分數(shù)階累加多變量灰色模型FMGM(1,n)及應(yīng)用

羅佑新

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分數(shù)階累加多變量灰色模型FMGM(1,)及應(yīng)用

羅佑新

(湖南文理學(xué)院洞庭湖生態(tài)經(jīng)濟區(qū)建設(shè)與發(fā)展省級協(xié)同創(chuàng)新中心，湖南常德，415000)

在分析單變量分數(shù)階累加生成和累減生成的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)多變量分數(shù)階累加生成的計算公式，建立多變量分數(shù)階累加灰色模型FMGM(1,)，給出基于最小二乘法估計模型參數(shù)。以分數(shù)階數(shù)為設(shè)計變量，以最小平均相對誤差為目標函數(shù)，建立優(yōu)化模型，以Matlab為平臺編寫優(yōu)化求解程序。多變量分數(shù)階累加灰色模型FMGM(1,)模型是單變量的FGM(1,1)模型在多變量情況下的自然推廣，旨在反映各變量間相互制約、相互促進的關(guān)系。最后給出了算例，算例表明本文所建模型的適應(yīng)性、有效性。

多變量分數(shù)階累加灰色模型FMGM(1,)模型；優(yōu)化；最小二乘法；模型參數(shù)估計

灰色系統(tǒng)理論立足于數(shù)據(jù)很少的灰系統(tǒng)，將已知數(shù)據(jù)序列進行數(shù)據(jù)變換處理，建立獨具特色的微分方程模型，充分發(fā)掘較少數(shù)據(jù)中的顯信息和隱信息，進而從無序的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)有序，推知其未來的發(fā)展規(guī)律[1?3]。GM(1,1)模型是最常用的一種灰色系統(tǒng)模 型[2?3]，它通過單變量的一階微分方程模型(屬整數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型)揭示其內(nèi)在發(fā)展規(guī)律,用于單一時間序列的建模和預(yù)測，而實際系統(tǒng)通常大都是分數(shù)階的, 采用分數(shù)階描述那些本身帶有分數(shù)階特性的對象時，能更好地揭示對象的本質(zhì)特性及其行為，之所以忽略系統(tǒng)的實際階次(分數(shù)階)，主要是因其復(fù)雜性和缺乏相應(yīng)的數(shù)學(xué)工具，這一“瓶頸”正被逐漸克服，相關(guān)成果不斷涌現(xiàn)。分數(shù)階微積分自1965年Leibniz提出后，在控制理論、圖像處理等方面顯示出強大的生命力和優(yōu)越性[4]，它是將通常意義下的整數(shù)階微積分推廣到分數(shù)階。對于灰色GM(1,1)模型，文獻[5]提出了分數(shù)階累加灰色模型GM(1,1)，文獻[6]應(yīng)用分數(shù)階累加灰色模型GM(1,1)對武器維護費進行了預(yù)測，文獻[7]對分數(shù)階累加的離散灰色模型、文獻[8]對分數(shù)階累加灰色模型和分數(shù)階累加的離散灰色模型進行了總結(jié)，并研究了分數(shù)階灰色模型的適應(yīng)范圍。實際的社會、經(jīng)濟系統(tǒng)中往往包含多個變量。各變量相互關(guān)聯(lián)、共同發(fā)展，這時，每一變量的發(fā)展變化都不是孤立的，1個變量要受到其他變量的影響，同時也影響著其他變量。文獻[9]將單變量的GM(1,1)推廣至個變量的多變量灰色模型MGM(1,)。灰色模型MGM (1,)不是GM(1,1)模型的簡單組合，也不同于GM(1,)模型只建立單個元一階微分方程，而是建立個元微分方程，通過聯(lián)立求解，使MGM模型中的參數(shù)能夠反映多個變量間相互影響、相互制約的關(guān)系。文獻[10?12]對多變量灰色MGM模型加以改進，模型更加完備。灰色變量模型 GM(1,1)能擴展到多變量模型，整數(shù)階單變量灰色模型GM(1,1)能擴到分數(shù)階累加灰色模型FGM(1,1)。對于多變量整數(shù)階灰色MGM如何擴展到多變量分數(shù)階累加灰色模型FMGM(1,1)的問題，本文作者在分析單變量分數(shù)階累加生成和累減生成的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了多變量累加生成的計算公式，建立多變量分數(shù)階累加灰色模型FMGM(1,)，給出基于最小二乘法估計模型參數(shù),以分數(shù)階數(shù)為設(shè)計變量，以最小平均相對誤差為目標函數(shù)，建立優(yōu)化模型。多變量分數(shù)階累加灰色模型FMGM(1,)模型是單變量的FGM(1,1)模型在多變量情況下的自然推廣，最后給出了算例，驗證本文所建模型的適應(yīng)性、有效性。

