雙曲正切跟蹤微分器設計及相平面分析

劉延泉， 郭佳穎

(華北電力大學 控制與計算機工程學院，河北 保定 071003)

雙曲正切跟蹤微分器設計及相平面分析

劉延泉， 郭佳穎

(華北電力大學 控制與計算機工程學院，河北 保定 071003)

針對離散跟蹤微分器(Han-TD)加速度函數結構復雜、參數整定繁瑣的不足，提出了雙曲正切函數改進微分器的加速度函數。雙曲正切函數是一種光滑連續非線性函數，該函數在坐標零點附近呈線性特性，所以消除震顫效果顯著。通過使用李雅普諾夫第二定理從理論證明了改進跟蹤微分器的全局收斂的穩定特性。使用相平面法尋找微分器奇點的穩定結點，進一步指導參數的整定。通過MATLAB仿真，比較雙曲正切跟蹤微分器(Tanh-TD)與Han-TD的跟蹤微分性能和濾波特性。仿真結果表明，雙曲正切跟蹤微分器對輸入信號的跟蹤可以實現快速無超調，濾波性能更優，且提取的微分信號較為理想，具有工程實用價值。

雙曲正切函數； 跟蹤微分器； 李雅普諾夫第二定理； 相平面

0 引言

跟蹤微分器(TD)最早由韓京清等研究學者于1994年提出，實現了從含有噪聲的測量信號以及不連續信號中提取出連續濾波信號和微分信號的功能[1]。由于跟蹤微分器具備良好的信號濾波和求導特性，其在電動機控制[2]、機器人[3]、飛行器[4]等控制系統中有廣泛的應用。針對跟蹤微分器系統，許多學者對其加速度函數進行了分析研究，并給出了改進方案。文獻[5]通過對滑模算法的分析，提出了將滑模技術應用于微分器中，但由于該控制器中存在切換函數，系統易出現抖振問題且參數不易整定。文獻[6]針對離散跟蹤微分器和快速型跟蹤微分器的研究，提出了將非線性的冪指函數應用于微分器，改進后的微分器具有較好濾波特性以及良好的動態響應，但加速度函數過于復雜。文獻[7]提出高增益微分器，能夠準確求取時間導數，但對高頻噪聲不敏感且易出現峰值現象。

本文將使用具有光滑非線性特性的雙曲正切函數改進跟蹤微分器的加速度，改進后的控制器不但跟蹤速度較快，而且沒有超調現象，對輸入信號實現良好的濾波和微分效果。

1 跟蹤微分器設計

設計跟蹤微分器的核心為加速度函數，加速度函數的選取決定了跟蹤微分器的性能好壞。目前，跟蹤微分器主要從線性加速度跟蹤微分器和非線性加速度跟蹤微分器2類進行分析研究[8]。在零點附近，函數具有線性特性可獲得良好的穩態性能；在遠離零點時，函數具有符號函數特性可具備良好的動態性能。設計新的跟蹤微分器可以從函數特性角度去構造選取。

1.1雙曲正切加速度函數

雙曲正切加速度函數f(x)=tanh(x)定義如下：

(1)

定義域區間(-∞，+∞)；

(2)

由式(1)和式(2)可推，雙曲正切函數是奇函數。

(3)

由上式(3)可知，f′(x)的值永遠大于等于1，所以f(x)單調遞增。

(4)

雙曲正切函數及其導數圖像如圖1所示。

圖1 雙曲正切函數及其導數曲線

從圖1曲線以及導數極限(4)可知，在原點附近，雙曲正切函數呈線性特性，在X趨于無窮大，函數f(x)為飽和函數，即雙曲正切是一個非線性光滑函數[9]。

1.2微分器結構及穩定性分析

雙曲正切跟蹤微分器結構如式(5)所示：

(5)

式中：v(t)為系統的輸入信號；x1(t)為系統跟蹤信號；x2(t)為系統跟蹤微分信號；R,a1,a2,b1,b2為系統調節參數。

定理1：對于系統

(6)

如果a1,a2,b1,b2均為正數，則系統在原點(0,0)呈全局一致漸進穩定特性。

證明：選取(0,0)領域內的Lyapunov函數

(7)

由于a1,b1為正數，當x1≠0時，x1與tanh(b1x1)符號相同，所以x1·(a1(tanh(b1x1)))>0，即

(8)

對v(x1,x2)的時間t求導可得：

(9)

(10)

定理2：對于系統

(11)

如果a1,a2,b1,b2均為正數，x1(t)→0,x2(t)→0 (t→∞)，則對任意有屆可積函數v(t)和任意常數T>0，式(11)的解x1(t)滿足：

(12)

定理2該定理從理論上闡明了系統在任意時間常數T內，當R趨于無窮大時，系統跟蹤信號x1(t)無限接近系統的輸入信號v(t)。

2 相平面分析

相平面分析法不僅能夠自動精確地繪制控制系統的相平面圖，還能夠快速地分析系統各個參數對控制系統的影響，從而研究出系統參數整定規律。本文主要使用相平面法來尋找微分器奇點的穩定結點，指導系統參數的整定。

(13)

x1=x2=0，所以φ(x1,x2)=0

(14)

因此，可將系統(11)近似為線性系統：

(15)

式(15)的系數矩陣：

該特征值

(16)

如圖2所示，當X取不同值時，該微分器系統的相軌跡總是沿著同樣的2個方向平行趨于奇點(0，0)。從圖中還可得出，當奇點為穩定結點類型時，系統是直接收斂，且跟蹤微分器系統處于過度過程產生的振蕩比較小。

