基于改進Lorenz混沌系統的圖像加密新算法

汪彥，涂立

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基于改進Lorenz混沌系統的圖像加密新算法

汪彥1, 2，涂立2

(1. 中南大學軟件學院，湖南長沙，410083；2. 湖南城市學院信息與電子工程學院，湖南益陽，413000)

為了提高圖像加密算法的加密安全性和抗攻擊能力，提出一種基于改進Lorenz混沌系統的圖像加密新算法。首先，將Lorenz系統中的1個非線性項用指數函數項與單變量2次平方項的和替代；然后，分析該改進Lorenz系統的動力學特性，證實其混沌特性；最后，利用該混沌映射生成分別用于置亂加密和替代加密的2組密鑰序列，進行圖像的加密和解密操作：在置亂加密階段，將圖像像素灰度進行升序排列，并與置亂加密密鑰序列結合實現像素位置置亂；在替代加密階段，采用密文反饋的加密方式修改像素灰度。研究結果表明：該算法能有效抵御選擇明文攻擊，密文圖像像素具有類隨機均勻分布特性，且相鄰像素具有零相關特性，擁有192 bit的密鑰空間且對密鑰非常敏感。

Lorenz系統；圖像加密；混沌系統；置亂

圖像是人們獲取信息的主要來源。相關統計結果表明，視覺提供了人們每天所感知信息的比例高達80%。圖像是視覺信息的主要表現形式之一，具有形象、直觀、生動的特點，在生活中得到了廣泛應用。隨著計算機網絡技術和通信技術的迅猛發展，越來越多的數字圖像需要在復雜多變的網絡環境中處理、傳輸和存儲，圖像信息的安全性問題日益受到重視[1]。在很多應用場合，數字圖像信息往往與個人隱私、商業秘密、軍事情報甚至國家安全等密切相關，如何合理采用加密技術、切實保障這些信息不被非授權者非法竊取，是具有現實意義而不容忽視的重大問題。由于數字圖像自身具有數據量大、相關性強以及冗余度高等特點，使得傳統的密碼學方法應用到圖像加密場合效果并不理想[2]。由于混沌系統具有類隨機性、遍歷性和初值敏感性等特點，因此，將離散混沌系統運用于加密領域[3]，并提出了基于混沌的圖像加密思 想[4]。自此，研究者紛紛將圖像加密與混沌聯系起來。涂立等[5]提出了一種基于二維廣義Logistic混沌映射的圖像加密算法；YANG等[6]提出了一種基于混沌約瑟夫矩陣的圖像加密算法；陳鴻等[7]采用混沌理論和小波變化，設計了圖像加密壓縮算法；鄧曉衡等[8]針對加密算法存在的安全缺陷問題，提出了一種像素位置與比特雙重置亂的圖像混沌加密算法。采用一維的混沌系統對圖像加密，存在安全性低、密鑰空間小等問題，為此，鄧曉衡等[8?14]采用高維Lorenz系統或改進Lorenz系統進行圖像加密。為進一步提高安全性、擴大密鑰空間、抵御選擇明文攻擊，本文作者提出一種基于改進Lorenz混沌系統的圖像加密新算法。

1 混沌系統

所謂混沌[15]，就是指在確定性的非線性系統中出現的一種看似毫無規則、類似隨機的獨特現象，表現出對系統初值和控制參數的高度敏感性和類隨機行為。混沌一般具有如下特征：初值敏感性；內隨機性；遍歷性。混沌的優良特性使其非常適合應用到密碼學領域。下面介紹Lorenz混沌系統及其改進方法。

1.1 Lorenz系統

洛倫茲在研究對流實驗的過程中發現了一個高維的動力學系統，這是世界上第1個表現奇異吸引子的連續動力學系統，同時表現出非常復雜的非線性動力學行為特征。該系統描述了從水桶底部加熱時桶內液體的運動情況。這一系統被稱為Lorenz系統[16]，其動力學方程如下：

其中：，，和為Lorenz系統參數，均可取大于0的任意實數，當取=10，=28，=1，=8/3時，Lorenz系統進入混沌狀態。由上述Lorenz混沌系統得到的混沌序列在應用到信息加密場合時，存在寬頻帶特性較弱、序列相關性不夠理想以及局部區域的單調性等問題，因此，有必要對Lorenz混沌系統加以改造，以便更加契合信息加密領域的實際需要。

