用數列思維計算簡單金融產品的內在價值

江蘇省新海高級中學 張添胤

用數列思維計算簡單金融產品的內在價值

江蘇省新海高級中學 張添胤

通過生活中的觀察和總結，發現基本金融問題的載體基本上是數列問題的變形。本文首先用平實易懂的語言解釋常見的金融工具：存款，債券，股票。然后，將基本金融問題科學地分類，利用前n項和的方法解決金融問題，并列舉經典的題目來鍛煉化歸分析解決復雜問題的能力。最后，對模型進行了總體評估和優缺點分析，并對其應用前景進行了展望。

前n項和；價值；現金流；現值；債券；股票

一、問題引出

隨著中國經濟的騰飛，中國家庭的理財方式也趨于多樣化。從開始時的儲蓄一家獨大，到現在的股票債券遍地開花，金融產品可謂“亂花漸欲迷人眼”。但是在日常學習和生活中，我們又會在教科書上，試卷上，看到很多關于金融工具的數學應用題。經過總結歸納，這些題的所用的數學模型都十分簡單，基本上都是我們所學過的數列前n項和的應用。在本篇論文中，用平實易懂的語言，解釋并科學地將金融應用題歸類、分析求解。

二、問題分析

1.金融工具與金融市場

本文研究的對象為兩大常見的金融產品：債券和股票。它們都是金融工具，而它們流通的場所叫做金融市場，也就是融通資金的場所。

金融工具是證明債權、債務關系的合法書面憑證。金融工具具有三大特征：收益性、安全性、流動性。正常情況下，收益性與安全性、流動性成負相關，也就是說，收益性越高的產品，其風險越大，流動性越差。債券是一種由債務人向債權人出具的，在約定時間承擔還本付息義務的書面憑證。由于債券的利息通常是固定的，所以債券也被稱為固定利息證券。股票是股份公司發行的證明投資者在公司中出資并據此享有權利和承擔義務的書面憑證。股票的持有者就是公司的股東。股票確定了股份公司與股東之間的約定關系。

表1 金融產品對比

金融市場分為一級市場和二級市場：一級市場是發行市場，它最基本的功能是將社會剩余資本從盈余者手中轉移到短缺者手中，促進儲蓄向投資的轉化；二級市場就是供在一級市場上發行后的金融工具流通和轉讓的市場，它提高了這些金融產品的流動性。

2.關于現值的理解

在經濟學中，價值被定義為凝結在商品中無差別的人類勞動。在個人理財時，經常會遇到不知道選擇那種金融工具的情況。因為股票債權存款的期限不同，很難比較它們的價值。此時便需要通過一個可比的標準（比如現值）來比較后選擇何種金融工具。

金融資產的價值等于未來預期現金流的現值。現金流就是每一次資金的流動。現值，指資金折算至基準年的數值，也稱折現值、也稱在用價值，是指對未來現金流量以恰當的折現率進行折現后的價值。要對債券和股票定價，我們需要：預測未來現金流的數量（有多少）與時間（什么時候發生），并以適當利率（折現率）對未來現金流折現。

三、建模求解

（一）債券價值模型

存款問題只能說是經濟學應用題的一個引入，我們將用它的思想方法去解決更為復雜的債券問題。假設必要收益率不變。符號說明：P-債券內在價值；CFt-每期利息和到期本金(F)；It-每期利息；rb-必要收益率，n-期限。

債券內在價值的計算公式（存款同理）可以表示為：

公式其實就是一個等比數列前n項和的計算模型。債券的計算問題一共可以分為一般估價模型，可贖回債券的估價模型和收益率估價模型。

1.一般債券估價模型：已知期限、利率，計算現值

例：我國發行一面值為100元的3年期憑證式國債，票面年利率3.73%，從購買之日開始計息，到期一次還本付息，不計復利，逾期兌付不加計利息。那么在市場平均收益率為5%的情況下，利用上文債券價值公式，該債券的內在價值為：

結果表明，由于該國債提供的息票率3.73%小于市場收益率5%，使得其價值96.05元小于其面值100元，該債券的收益明顯不具有吸引力。

2.可贖回債券的估價模型：未到期就被贖回的債券價值計算

如果一些公司發行的債券必要收益率高于市場收益率，他們肯定就會想將債券贖回，因為不贖回他們要付的利息成本會比市場平均利息偏高。為了公平，在贖回時，他們也將不可避免地要加上贖回溢價。

如果債券契約中載明允許發行公司在到期日前將債券從持有者手中贖回的條款，則當市場利率下降時，公司會發行利率較低的新債券，并以所籌措的資金贖回高利率的舊債券。在這種情況下，可贖回債券持有者的現金流量包括兩部分：（1）贖回前正常的利息收入（2）贖回價格（面值+贖回溢價）。

我們不難發現，此模型也可以化歸為上一個模型，只是再加上贖回價格罷了。

例：某公司擬發行債券融資，債券面值為2000元，息票率為12%，期限為20年，每年付息一次，到期償還本金。債券契約規定，5年后公司可以2 240元價格贖回。目前同類債券的利率為10%。

