高中數(shù)學(xué)數(shù)列綜合問題研究與分析

楊飛

【摘 要】高中數(shù)列綜合問題是高中數(shù)學(xué)的重點知識。在本文中，筆者從解題的方法入手分析，并用實際的例題來展示了數(shù)列綜合問題的解決策略。希望這一論述能給大家的教學(xué)帶來一些啟示和思考。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)列問題；研究分析

高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列知識不僅是平時教學(xué)中的重點知識，也是高考的必考知識，而在考試中，數(shù)列知識并不單獨出現(xiàn)，而是結(jié)合其他知識一起考查。所以，在高中數(shù)學(xué)中由數(shù)列引起的知識交匯問題有很多。要想解答這類綜合問題應(yīng)找到合適的切入點。

一、解答數(shù)列綜合問題的方法指導(dǎo)

1.夯實基礎(chǔ)

要想建一座高樓大廈，必須把地基打牢。同樣要想解決數(shù)列的綜合的問題，學(xué)生也必須從最基礎(chǔ)的知識著手。比如，在求和問題中特別是一些既不是等差、等比數(shù)列，也不是等差乘等比的數(shù)列求和，就要利用不等式的放縮法。而放縮法就是學(xué)習(xí)數(shù)列中的基本方法，在平時的教學(xué)中教師要讓學(xué)生多加練習(xí)，只有這樣才能在解題時得心應(yīng)手。

2.學(xué)會轉(zhuǎn)化

解答數(shù)列綜合問題要善于綜合運用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項等方法來分析、解決問題。比如，數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項公式，然后再利用數(shù)列知識和方法求解。

二、高中數(shù)學(xué)數(shù)列綜合問題研究分析

1.數(shù)列與新知識的綜合

理論分析：

該類問題出題背景廣、新穎，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，有效地將信息轉(zhuǎn)化。它主要考查的是學(xué)生分析、解決問題的能力和知識的遷移能力。

例題展示：

已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S21=S4000，O為坐標(biāo)原點，點P（1，an），點Q（2011，a2 011），則·=（ ）.

A.2011 B.-2011 C.0 D.1

答案解析：

設(shè)：Sn=An2+Bn，當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1

=（2n-1）A+B，由S21=S4000，知4021A+B=0，所以a2011=0，·=2011+an×a2011=2011，故選A.

方法指導(dǎo)：

解決數(shù)列與新問題的綜合問題，學(xué)生一般可通過對新數(shù)表、圖像、新定義的分析、探究，將問題轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的問題。

2.數(shù)列與函數(shù)的綜合

理論分析：

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，在平時的學(xué)習(xí)和考試中常常出現(xiàn)，在近幾年的考試中函數(shù)常常和數(shù)列聯(lián)系在一起，共同考查。這類題目綜合性比較強，更多的是考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算求解能力。

解答這類題目要全面兼顧，一方面要正確審題，看清題目到底在考查什么。當(dāng)然這類題目的考查一般是考查的函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列的定義等知識的綜合。另一方面，還要結(jié)合課本知識和所考查知識做出正確的判斷，找出合適的方法，突破問題瓶頸。

3.數(shù)列與解析幾何的綜合

理論分析：

數(shù)列與解析幾何是數(shù)列綜合問題中的難點，在這類題目中主要側(cè)重的還是解析幾何的知識，而數(shù)列有時候可能是工具、是切入點。但是在解題時也不能忽略數(shù)列的作用，有時候一個小小的問題就會導(dǎo)致全局的失敗。

例題展示：

如圖，從點P1（0，0）作x軸的垂線交曲線y=ex于點Q1（0，1），曲線在Q1點處的切線與x軸交于點P2.再從P2作x軸的垂線交曲線于點Q2，依次重復(fù)上述過程得到一系列點：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，記Pk點的坐標(biāo)為（xk，0）（k=1，2，…，n）.

（1）試求xk與xk-1的關(guān)系（2≤k≤n）；

（2）求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.

答案解析：

（1）首先要明白，Pk與Pk-1點之間的關(guān)系是什么？在分析試題后，可以過Pk-1點作x軸的垂線與曲線y=ex的交點為Qk-1，過Qk-1點作曲線y=ex的切線，切線與x軸的交點即為Pk。另外，還要知道如何求切線方程？這個比較簡單，用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求得。

（2）要想解答第二題，要知到線段PkQk的長度如何求得？這個可以從PkQk的長度得知，即點Qk的縱坐標(biāo)。同時要明白{|PnQn|}這一數(shù)列是哪種數(shù)列，通過分析發(fā)現(xiàn)這是一個等比數(shù)列。當(dāng)明確了這些問題后，本題也就迎刃而解了。

方法指導(dǎo)：

求解點列問題的關(guān)鍵是尋求點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求解，與曲線的切線相關(guān)時，注意充分利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

以上的論述從方法指導(dǎo)和例題展示中進行了詳細(xì)的剖析，其實數(shù)列的綜合問題還有很多，像數(shù)列與不等式、數(shù)列與實際問題，在這就不贅述了，其實數(shù)列的綜合問題萬變不離其宗，只要掌握了幾種，其他的問題也就不攻自破了。只要學(xué)生平時留意、多加練習(xí)必然能攻克。

參考文獻：

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