1.2 Lorenz系統的改進方法

張成亮等[17]提出將Lorenz微分方程組的變量的微分方程中的非線性項用指數函數e替換。取系統參數=10，=40，=1，=2.5時，可得最大的Lyapunov指數E1=1.733 0。而對于同樣的參數設置，原始Lorenz系統(1)的最大Lyapunov指數1=1.213 2。該改進系統比系統(1)具有更大的正的Lyapunov指數，這說明前者的混沌行為更復雜，根據前者得到的混沌系列更適宜于信息加密。

官國榮等[12]提出用2來替代e。當給定系統參數=10，=40，=1，=2.5時，最大的Lyapunov指數1=2.060 6，這說明該改進系統得到了更大的正的Lyapunov指數，其混沌動力學行為表現更復雜。

2 新的改進Lorenz系統及其動力學特性分析

2.1 一種新的改進Lorenz系統

在對原Lorenz系統分析的基礎上，構建如下改進Lorenz混沌系統：

對于上述系統，取參數=10，=40，=1，=2.5時，可得最大的Lyapunov指數1=2.084 0，2=0，3=?13.597 0。這說明系統(2)相比原始Lorenz系統以及張成亮等[17]提出的改進系統得到了更大的正Lyapunov指數，其混沌行為表現更加復雜。通過反復實驗發現，對于系統(2)的第3個方程，平方項系數設置為200，指數函數項系數設置為0.01，此時，系統(2)具有更加復雜的混沌行為。

2.2 改進Lorenz系統的動力學特性分析

對于改進Lorenz系統(2)，有必要從混沌系統動力學角度出發，對該系統的動力學性質進行深入探究。

2.2.1 改進Lorenz混沌系統的混沌吸引子的相位圖

對于系統(2)，給定系統參數=10，=40，=1，=2.5時，采用Matlab7.1繪制該混沌系統的混沌吸引子的相位圖，如圖1所示。

由圖1可知：改進的Lorenz混沌系統(2)的混沌吸引子的拉伸軌線和折疊軌線非常復雜，呈現出混沌特征。

2.2.2 系統的對稱性分析

系統(2)在變換:(，，)→(，?，)下保持不變，這說明系統(2)關于軸對稱。

2.2.3 耗散性即混沌吸引子的存在性

2.2.4 平衡點與穩定性分析

將系統參數=10，=40，=1，=2.5代入式(3)，即可得到系統(2)的3個平衡點：1(0，0，0.004 0)，2(?0.715 8，?0.715 8，41.000 0)，3(0.715 8，0.7158，41.000)。

現將系統(2)線性化，可得到其Jacobian矩陣：

將點1(0，0，0.004 0)代入式(4)，根據Jacobian矩陣可解出3個特征根：1=25.241 5，2=16.241 5，3=?2.500 0。這些特征根中既有正值也有負值，據Routh-Hurwitz條件，可知點1是不穩定鞍結點。同樣地，分別將點2(?0.715 8，?0.715 8，41.000 0)和3(0.715 8，0.715 8，41.000 0)代入式(4)，可得到3個特征根：1=?17.153 6，2=2.862 8+10.559 2i，3= 2.862 8?10.559 2i。其中，i為虛數單位；λ1為負實根，2和3則為1對具有正實部的共軛復根，據此可判定2和3均為系統的不穩定鞍結點。

(a)?平面投影；(b)?平面投影；(c)?平面投影；(d) 混沌吸引子相位圖

圖1 系統(2)混沌吸引子的平面投影與相位圖

Fig. 1 Plane projections and phase diagram attractors of system (2)

2.2.5 Lyapunov指數與維數分析

混沌的一個非常重要的特點是初始狀態的細微不確定性以指數速度快速擴大，這種軌跡發散或者收斂的比率可用Lyapunov指數定量刻畫。利用Jacobian矩陣可計算動力系統的Lyapunov指數。給定系統參數=10，=40，=1，=2.5，并確定初值為(3，3，3)，計算系統(2)的3個Lyapunov指數,依次用1，2和3表示，隨時間變化的曲線如圖2所示，其中1=2.084 0，2=0，3=?13.597 0。