1 多變量分數(shù)階灰色模型FMGM(1,n)

因而，

=1，2，…，(3)

=1，2，…，(4)

FMGM(1,)模型為

其白化微分方程為元階微分方程組

則式(5)可以表示為

為了辨別和，將式(5)離散得到

其中：

則可以得到和的辨別值：

FMGM(1,)模型的計算值為

=1，2，…，(11)

=1，2，…，(12)

定義第個變量的絕對誤差為

第個變量的相對誤差為

第個變量相對誤差絕對值的平均值為

全體數(shù)據(jù)的平均誤差為

上述模型為多變量分數(shù)階累加灰色FMGM(1,)模型，當=1上述模型變?yōu)槎嘧兞炕疑Ｐ蚆GM(1,)。

給定分數(shù)階數(shù)就可計算模型的解，為了得到最合理的解，必須采用優(yōu)化方法進行優(yōu)化。

以分數(shù)階數(shù)為設(shè)計變量，以最小平均相對誤差為目標函數(shù)，分數(shù)階累加灰色FMGM(1,)模型在于求解如下優(yōu)化問題：

將分數(shù)階累加生成算子編成函數(shù)RAGO.m，累減生成算子編成函數(shù)IRAGO.m. 以上述建模型方法調(diào)用分數(shù)階累加生成算子函數(shù)RAGO.m，累減生成算子函數(shù)IRAGO.m編寫模型求解函數(shù)FMGM.m作為目標函數(shù)。編寫主程序main_FMGM.m,以已知數(shù)據(jù)為輸入量，使用MATLAB優(yōu)化設(shè)計函數(shù)fmincom或智能優(yōu)化求解方法(如灰熵量子混沌粒子群優(yōu)化算法[13])調(diào)用目標函數(shù)FMGM.m, 優(yōu)化求解分數(shù)階數(shù)，最后輸出所需求的參數(shù)和模型的檢驗。模型求解后，要對模型進行檢驗以確定模型的是否合適。對MGM(1,)模型進行檢驗的方法常用的有3種[1?3]：殘差檢驗、關(guān)聯(lián)度檢驗以及后驗差檢驗(略)。FMGM(1,)模型同樣使用MGM(1,n)模型的檢驗方法進行檢驗。

2 應(yīng)用實例

例1 TiN薄膜涂層的摩擦學(xué)性能分析。

在載荷600 N , 相對滑動速度分別為0.314，0.417，0.628，0.942和1.046 m/s條件下，TiN薄膜涂層試驗結(jié)果如表1所示[14]。

表1 TiN薄膜涂層試驗數(shù)據(jù)[14]

按本文方法得到滑動速度、摩擦因數(shù)、磨損率的MGM(1,3)模型，模型參數(shù)為

磨損率的模型值為(7.500 00，7.975 61， 8.397 03，9.301 81，11.47 06)，磨損率的相對誤差為(0，?0.304 84%，?1.211 50%，?2.086 20%， 4.278 60%)，其相對誤差絕對值的平均值為1.576 2 %。模型相對誤差平均值為6.331 2%。模型檢驗為“好”。

按本文方法得到滑動速度、摩擦因數(shù)、磨損率的FMGM(1,3)模型，模型參數(shù)為

磨損率的模型值為(7.500 00，7.979 75， 8.447 13，9.384 2，10.975 8)，磨損率的相對誤差為(0，?0.253 15%，?0.622 01%，?1.218 90%，?0.220 44%)，其相對誤差絕對值的平均值為0.462 9%。模型相對誤差平均值為5.969%。模型檢驗為“好”。