如果債券5年后被贖回，債券的價值為：

如果債券沒有贖回條款，持有債券到到期日的價值為：

2340.46-2300.6=39.86（元），其中39.86元就是公司可以節省的價值。

這還可以幫我們更深層次的理解現值與終值的運用。因為可贖回債券與不可贖回債券的期限是不同的，想要直接比較兩情況的價值十分困難。而利用現值可以輕松地比較，并計算出公司節省的價值。

3.收益率估價模型

在以上兩個模型中有一個重要假設，即假設必要收益率rb不發生變化。而本模型的目的是計算債券到期收益率r2，它是指債券按當前市場價值購買并持有至到期日所產生預期收益率。既然是預期收益率，投資者們可以將它與必要收益率rb相比較。如果r2大于rb，則應該買入，反之則應該放棄。

若當前市場價值和期限已知，那么就可以列出一個方程解出到期收益率。所以該問題的實質就是一個解方程的問題。

例：假設以2100元的價值購進20年后到期、票面利率為12%、面值為2 000元、每年付息1次、到期一次還本的某公司債券。如果購進后一直持有該債券至到期日，債券到期收益率是：

冠心病是心內科最常見的疾病，而心絞痛則是冠心病的一個最常見類型，因冠脈粥樣硬化導致管腔狹窄和血管痙攣引起心肌缺血，導致患者前胸陣發性、壓榨性疼痛。對于冠心病心絞痛的治療，臨床上包括藥物治療和介入治療兩種方法，藥物治療對于癥狀較輕，持續時間不長的患者有很好的療效，但對于心絞痛發作次數多、持續時間長的患者建議行PCI手術治療[1] 。本次研究以我院收治的104例高齡冠心病心絞痛患者為例，探討PCI治療冠心病心絞痛的療效。

（二）股票價值模型

經過債券價值問題的分析，我們基本上對金融應用題有了一個框架式的了解。接下來要研究的股票，它的估價模型與債券極為相像，都是求未來預期現金流量的現值。但我們知道債券與股票的區別之一就是期限不同，股票只有發行日，無到期日。所以自然求股票未來現金流量的現值，要先用等比數列前n項求和，再用趨近于∞的極限思維確定最終公式。

假設不考慮公司倒閉的影響，市場利率是不變動的。符號說明：Pn-普通股在第n期預期售價；P0-普通股未來預期現金流量的現值；rs-普通股投資必要收益率；Dt-每期的預期股利；CFt-每期的預期現金流。

股票價值可以表示為：

其中未來現金流量可以分為每期的預期股利和股票出售時的預期價值（取決于股票未來的股利）。根據式中Dt的不同情況，可以將股票價值模型分為零增長模型，固定增長模型和非固定增長模型。

1.零增長股模型

2.固定增長股模型

對于一些上市很長時間，收益較為穩定的公司，我們可以假設（1）股利支付是永久性的，即t→∞；（2）股利增長率為一常數g，即，則：；（3）模型中的折現率大于股利增長率，即。

D1是指t=1期的股利。

例：假設X公司的股票，預期1年后公司支付的股利為3元/股，該股利預計在可預見的將來以每年8%的比例增長。投資者基于對該公司風險的評估，要求最低獲得12%的投資收益率，據此計算該公司的股票價格為：

3.非固定增長股模型

現實中大部分公司的股利是多變的。對于一些新成立，或者剛剛發布新產品的公司，其股利往往會高速增長然后又趨于穩定。對于這種公司可以假設為兩階段增長股和三階段增長股。這里對兩階段增長股進行研究。其價值為高速增長階段股利現值和固定增長階段股票價值的現值之和：。

例：假設Y公司目前擁有一種引起公眾注意的新產品，預計在未來的3年內，銷售每年以50%的速度增長，其股利將以每年13%的速度增長，此后預計股利增長率為7%。如果股東投資的必要收益率為15%，公司最近發放的現金股利為每股1.4元。那么Y公司的股票價值是多少？

這是一道很典型的兩階段增長模型，用分段函數的方式進行討論即可。根據資料，我們可以將該公司前三年作為高速增長階段，第四年以后作為固定增長階段。兩個階段股票價值計算如下：

高速增長階段：

固定增長階段：

如果股利增長情況不限于兩種情況，則還可以繼續劃分為三階段或多階段，只要最后將各個階段的現值相加即可。

四、總結

對于一般的債券和股票價值問題，解題的關鍵就是分清楚條件是哪一個金融名詞，并將其與特定模型對號入座。只要掌握化歸這一數學思想，將條件從題目中剝離出來，并尋找合適的金融模型進行組合便可以輕松解決。本文模型很好的結合了高中數學知識與深奧的金融問題，讓高中生可以利用所學的數列，極限等知識解決復雜問題。同時，該模型可以形象生動地解釋經濟學現象。

[1]歐陽光中,朱學炎．復旦大學數學系．數學分析第三版上冊[M]．高等教育出版社,2007．

[2]卜月華．中學數學建模教與學[M]．東南大學出版社,2002．

[3]林娟．經濟數學基礎第三版[M]．廈門大學出版社,2008．

[4]中國證券業協會．證券投資分析[M]．中國金融出版社,2012．

固定增長模型，可得固定增長階段折算到第n期的股票價值為：