1—L1；2—L2；3—L3。

根據求得的Lyapunov指數，可按下式計算系統(2)的Lyapunov維數為

可求出d=2.153 0。由此可見，系統(2)有1個Lyapunov指數是正值，而其Lyapunov維數是分數，故系統(2)是混沌系統。

3 圖像加密算法基本原理

本文提出的圖像加密算法利用提出的改進Lorenz系統生成用于加解密的混沌序列流，下面分別介紹加密過程和解密過程。

3.1 圖像加密過程

本文提出的圖像加密算法屬于典型的置亂—替代結構的混沌加密方案。這種方案一般先利用混沌映射對圖像像素位置進行置亂，然后利用混沌映射對圖像像素替代加密。

3.1.1 基于圖像像素位置的置亂加密

所謂像素位置的置亂，指按照某種方式將圖像的各個像素的位置在全圖范圍內進行改變，以降低甚至消除圖像中相鄰像素之間的相關性，從而增強圖像加密的安全性。圖像像素的置亂加密算法具體步驟如下。

式中：x和y為L的2個分量；=1，2，3，…，×。

3.1.2 基于異或運算的像素替代加密

像素替代加密階段主要完成對置亂圖像像素序列的元素的替代加密，以改變加密圖像的直方圖，進一步混淆密文圖像與明文圖像之間的關系，增強算法的安全性。基于異或運算的圖像像素替代加密的具體操作步驟如下。

Step 4：將一維的最終密文圖像的像素序列轉換為二維×的矩陣，得到最終的密文圖像。至此，整個加密算法結束。

3.2 圖像解密過程

圖像的解密過程是加密的逆過程。加密算法分為像素置亂加密與像素替代加密這2個按先后順序依次進行的過程。圖像解密同樣包含2個過程，即圖像替代解密和像素置亂解密。需注意的是，需要先進行圖像替代解密操作，然后進行像素置亂解密操作。圖像解密具體過程如下。

4 仿真實驗效果

在算法的仿真實驗過程中，選擇經典的分辨率為256×256的8位灰度圖像作為實驗對象，在Win7平臺上利用Matlab7.1進行仿真實驗，混沌映射的初值和參數設置為：0=0.12，0=0.23，0=0.34，=10，40，=1，=2.5。由實驗采用的原始圖像和仿真實驗得到的加密圖像如圖3所示。由圖3(b)可以觀察到：憑借肉眼來判別，加密圖像中已看不到任何有用信息，也無法直接獲取加密圖像與原始圖像之間的關聯。

(a) 原始圖像；(b) 加密圖像

5 算法性能分析

5.1 直方圖分析

灰度直方圖是灰度級的函數，描述的是圖像中各灰度級具有的像素個數，直觀地體現了灰度圖像中像素的分布特性。圖4所示為原始明文圖像和加密圖像的灰度直方圖。原始圖像的像素灰度分布極不均勻，而加密圖像的像素灰度在[0，255]的區間較均勻分布。這說明加密算法完全改變了圖像像素灰度的統計特性，使得密文圖像能夠抵御統計攻擊。

5.2 信息熵分析

(x)需要滿足下式給定條件：

5.3 圖像相鄰像素的相關性分析

針對圖3所示的原始圖像和加密圖像，分別在水平、垂直、對角這3個方向上，各自隨機挑選1 000組鄰點，計算它們的相關系數。仿真實驗結果如表1所示。

表1 原圖和密圖的相鄰像素的相關系數

由表1可知：原始圖像的相鄰像素之間的相關系數絕對值都超過了0.900 0，相鄰像素是高度相關的。而加密圖像的相關系數的絕對值都小于0.010 0。這說明提出的加密算法破壞了原始圖像中相鄰像素的相關性，密文圖像的像素分布具有良好的隨機性。

5.4 密鑰敏感性測試

對于加密算法而言，只有使用正確的密鑰才能正確解密得到原始明文圖像。對正確密鑰進行微小改變，得到的解密圖像與原始圖像差別很大，無法從解密圖像中獲取有意義的原始圖像相關信息，這種特性即為加密算法的密鑰敏感性[20]。下面分別采用正確的密鑰參數和不同的錯誤密鑰參數對加密圖像進行解密實驗，以檢驗所提出算法的密鑰敏感性。

首先，采用正確的密鑰參數1=0.12，1=0.23，1=0.34，所得到的解密圖像如圖5(a)所示。該圖像與圖3(a)所示原始圖像是一致的，這說明采用正確的密鑰參數能夠成功地將密文圖像恢復成明文圖像。然后，依次將1，1和1這3個參數的其中1個參數增加10?10，同時其余2個參數取正確的密鑰參數，先后進行3次解密實驗，得到的錯誤解密圖像分別如圖5(b)，(c)和(d)所示。從圖5可見：即便只對密鑰參數進行細微改變，得到的解密圖像呈現類似于噪聲的分布狀態，與明文圖像區別很大。

