圍壓作用下巖石峰后應力?應變關系模型

王佩新，曹平，王敏，陳瑜，王聰聰

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圍壓作用下巖石峰后應力?應變關系模型

王佩新1, 2，曹平1，王敏1，陳瑜1，王聰聰1

(1. 中南大學資源與安全工程學院，湖南長沙，410083；2. 中土集團福州勘察設計研究院有限公司，福建福州，350013)

假定峰后軟化階段任意一點皆滿足摩爾庫侖極限破壞條件，建立巖石峰后后繼屈服面模型。利用巖石峰值處和殘余階段初始處應力狀態繪制幾組莫爾應力圓，獲得不同圍壓下峰值處和殘余階段初始處的黏聚力和內摩擦角，然后分別建立黏聚力和內摩擦角同圍壓的函數關系。基于莫爾?庫侖準則，以最大主應變作為軟化參數，以分段線性函數形式演化黏聚力和內摩擦角的正切，反求內摩擦角，從而建立巖石峰后應力?應變關系模型。數值算例研究Tennessee大理巖三軸試驗的峰后應變軟化過程，模擬結果與試驗結果較吻合。研究結果表明：建立的峰后應力?應變關系模型合理而可靠，可以較好地描述不同圍壓下巖石的峰后力學行為。

圍壓；峰后應力?應變；強度參數演化；Mohr-Coulomb 強度準則

巖石是礦物的集合體，結構和組成成分復雜，是一種復雜力學性質的材料。其峰后力學特性既是巖石力學研究領域的重點，也是難點之一。剛性試驗機的研制，為研究巖石峰后力學行為提供了基礎。圍巖松動圈理論表明巖體峰后力學特性才是決定巷道穩定性的關鍵，因此研究巖石的峰后力學行為對于巷道穩定性和支護理論的發展具有重要的指導意義。對于巖石峰后的力學特性，國內外學者進行了大量的研究工 作[1?12]。HOEK等[1]于1997年將巖石峰后應力?應變曲線分成3個類型：理性彈脆性模型、理想彈塑性模型、應變軟化模型。由于峰后應變軟化模型較為復雜，巖石的峰后力學特性研究主要集中于這個類型。對于該方面的研究主要可分為3個方面：一方面是理論解析研究[2?4]，如：ALEJANO等[2?3]基于Hoek-Brown準則和Mohr-Coulomb準則提出了巖體峰后應變軟化模型；SHARAN等[4]基于Hoek-Brown準則提出了圍巖應變軟化解析式。但由于該方面研究對巖體性質作了過多簡化，計算結果與實際結果存在較大的誤差。第二方面是室內試驗研究，如：于永江等[5]通過對山西含碳泥巖三軸試驗數據擬合，提出了基于退化角的巖石峰后應變軟化模型；余華中等[6]采用顆粒流程序(PFC)中的簇單元模型(CPM)對研究錦屏深埋大理巖峰后變形破壞的脆?延?塑轉換特性進行細觀模擬研究。此外，也有學者從強度參數演化行為角度研究巖石峰后應變軟化行為[7?10]，如：韓建新等[7]基于巖石材料峰后強度參數演化行為，結合強度準則，提出了建立峰后應力?應變關系的一般方法；仝興華等[8]進一步提出了基于裂隙巖樣的多組貫穿裂隙巖體的峰后應力?應變關系求法。這2種方法雖然計算較為簡便，但其較少考慮圍壓對巖石峰后強度參數的影響，往往具有很大的局限性和不合理性。本文作者在前人的基礎上，基于莫爾?庫侖準則，充分考慮圍壓對巖石峰后強度參數的影響，運用分段線性函數形式對黏聚力和內摩擦角的正切進行演化，反求內摩擦角，從而建立巖石峰后應力?應變關系模型，并建立數值模型，最后用Tennessee大理巖三軸試驗數據[13]對數值模擬模型進行合理性驗證。

1 不同圍壓影響下的巖石應力?應變關系

1.1 巖石應變軟化模型

根據Tennessee大理巖三軸試驗數據[13](見圖1)，可將巖石應力?應變曲線簡化為峰前彈性變形階段oa(=1，2，3)、峰后軟化變形階段ab(=1，2，3)和巖石殘余階段bc(=1，2，3)，如圖2所示。

本文基于Mohr-Coulomb強度準則。在固定圍壓條件下，其黏聚力及內摩擦角隨最大主應變的變化而變化，為此以最大主應變作為軟化參數，求得巖石峰后應力?應變關系模型，其表達式為

圖1 Tennessee大理巖三軸試驗數據[13]

圖2 應變軟化簡化模型及同一卸載路徑下的應力狀態

其中：1和3分別為最大主應力和最小主應力。

1.2 不同圍壓影響下的峰值處及殘余階段初始處的強度參數c和φ

巖石隨著峰后塑性變形的發展，其內部結構逐步遭到破壞，裂隙快速發展、貫通形成宏觀斷裂面，出現塊體滑移，其峰值狀態屈服面[14]不同于殘余狀態屈服面，為此，其強度參數黏聚力和內摩擦角各不相同[15]，如圖3所示。

本文利用上述方法分別獲得峰值處及殘余階段初始處下的對應的幾組不同極限應力，并分別繪制峰值處及殘余階段初始處對應的莫爾應力圓，根據幾個莫爾應力圓繪制莫爾強度包絡線，通過包絡線的切點繪制莫爾強度直線，獲得不同圍壓下峰值處及殘余階段初始處相應的黏聚力和內摩擦角，如圖4所示。