例2 CrN薄膜涂層的摩擦學(xué)性能分析。

在載荷為600 N , 相對滑動速度分別為0.314，0.417，0.628，0.942和1.046 m/s條件下，CrN薄膜涂層試驗數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 CrN薄膜涂層試驗結(jié)果[14]

按本文方法得到滑動速度、摩擦因數(shù)、磨損率的MGM(1,3)模型，模型參數(shù)為

摩擦因數(shù)的模型值為(0.323 00，0.331 04， 0.338 22，0.34572，0.36325)，摩擦因數(shù)的相對誤差為(0，0.011728%，?0.229 630%，?1.223 100%，?2.614 400%)，其相對誤差絕對值的平均值為 0.815 77%，模型相對誤差平均值為7.721%。模型檢驗為“好”。

按本文方法得到滑動速度、摩擦因數(shù)、磨損率的FMGM(1,3)模型，模型參數(shù)為

摩擦因數(shù)的模型值為(0.323 00，0.331 29， 0.337 84，0.348 26，0.370 27)，摩擦因數(shù)的相對誤差為(0，0.088 321%，?0.343 180%，?0.497 030%， ?0.731 220%)，其相對誤差絕對值的平均值為 0.331 95%，模型相對誤差平均值為4.499 2%。模型檢驗為“好”。由此可見，本文模型的適應(yīng)性、有效性以及建立本模型的必要性。

3 結(jié)論

1) 將單變量分數(shù)階累加灰色模型FGM(1,)推廣到多變量情形，推導(dǎo)了多變量累加生成的計算公式，建立了多變量分數(shù)階累加灰色模型FMGM(1,)，給出了基于最小二乘法估計模型參數(shù)。

2) 以分數(shù)階數(shù)為設(shè)計變量，以最小平均相對誤差為目標函數(shù)，建立優(yōu)化模型，并編寫了Matlab優(yōu)化求解程序。

3) FMGM(1,)模型是一種狀態(tài)模型,它是單變量的FGM(1,1)模型在多變量情形下的自然推廣,旨在反映各變量間相互制約、相互促進的關(guān)系。FMGM(1,)模型不能代替FGM(1,1)模型,而是FGM(1,1)模型的擴展和補充。算例驗證了本文所建模型的適應(yīng)性和有 效性。

[1] LIU Sifeng, LIN Yi. Grey systems: theory and applications[M]. London: Springer-Verlag London Ltd, 2010: 3?8.

[2] 羅佑新, 張龍庭, 李敏. 灰色系統(tǒng)理論及其在機械工程中的應(yīng)用[M]. 長沙: 國防科技大學(xué)出版社, 2001: 2?16. LUO Youxin, ZHANG Longting, LI Ming. Grey system theory and its application to mechanical engineering[M]. Changsha: National University of Defense technology Press, 2001: 2?16.

[3] 劉思峰, 黨耀國, 方志耕, 等. 灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M]. 7版. 北京: 科學(xué)出版社, 2014: 1?5. LIU Sifeng, DANG Yaoguo FANG Zhigeng, et al. Grey system theory and its application[M]. 7th ed. Beijing: Science Press, 2014: 1?5.

[4] MOGHADDAM T V, BIGDELI N, AFSHAR K. Tuning a fractional order PID controller with lead compensator in frequency domain[J]. World Academy of Science, Engineering and Technology, 2011, 51(1): 1277?1282.

[5] WU Lifeng, LIU Sifeng, YAO Ligen, et al. Grey system model with the fractional order accumulation[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2013, 18(7): 1775?1785.

[6] FANG Shili, WU Lifeng, FANG Zhigeng, et al.Using fractional GM(1,1) model to predict the maintenance cost of weapon system[J]. Journal of Grey System, 2013, 25(3): 9?15.

[7] 吳利豐, 劉思峰, 姚立根. 基于分數(shù)階累加的離散灰色模型[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐, 2014, 34(7): 1822?1827. WU Lifeng, LIU Sifeng, YAO Ligen. Discrete grey model based on fractional order accumulate[J]. Systems Engineering: Theory & Practice, 2014, 34(7): 1822?1827.