圖2 穩定結點相軌跡圖

3 系統參數整定

從式(5)可知，系統需要整定的參數有R,a1,a2,b1,b2。R值越大，系統的跟蹤速度越快，但是信號微分效果會變差，即降低了系統的濾波特性。a1和b1參數對系統的跟蹤速度影響作用相似，當a1或b1增大，系統的跟蹤速度將變快，同時降低了系統的濾波性能。a2和b2參數對系統的微分效果影響相似。當a2或b2增大，系統的跟蹤速度會降低，但提升了系統的濾波特性。因此，可以先設定b1,b2的值，再設定R值調節微分器的跟蹤效果，最后通過調節a1,a2的值來平衡系統跟蹤和微分的整體效果。

4 仿真結果及分析

為了驗證雙曲正切跟蹤微分器的改進效果，使用MATLAB工具進行仿真，將改進的跟蹤微分器和文獻[10]提出的快速離散跟蹤微分器進行比較，從而分析系統的控制效果。

4.1跟蹤和微分性能

系統輸入信號選取幅值為1的方波信號。當比較系統的跟蹤性能時，仿真中雙曲正切跟蹤微分器的參數為：R=10,a1=4,a2=4,b1=1,b2=1快速離散跟蹤微分器的參數為：R=50,h=0.01。當比較系統的微分性能時，快速離散跟蹤微分器R值改為100。微分性能相似比較跟蹤信號曲線如圖3所示，跟蹤性能相似比較微分信號曲線如圖4所示。

圖3 微分性能相似比較跟蹤信號曲線

圖4 跟蹤性能相似比較微分信號曲線

從圖3可以看出，當系統微分性能比較相似的時候(指此時達到相同峰值)，2種跟蹤微分器都能較快地跟蹤輸入的方波信號，但雙曲正切跟蹤微分器的響應速度優于快速離散跟蹤微分器，即跟蹤效果更優，且二者均無超調現象。從圖4可以看出，當系統跟蹤效果相似的時候(指此時跟蹤曲線重合)，雙曲正切跟蹤微分器的微分信號曲線峰值低于快速跟蹤微分器，且雙曲正切跟蹤微分器輸出的微分信號呈鐘形曲線，Han-TD輸出的微分信號呈三角形曲線，可見Tanh-TD的微分性能更好。

4.2濾波性能

在幅值為1的方波信號中加入方差為0.05的隨機噪聲信號，觀察雙曲正切跟蹤微分器的濾波性能，濾波信號曲線如圖5所示。

圖5 濾波信號曲線

圖5的上半幅為2種跟蹤微分器對噪聲污染的方波信號的跟蹤曲線，其中，輸入的噪聲信號均值為0。從圖中可以看出，雙曲正切跟蹤微分器能較好地從被噪聲污染的方波信號中提取出原信號。圖5的下半幅為2種跟蹤微分器對噪聲污染的方波信號的微分信號曲線，從圖中可知，Han-TD對噪聲微分作用比較強，Tanh-TD能較好地避免對噪聲信號的放大作用。可見，相對于快速離散跟蹤微分器(Han-TD)，雙曲正切跟蹤微分器能更好地過濾噪聲信號，輸出的微分信號也相對較好，即Tanh-TD濾波性能較好。

5 結論

針對目前經常使用的快速離散跟蹤微分器的不足，設計了雙曲正切跟蹤微分器，雙曲正切加速度函數形式結構簡單，調節參數方便，具備良好的穩態性能和動態性能。通過理論證明了改進的跟蹤微分器擁有全局收斂的穩定特性，通過參數調整保障了系統奇點類型為穩定結點。仿真結果表明，雙曲正切跟蹤微分器比快速離散跟蹤微分器具有更強的跟蹤性能和微分效果以及更好的濾波特性，具有工程實用價值。

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[4] 莊超瑋，蔣炳炎，趙黨軍，等.基于跟蹤微分器的四旋翼飛行器控制器[J].計算機仿真，2015，32(5):114-118.

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Design and Phase Plane Analysis of a Hyperbolic Tangent Tracking Differentiator

LIU Yanquan， GUO Jiaying

(School of Control and Computer Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

According to the deficiencies of the discrete tracking differentiator (Han-TD) acceleration function, such as complex structure and parameter setting, an acceleration function of a hyperbolic tangent function improvement differentiator is proposed. The hyperbolic tangent function is a smooth continuous nonlinear function, which is linear in the vicinity of coordinates 0, so the effect of eliminating the tremor is remarkable. By using Lyapunov’s second theorem, the stability of the global convergence of the improved tracking differentiator is proved theoretically. The stability node of the singularity of the differential device is found by using phase plane method, and the parameter tuning is further guided. The tracking differential performance and filtering characteristics obtained by hyperbolic tangent tracking differentiator (Tanh-TD) and Han-TD respectively are compared by MATLB simulation. The simulation results show that the hyperbolic tangent tracking differentiator can realize the fast non-overshoot with better filtering performance, and the differential signal of extracting is ideal, which has the practical value for engineering.

hyperbolic tangent function； tracking differentiator； Lyapunov’s second theorem； phase plane

10.3969/j.ISSN.1672-0792.2017.10.013

TM273

A

1672-0792(2017)10-0074-05

2017-05-02。

劉延泉(1963-)，男，副教授，主要研究方向為PLC、DCS及其應用、協調控制系統優化等方面。郭佳穎(1992-)，女，碩士研究生，主要研究方向為先進控制理論及其在電力系統中的應用。