的目的，引導學生對隨機變量與其分布函數的關系進行思考，從而加深學生對分布函數概念的理解，為后續內容的學習打好基礎。

4 結束語

為了能在10分鐘左右的時間內完成傳統授課方式一兩節課的授課內容必須在制作微課之前精心設計微課的教學思路，優化教學內容，創新教學手段以便輔助教學。盡量制作出短小精干、易于網絡傳播、便于人們學習的優秀微課作為傳統課堂的良好補充。根據本文給出的分布函數教學設計方案所制作的微課作品，參加了首屆全國高校數學微課程教學設計競賽全國決賽并獲得一等獎，微課輔助課堂教學已在教學實踐中進行了檢驗，取得了較好的教學效果。

[1]劉銳，王海燕.基于微課的“翻轉課堂”教學模式設計和實踐[J].現代教育技術，2014（5）：26-32.

[2]吳嬋.關于微課對優化高校教學效果的思考[J].科教導刊，2013（10）:17-18.

[3]崔靜,申廣君.大學數學微課教學可行性探究——以概率論與數理統計為例[J].大學教育，2016（6）：169-170.

[4]周丙鋒，謝新水，劉星期.高校微課中的教學要素及教學效果評價[J].現代教育技術，2015（9）:30-36.

[5]胡鐵生，周曉清.高校微課建設的現狀分析與發展對策研究[J].現代教育技術，2014，24（2）:5-13.

[6]史娜，薛亞奎，雷英杰，等.翻轉課堂在《概率論與數理統計》課程中的教學設計研究[J].蘭州文理學院學報：自然科學版，2015（6）：94-98.

[7]鐘紹春，張琢，唐燁偉.微課設計和應用的關鍵問題思考[J].中國電化教育，2014（12）：85-88.

[8]峁詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011：61-65.

[9]孫曉玲，王寧.Excel軟件輔助概率論與數理統計教學[J].合肥師范學院學報，2015（3）：73-76.

An Analysis on the Teaching Plan of Micro-lectures for Probability Theory and Mathematical Statistics

Sun Xiaoling
(School of Mathematics and Statistics,Hefei Normal University,Hefei 230601,China)

Different from traditional teaching,micro teaching has the characteristics of short teaching time and little teaching content.In order to complete the teaching content of one or two classes according to traditional teaching method in ten minutes or so,the content of the course will need to be carefully designed before recording micro lesson videos.The design ideas and teaching process design of micro teaching for Probability Theory and Mathematical Statistics is introduced by taking the micro lecture of"distribution function"which has won the first prize in the First National College Mathematics Micro Curriculum Teaching Design Competition as an example in this paper.The teaching practice shows that if teaching ideas are reasonably designed,and teaching methods are innovated in micro teaching,then twice as much can be accomplished with half the effort.

distribution function;micro lectures;Probability Theory and Mathematical Statistics;teaching design;Excel-aided

G642.0

A

1672-447X（2017）03-0107-004

2017-01-13

安徽省教育廳質量工程項目（2016gkk027）

孫曉玲（1977-），安徽合肥人，合肥師范學院數學與統計學院副教授，研究方向為不確定性模糊推理。

責任編輯：胡德明