[8] 孟偉, 曾波. 分數(shù)階算子與灰色預(yù)測模型研究[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2015: 1?60. MENG Wei, ZENG Bo. Fractional order operator and grey prediction model[M]. Beijing: Science Press, 2015: 1?60.

[9] 翟軍, 盛建明. MGM(1,)灰色模型及應(yīng)用[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐, 1997, 17(5): 109?113. ZHAI Jun, SHENG Jianming. MGM(1,) grey model and its application. Systems Engineering: Theory & Practice, 1997, 17(5): 109?113.

[10] 崔立志, 劉思峰, 吳正朋. 基于向量連分式理論的MGM(1,)模型[J]. 系統(tǒng)工程, 2008, 26(10): 47?51. CUI Lizhi, LIU Sifeng, WU Zenpeng. MGM(1,m) based on vector continued fractions theory[J]. Systems Engineering, 2008, 26(10): 47?51.

[11] HE Zheming, LUO Youxin. Application of new information multi-variable grey model NMGM(1,n) to the load-strain relation[C]//2009 International Conference on Intelligent Computation Technology and Automation (ICICTA 2009). Zhangjiajie, China, 2009: 236?239.

[12] 熊萍萍, 黨耀國, 朱暉. 基于非等間距的多變量MGM(1,m)模型[J]. 控制與決策, 2011, 26(1): 49?53. XIONG Pingping, DANG Yaoguo, ZHU Hui. Research of modeling of multi-variable non-equidistant MGM(1,) model[J]. Control and Decision, 2011, 26(1): 49?53.

[13] LUO Youxin, CHE Xiaoyi, WANG Chao. Grey entropy quantum-behaved chaotic particle swarm optimization based on high-dimension multi-objective optimization design of mixed discrete variables[J]. Electronic Journal of Geotechnical Engineering, 2014, 19(Z2): 10167?10178.

[14] 劉清平,徐笑詞, 何友成. 薄膜涂層摩擦學(xué)性能的灰色分析與預(yù)測[J]. 潤滑與密封, 2003, 28(4): 53?55, 58. LIU Qingping, XU Xiaoci, HE Youcheng. The grey forecast on the tribological behaviors of the film[J]．Lubrication Engineering, 2003, 28(4): 53?55, 58.

(編輯 楊幼平)

Multivariable grey model FMGM(1,) with fractional order accumulationand its application

LUO Youxin

(Hunan Province Cooperative Innovation Center for the Construction & Development of Dongting Lake Ecological Economic Zone, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China)

After analyzing the fractional order AGO and IAGO of single variable, formula of multivariable fractional order AGO was deduced; the multivariable grey model FMGM(1,) with fractional order accumulation was established; the model parameter estimation based on least square method was derived. By taking fractional order and minimum average relative error as design variable and object function, the optimal model was established and the solution program based in Matlab was written. As natural promotion of single variable model FGM(1,1), multivariable grey model FMGM(1,) with fractional order accumulation reflected the interaction of variables. At last, the numerical example was given to indicate correctness and effectiveness of the model.

multivariable grey model FMGM(1,) with fractional order accumulation; optimization; least square method; model parameter estimation

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.10.018

N94

A

1672?7207(2017)10?2686?05

2016?10?25；

修回日期：2017?01?25

湖南省“十二五”重點建設(shè)學(xué)科(湘教發(fā)[2011]76)、湖南省教育廳產(chǎn)業(yè)化培育項目(15CY008)、湖南省戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)科技攻關(guān)類項目(2014GK1043) 、湖南省高校產(chǎn)學(xué)研合作示范基地(湘教通[2014]239)(Project (XJF2011[76]) supported by the Grant of the 12th Five-Year Plan for the Construct Program of the Key Discipline (Mechanical Design and Theory) in Hunan province; Project (15CY008) supported by Industrialization Development Project of Technological Achievements of Universities in Hunan Province; Project (2014GK1043) supported by Hunan Major Special Projects of Science and Technology; Project (XJT [2014] 239) supported by Cooperative Demonstration Base of Universities in Hunan, “R & D and Industrialization of Rock Drilling Machines”)

羅佑新，教授，從事不確定性系統(tǒng)理論、優(yōu)化設(shè)計、機構(gòu)學(xué)及其CAD等研究； E-mail:LLYX123@126.com