抽象思維引領下的數學概念教學

陳朝陽

摘 要：在數學概念教學中，教師應以感知概念、形成概念、理解概念、深化概念為序，由具體到抽象，按照學生的認知規律設計教學，引導學生學會由具體事物到抽象概念的形式，把思維變式與反思滲透其中，提升思維品質.

關鍵詞：抽象思維；概念教學；反思提升

數學的核心概念在教學中至關重要.在不同的教學觀指導下，會有不同的教學設計.一是關注數學概念的內涵，教學過程中將概念的內涵層層演繹，深入淺出地展示在學生面前，或在師生的對話交談中體驗概念的生成過程，為培養學生的創新意識打下基礎，但由于概念的內涵展示強調過程，因而在“八股文”式的教學評估中難以實施.二是關注數學概念的外延，教學中忽視概念內涵的挖掘，注重概念外延的深入挖掘，以提升學生的應試能力，這一教學設計方法成為目前中學教學的常態，因為它為中等水平的學生迅速提升應試能力，參與“立竿見影”式的教學評價提供捷徑.三是既關注數學概念的內涵，又關注數學概念的外延，既介紹概念生成的背景，又在數學概念的外延上進行變式訓練，這是在素質培育與應試能力訓練的結合上尋找一種平衡，本文關于“充分條件與必要條件”的課例正是一次探索.

人民教育出版社A版數學選修1-1，§1.2.1“充分條件與必要條件”，結合實例給出推斷符號“[?]”并引出充分條件、必要條件的概念.它們是研究命題的條件與結論之間的邏輯關系的重要工具，是中學數學中最重要的數學概念之一.在“充分條件與必要條件”這節內容前，教材安排了“命題及其關系”作為必要的知識鋪墊，并把充分、必要條件的定義安排在第一課時，第二課時學習充要條件.本節所講的充分條件、必要條件中的p、q與四種命題中的p、q內容是一致的，即它們可以是簡單命題，也可以是“若p則q”形式的復合命題，但本節中，一般只要求p、q是簡單命題，而不作更深的討論.本節集中精力突破充分條件與必要條件，充分不必要條件，必要不充分條件概念，以及如何通過集合思想方法來判斷，因為解決了這兩個重要概念，就可以比較容易理解后面的充要條件的概念，本節課不涉及充要條件和既不充分也不必要條件，這也是教材設計者的用意之一.

一、感知概念

問題情境：

①請寫出命題“若[x>a2+b2]，則[x>2ab]”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假；

②請寫出命題“若[ab=0]，則[a=0]”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假.

T：觀察學生填寫，請學生回答上述問題.

S1：逆命題：若[x>2ab]，則[x>a2+b2]，為假命題；

否命題：若x≤a2+b2，則x≤2ab，為假命題；

逆否命題：若x≤2ab，則x≤a2+a2，為真命題.

S2：逆命題：若[a=0]，則[ab=0]，為真命題；

否命題：若ab≠0，則a≠0，為真命題；

逆否命題：若a≠0，則ab≠0，為假命題.

【設計說明】從具體問題出發來引出數學概念更符合學生的認知規律.問題情境①②在這里起到承上啟下的作用，既復習了前面所學知識，又找準了學生知識結構上的生長點，為后面充分條件和必要條件的學習做準備.

問題1：能否改變②中的條件，即增加一定的限制條件，使原命題變成真命題？

T：數學課代表，你先來試一試！

S3： 設b為非零實數，若[ab=0]，則[a=0.]

T：學習委員，你有新的命題嗎？

S4：若[ab=0]且[ab]=0，則[a=0]，…

【設計說明】此問題有較大的思維空間，不同層次的學生都能在這個問題上同層次地施展，以此讓學生認識到命題中的條件與結論之間應該具備某種關系.

T：以上兩個問題的解答可以發現有的命題真，有的命題假，即有的命題可以從條件推得結論，有的則不能；而另外也有命題只要結論成立，就一定不能少了命題給出的條件，但是沒有這個條件，結論不一定能成立.那么命題中的條件與結論到底有怎樣的因果關系呢？

二、形成概念

T：為了簡潔表達因果關系，當“若p，則q”是真命題時，我們就說，由p可推出q，記作“[p?q]”； 當“若p，則q”是假命題時，我們就說，由p推不出q，記作“p q”.

請用“[?]”和“ ”符號表示“感知概念”中的①和②及其逆命題.

S6：原命題條件推不出結論，填“ ”， 逆命題條件推出結論，填“[?]”.

【設計說明】理解“[?]”符號的含義，為引出定義奠定知識基礎.通過研究原命題，對建立在學生原有認知水平上“充分”這個感性化的詞匯獲得數學意義上的認識，引出充分條件的定義；通過研究逆否命題，又讓學生理解了q是p成立的“必須要有”的條件，引出必要條件的定義.

定義：“p[?]q”，也就是條件p“足以”保證或“充分”保證結論q成立，這時我們說p是q的充分條件（sufficient condition）；從命題的角度看，“[p?q]”，根據逆否命題與原命題的等價性，也就是如果沒有q成立，就一定沒有p成立，q成立是p成立“必須要有”的前提條件，我們說q是p的必要條件（necessary condition）.

T：“[p?q]” 稱p是q的充分條件通俗理解：要使q成立，有p成立就足夠了；稱q是p的必要條件” 通俗理解：q是p成立的必不可少的條件，若沒有q，則p一定不成立.“[p?q]且q p”表示p是q的充分而不必要條件；q是p的必要而不充分條件.

T：請用新定義表述完成上述兩表.

S7：∵p：[x>a2+b2][?] q：[x>2ab]，∴p是q的充分條件.