(a) 正確密鑰解密圖像；(b) 錯誤密鑰x1=0.12+10?10解密圖；(c) 錯誤密鑰y1=0.23+10?10解密圖；(d) 錯誤密鑰z1=0.34+10?10解密圖

在仿真實驗中，采用的明文圖像和利用不同密鑰得到的解密圖像之間的灰度均方差如表2所示。從圖6和表2可知：只有使用正確的密鑰，才能通過解密還原出明文圖像；即使密鑰中的3個參數中某個參數發生微小變化，解密得到的圖像也無法分辨出有意義的內容，且解密圖像與明文圖像之間的像素灰度均方差都在15 000以上，兩者差別很大。這說明提出的加密算法對密鑰中的3個參數均非常敏感。

表2 P與P′的均方差

5.5 密鑰空間分析

算法的密鑰空間是否足夠大，能否抵抗攻擊者的窮舉攻擊，是評判加密算法優劣的一個重要方面。本文提出的圖像加密算法基于改進的Lorenz混沌系統，其密鑰牽涉到0，0和0這3個雙精度參數。若雙精度類型數據在計算機中為64 bit，那么，提出的加密算法密鑰空間為264×264×264=2192。若將改進Lorenz混沌系統的參數，，和也作為密鑰參數，則密鑰空間更大。因此，本加密算法的密鑰空間足夠大，能夠有效地防范窮舉攻擊。

6 結論

1) 提出一種新的改進Lorenz混沌系統。將Lorenz系統中的1個非線性項用指數函數項與單變量2次平方項的和替代，其能產生更復雜的混沌吸引子，具有更大的正Lyapunov指數。這說明改進的Lorenz混沌系統具有更好的混沌特性，有利于改善基于該改進Lorenz混沌系統的圖像加密算法性能指標。

2) 提出一種有效抵御選擇明文攻擊的圖像置亂加密方法。在由改進Lorenz混沌系統構造用于置亂的序列流后，將圖像的灰度序列進行升序排列，然后將圖像灰度升序序列與置亂序列流的對應元素相乘，利用得到的新序列進行置亂加密。這種置亂加密方法與明文圖像的內容緊密相關，能有效抵御選擇明文攻擊。

3) 在圖像像素替代加密階段引入密文輸出反饋機制，即將前一像素的加密結果作為加密密鑰參與下一個像素的替代加密，強化了密文擴散效應，使得算法能夠抵御差分攻擊。

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(編輯 陳燦華)

A new image encryption algorithm based on improved Lorenz chaotic system

WANG Yan1, 2, TU Li2

(1. School of Software,Central South University, Changsha 410083, China;2. School of Information and Electronic Engineering, Hunan City University, Yiyang 413000, China)

In order to improve the security and anti-attack ability of image encryption algorithm, a new image encryption algorithm based on improved Lorenz chaotic system was proposed. Firstly, a nonlinear term in the Lorenz system was replaced by an exponential function term and a two-square term of a single variable. Then, the dynamic characteristics of the improved Lorenz system were analyzed, which proved the chaotic characteristics of the system. Finally, the chaotic map was used to generate two groups of key sequences which were used for scrambling encryption and alternative encryption. In the scrambling encryption stage, the image pixel gray values were arranged in ascending order, and were combined with encryption key sequence to achieve pixel position scrambling. In the replacement encryption stage, the gray values of the pixels were modified by the way of cipher text feedback. The results show that the algorithm can effectively resist chosen plaintext attack, and the encrypted image has random-like distribution behavior of grey values and the adjacent pixels have zero correlation. The algorithm has 192 bit key spaces and it is very sensitive to the key.

Lorenz system; image encryption; chaotic system; scrambling

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.10.017

TP309.7

A

1672?7207(2017)10?2678?08

2016?08?20；

修回日期：2016?10?25

湖南省教育廳科研項目(17C0296)；益陽市指導性科技計劃項目(20165111)(Project(17C0296) supported by the Scientific Research of Department of Education of Hunan Province; Project(20165111) supported by the Guiding Science and Technology Planning of Yiyang City, Hunan Province)

汪彥，講師，從事智能信息處理、數字圖像處理等研究；E-mail：shaoguanzai@sina.com