正整數積性子半群中的計數問題

朱曉杰,姚維利

正整數積性子半群中的計數問題

朱曉杰,姚維利

(上海大學理學院,上海200444)

設S和S′為正整數集N滿足特定條件的乘子半群的最小生成元系,記〈A〉為由A生和NS∪S′(x)聯系的計算公式.利用該公式以及多變量的數學歸納法推出了由有限遞增素數列{pi}生成的子半群中元素個數的漸近估計式.

M¨obius函數;整數子半群;素數;數論函數;漸近估計

令μ:N → {?1,0,1}表示M¨obius函數.當n=p1p2...pk時μ(n)=(?1)k,其中各pi為互不相同的素數;而當n=1時μ(1)=1;其他情況下μ(n)=0.另外,用符號[x]表示不超過x的最大整數.關于M¨obius函數的經典結果中有如下兩個等式[1]:

和

在直線Re(s)=1上只有s=1一個極點等價.與之相關的另一個估計式

則與Riemann猜想等價[3-4].Beurling[5]使用初等方法將式(2)推廣到由素數生成的N乘子半群上:

式中,P為由一些素數構成的集合.如果A?N,則＜A＞表示由A生成的乘子半群(含有1).

本工作將得到一個使用M¨obius函數表述的一般的子半群上的計數公式,而式(3)則為該公式的特例.這里所說的子半群是指正整數集N的含有單位元1的乘子半群,稱S?N為子半群D?N的生成元系,

在此基礎上如果對任意的s∈S有〈S{s}〉/=〈S〉,則稱S為D的最小生成元系.另外,使用記號

定理1 設S為N的一個乘子半群的一個最小生成元系,S′為一個素數組成的集合,S中任一元素均和S′中元素互素,x為實數,x＞1,則

在定理1中選取S=?,則得到

再進一步選取 S′={2,3,5,7,···} 為全體素數集,此時 〈S′〉=N 以及 NS′(x/d)=就得到式(1).如果選取S為某些素數構成的集合,而S′為與S互補的素數集,即S∪S′為全體素數集 {2,3,5,7,···},得到

由此可以推出式(3),而這在文獻[5]中是直接證明的.

利用定理1,可得到如下兩個推論.

推論1在定理1的符號下,若S′={p},p/∈S為一個素數,則下式成立:

推論2在定理1的符號下,設s≥0為自然數.如果S′={p1,p2,···,ps},諸pi/∈S為互異素數,則下式成立:

這些公式給出了一種估計NS(x)階的遞歸方法.為了敘述定理2,需引入一些記號.設{pi}為無限遞增素數列,數列{cn|n≥1}為

當n≥2時定義數列為

數列{dn|n≥1}由遞推公式

給出.數列{en|n≥1}則由遞推公式

給出.

定理2 設正整數x≥3,{pi}為無限遞增素數列,t為任意正整數,數列{cn},{dn},{en}分別按式(7),(9)以及(10)定義,有

式中,et(lnx)t?1≤ ft(x)≤ dt(lnx)t?1.

目前,對于NS(x)階的研究主要集中在當S是素數構成的集合時[6-7].

1 定理1的證明

定理1的證明使用符號δ來表示特征函數,當x∈A時δA(x)=1,而當x/∈A時δA(x)=0.證明當n ∈ 〈S ∪S′〉時

分兩種情況討論：n∈〈S〉以及n/∈〈S〉.當n∈〈S〉時δ〈S〉(n)=1.由于S及S′中元素互素,因此 〈S〉∩ 〈S′〉={1}. 故而對于d∈ N,d∈ 〈S′〉且 d|n當且僅當 d=1,因此式(12)成立.當n/∈〈S〉時由生成半群的定義(4)可以得到分解式

式中,k≥0,m≥0,αi≥1,βi≥1均為自然數,si∈S,pi∈S′,諸si各不相同,諸pi也各不相同.因為S及S′為相互間元素互素的最簡生成元系,所以S∪S′也是最小生成元系,進一步分解式(13)中pi部分在不計次序的意義下唯一.另外,由于n∈/〈S〉故而m≥1.在這種情況下,對于d∈N有d∈〈S′〉且d|n當且僅當d|,故

上式中第2步的推導可參考任何一本初等數論教材[8].另外,當n/∈〈S〉時δ〈S〉(n)=0,這就證明了式(12)成立.

在式(12)兩邊對所有n∈〈S∪S′〉:n≤x求和得到

上式左邊即為NS(x),計算上式右邊得到

為了在式(14)右邊第2個求和號內使用變量替換n=dn′,注意到若d∈〈S′〉,n′∈N,則dn′∈ 〈S ∪ S′〉當且僅當 n′∈ 〈S ∪S′〉. 于是

推論1的證明 推論1可立即由定理1推出,只要注意到此時

并利用M¨obius函數的定義即可.