T：把原命題和逆命題合并思考，又如何表述？endprint

S7：q：[x>2ab]， p：[x>a2+b2]，∴p是q的充分不必要條件.

S8：∵p：[ab=0] q：[a=0]，而q：[a=0][?]p：[ab=0]，∴p是q的必要不充分條件.

【設計說明】通過以上的實例，學生親身感知了概念的發生與形成過程，使充分、必要條件定義的引入順理成章，水到渠成，幫助學生突破難點.

問題2：如何判斷p是q的什么條件？

S9：p可能是q的充分條件，也可能是必要條件.故判斷能否有[p?]q或[q?p].

例1 判斷p是q的什么條件，完成下表：

S10：∵x=1[?][x2-4x+3=0]，[x2-4x+3=0][?] x=1，∴p是q的充分不必要條件.

S10：∵f（x）=x[?][f（x）]在[（-∞，+∞）]上為增函數；反推不成立，∴p是q的充分不必要條件.

S10：∵x=[2]時，x2為有理數；“[x]為無理數” “[x2]為無理數”，反過來，我不會判斷.

T：誰能判斷？

S11：[x2]為無理數[?][x]為無理數，否則，若x為有理數，x2為有理數，與[x2]為無理數矛盾，∴p是q的必要不充分條件.

S12：∵兩個三角形全等[?]這兩個三角形面積相等，反推不成立，∴p是q的充分不必要條件.

T：以上同學的分析和判斷正確，誰將判斷p是q的什么條件的步驟理一理？

S13：首先認清條件p和結論q；然后考察是否有[p?]q和q[?][p]，即原命題和逆命題的真假；最后作出判斷.

三、理解概念

例2 下列條件中哪些是[a+b>0]的充分而不必要條件？

A.[a>0，b>0] B. [a<0，b<0]

C. [a>0，b<0]且[|a|>|b|]

D.[a=3，b=-2] E.[a>-b] F.且[|a|>|b|]

引導：A，B，C，D，E，F中，誰能推出[?][a+b>0]，但反過來，推不出.

S14：∵[a>0，b>0]，[a>0，b<0]且[|a|>|b|]，[a=3，b=-2]能推出[a+b>0]，反過來，推不出，∴選A，C，D.

【設計說明】加強學生思維的靈活性、分析問題的深刻性.

體驗：請同學們自己編寫一個“充分而不必要條件、必要而不充分條件”的數學命題.

S15：若x>y>0，則x2>y2.

S16：在空間，兩直線無公共點，則兩直線為異面直線……

【設計說明】給學生提供活動的時（思維時間）空（思維空間），讓主體主動構建自己的認知結構，幫助學生深化理解并運用定義，同時讓學生在這一過程中獲得成功的喜悅.

四、深化概念

T：如果[p][?]q，但q [p]，那么[p]是q的充分不必要條件，q是[p]的必要不充分條件.

另外還可以表述為：q的充分不必要條件是p，p的必要不充分條件是q.

例3 寫出[|x|>1]的一個必要不充分條件

.

思考：尋找結論q，使得[|x|>1][?]q，但q [?][|x|>1].

S17：x∈R

S18：x≠0，…

問題3：如果p表示某元素x屬于集合P，q表示該元素屬于集合Q，如何用集合間的關系理解“[p][?]q”的含義？

結論：“[p][?]q”即：[x∈P?x∈Q]，則[P?Q.]

T：若[P?Q]，則p是q的充分條件；若[Q?P]，則P是Q的必要條件.

例4 設f（x）=x2-4x（x∈R），則f（x）>0的一個必要不充分條件是（ ）

A. x>0 B. x<0或x>4

C. x>2 或x<0 D. x>5或x<-1

S19：選擇D.

提示：從A，B，C，D，尋找結論q，使得 f（x）>0[?]q，但q f（x）>0.

從集合角度思考就是由P=（-∞，0）（4，+∞）尋找一個集合Q，使得[P?Q].

T：物理課代表，你試一試！

S20：選擇C.

【設計說明】強化認清條件和結論的重要性，使學生學習用集合的思想進行判斷，更直觀、快捷.

高考體驗：（選擇近幾年高考中充分條件與必要條件的8個題，略）

【設計說明】8個高考題強化基礎，促進學生養成正確的思維習慣，幫助學生突破難點.學生做全對的占20%，做對7個以上占50%，做對6個以上占85%以上.

T：通過本節課的學習，你主要有哪些收獲？

S21：我知道了什么是充分條件、必要條件，什么是充分不必要條件、必要不充分條件.

知道了判斷充分條件、必要條件的三個步驟以及如何通過集合工具來判斷，但在判斷時，對于例3、例4的表述方式判斷有些不習慣.

T：由S21的回顧，本節課所學內容我們可以概括為：

二概念：充分條件，必要條件.

三步驟：①找出p，q；②判斷p[?]q與p[?]q的真假；③下結論.

一思想：用集合思想判斷命題因果關系.

課例研究之一是關注課堂文化，營造課堂文化的主體是學生、教師、教材與教學設備.

從學生角度來看，上述課例的教學對象是數學思維層次較低的學生，對于充分條件、必要條件的數學本質，將不具備“形”的邏輯關系轉化為“表格”式的直接能力，教師的引導、注意與點評語言給學生指明了探索的方向.

從教師角度來看，上述課例中的問題是教材與教師設計與構造的，學生是否能主動地提出幾個問題，或者是學生根據自己學習中的困惑提出一些問題來，這也從另一個側面反映我們的課堂中學生主動提出問題的氛圍沒有形成，這與新課程教育理念相差較遠，值得進一步思考與研究.endprint