推論2的證明 推論2可通過推論1以及數學歸納法證明.

2 定理2的證明

在定理2之前數列{an}的定義中涉及一個解析函數的最大值,此最大值的存在性由如下引理保證.

引理1 設t≥2為正整數,以及

引理1的證明 對于t=2結論顯然成立,故下面設t≥3.對g(z)中2個二項式展開得

g(z)為有理函數,故g(z)的所有極點即為其分母的所有零點.而

的全體零點是方程(1+z)t?1=1的非零解,即

復平面上的點z=0到這些零點距離的最小值為

利用不等式

并且注意到t≥3就得到

在定理2的證明中需要使用關于變量t及x的二元數學歸納法[9].

引理2 設t0及x0為整數,P(t,x)是關于整數變量t≥t0及x≥x0的命題,如果

(1)對于t=t0且x≥x0,命題P(t,x)成立,

(2)對于t≥t0且x=x0,命題P(t,x)成立,

(3)對一切滿足 t0≤ t′≤ t,x0≤ x′≤ x 以及 t′+x′＜ t+x 的 t′,x′,命題 P(t′,x′)成立,則命題P(t,x)成立,那么對于一切t≥t0及x≥x0,命題P(t,x)成立.

定理2的證明 證明關于正整數變量t和x的不等式

使用關于變量t及x的二元數學歸納法(引理2)來證明.

所以有

步驟2 在條件t≥1,x=3下證明,即需證明

觀察到

就能得到

容易驗證,在每種情況下ft(3)均為正數,而et≤0,就得出了式(19)左邊的不等式.對t使用歸納法來證明式(19)右邊的不等式.當t=1時已在步驟1中證明.假設命題變量為t?1,t≥2時式(19)成立,由此來證明當命題變量取為t時式(19)成立.對于t≥3的情況,如果p1≥5,則由數列{dn}定義,歸納假設以及顯然的不等式

可以得到

如果p1=3或p1=2且p2≥5,則有類似的推導:

而如果p1=2且p2=3,推導類似.對于t=2的情況,若p1≥5,則仍可使用式(20)中的方法推導;若p1=3或p1=2且p2≥5,則仍可使用式(21)中的方法推導;若p1=2且p2=3,則有

這就完成了對t的歸納法,從而完成了步驟2的證明.

步驟3 假設對一切滿足 1≤ t′≤ t,3≤ x′≤ x以及t′+x′＜ t+x的t′,x′,式 (16)成立,證明對于t和x也成立.t=1的情況前面已經證明過,因此設t≥2.在推論1中令S={p1,p2,···,pt?1} 以及 p=pt,然后兩邊除以 (lnx)t可以得到

上式右邊第2項使用了公式

證明

由式(24)及(25)就能證明式(16)右邊的不等式對t和x成立.觀察到式(25)等價于

分x≥有

由上式以及引理1知

式(26)中dt?1的系數為

這就在x≥的差別.由式(22)知

由此可推出此時t≥3.證明和式(26)等價的如下不等式:

結合推出

從而

注意到式(28)中的推導對于情況也成立.結合式(28),(30)以及{dn}的定義(式(9))就能推出式(29).這樣就證明了式(16)右邊的不等式對t和x成立.下面證明式(16)左邊的不等式對t和x成立.由式(23)以及歸納假設知

下面證明

由式(31)以及(32)就能證明式(16)左邊的不等式對t和x成立.可以看到,這和式(25)的證明是類似的,即首先寫出式(32)的等價形式

其中c=0,1或2.故

因為x＜3pt≤,所以式(34)中(lnx)t?1的系數

另外,當x≥5時容易驗證(注意t≥2以及c≤2)

當x=4時c=1,故上式也成立.由于已經就4≤x＜3pt證明了式(16),而x=3的情況已經在步驟2中證明,因而對于x＜3pt,式(16)均成立.這就完成了歸納法的步驟3,從而完成了整個證明.

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Counting problem in multiplicative subsemigroups of positive integers

ZHU Xiaojie, YAO Weili
(College of Sciences,Shanghai University,Shanghai 200444,China)

Let S and S′be minimal systems of generators of specif i c subsemigroups of positive integers N.If,then〈A〉is the subsemigroup generated by A.Let NA(x):=tained via elementary methods of changing summation order.With this formula and induction on several variables,an asymptotic estimation of the number of element in a subsemigroup generated by a f i nite set of primes is obtained.

M¨obius function;subsemigroups of integers;primes;arithmetical function;asymptotic estimation

O 156.4

A

1007-2861(2017)05-0722-10

10.12066/j.issn.1007-2861.1749

2015-11-13

國家自然科學基金資助項目(11301325)

姚維利(1977—),女,副教授,博士,研究方向為解析數論.E-mail:yaoweili@shu.edu.cn