利用Tennessee大理巖三軸試驗數據[13]，根據上述方法，可獲得其不同圍壓下峰值狀態及殘余狀態相應的黏聚力和內摩擦角，如表1所示。

根據表1，分別繪出圖5和圖6。圖5所示為峰值狀態下黏聚力和內摩擦角與圍壓3的關系，圖6所示為殘余階段初始處黏聚力和內摩擦角分別與圍壓3的關系。從圖5和圖6可以看出：隨著圍壓的增大，巖石峰值狀態及殘余階段初始處，其黏聚力逐漸增大，而內摩擦角逐漸減小。其原因是：黏聚力表征的是物質內部之間的相互吸引力，隨圍壓的增大，峰后同一塑性剪切應變其相鄰物質之間的間距變小，引力變大，黏聚力變大；內摩擦角表征的是顆粒間的內摩擦力及咬合力，隨圍壓的增大，巖石由脆性逐漸向延性發展，物質內部間逐漸趨于平衡，其內摩擦力及咬合力變小，內摩擦角變小。同時，其黏聚力和內摩擦角分別與圍壓3近似成二次函數關系，其表達式可寫成：

表1 不同圍壓下峰值狀態及殘余狀態的黏聚力c和內摩擦角φ

1—c；2—φ。

圖6 殘余狀態下c，φ與圍壓σ3的關系

其中：1，1，1，2，2和2均為函數系數，且1＞0，2＜0。

以表達式(2)和(3)擬合黏聚力和內摩擦角與圍壓3的關系，得擬合參數如表2所示。其2＞0.90，取得較好的擬合效果。

表2 黏聚力c和內摩擦角φ與圍壓σ3的擬合參數

1.3 強度參數c和φ的演化規律

當確定完峰后軟化階段峰值處及殘余階段初始處的黏聚力和內摩擦角后，應進一步研究同一圍壓下，其黏聚力和內摩擦角在峰后的演化規律。為使問題簡化，通常假定巖石峰后強度參數與應變軟化參數之間為分段線性函數形式[16?18]，其表達式為

其中：，η和η分別為強度參數，峰值階段強度參數及殘余階段強度參數；γ為殘余階段應變軟化參數在殘余階段的初始值。其演化曲線如圖7所示。

根據莫爾?庫侖準則的直線形式可知：

其內摩擦角φ和黏聚力c變化形式不同，但tanφ與c變化形式相同，其原理與強度折減法類似。為此，不直接對內摩擦角φ采用上述演化方法，而是對φ的正切即tanφ和黏聚力c采用上述演化方法，而后再求出φ，最終獲得強度參數c和φ的演化規律如下：

式中：ε和ε分別為峰值處的主應變和殘余階段初始處的主應變；c和c分別為峰值處及殘余階段初始處的黏結力；φ和φ分別為峰值處及殘余階段初始處的內摩擦角。

由式(7)求反正切值，即可得()：

首先確定圍壓，將圍壓代入式(2)和(3)，從而確定峰值處及殘余階段開始處的黏聚力和內摩擦角，再將結果代入式(6)和(8)，獲得黏聚力和內摩擦角的演化規律，最后將式(6)和(8)代入式(1)，即可獲得峰后的應力?應變關系模型。

2 算例及討論

為驗證本文巖石峰后的應力?應變關系模型的合理性，對FANG等[13]的Tennessee大理巖三軸試驗數據(如圖1所示)采用該關系模型進行驗證。對Tennessee大理巖三軸試驗數據整理如表3所示。

表3 Tennessee大理巖三軸試驗數據

建立數值模型如圖8所示，僅包含1個單元的立方體模型來模擬三軸壓縮實驗，其側向施加側圍壓，圍巖σ=σ，模型的下表面為方向的位移約束邊界，加載過程采用軸向位移控制，控制速度為 0.6×10?7m/步。

圖8 三軸壓縮數值模型

根據以上建立的數值模型，結合表3中數據，分別對圍壓為3.45，6.90，13.80，20.70和27.60 MPa這5種情況進行數值模擬。其中，Tennessee大理巖三軸試驗峰值處和殘余階段初始處的黏聚力和內摩擦角可根據表2計算獲得，峰前彈性變形階段采用原點與峰值點連接獲得。

數值模擬獲得的全應力?應變曲線與實測峰后應力?應變數據進行對比，如圖9所示。從圖9可以看出：不同圍壓下數值模擬峰后應力?應變曲線變化趨勢與實驗數據基本吻合，特別是其峰值強度和殘余強度與實驗數據基本一致，這表明本文建立的巖石峰后應力?應變關系模型能較好地描述不同圍壓下巖石的峰后軟化行為，也表明本建立的巖石峰后應力?應變關系模型是合理的。

σ3/MPa：1—3.45；2—6.9；3—13.8；4—20.7；5—27.6。

3 結論

1) 考慮圍壓對峰值處及殘余階段初始處其黏聚力和內摩擦角的影響，發現其黏聚力隨圍壓的增大而增大，而內摩擦角隨圍壓的增大而減小，黏聚力和內摩擦角與圍壓分別成二次函數關系。

3) 結合算例，通過數值模擬獲得三軸壓縮模擬曲線，將之與實驗數據進行對比，結果表明：數值擬合曲線與數據吻合較好，特別是峰值強度和殘余強度與實驗數據基本一致，說明本文給出的巖石峰后應力—應變關系模型能夠準確描述峰后力學特性。

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(編輯 楊幼平)

Post-peak stress?strain relationship model of rock considering confining pressure effect

WANG Peixin1, 2, CAO Ping1, WANG Min1, CHEN Yu1, WANG Congcong1

(1. School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China; 2. CCECC Fuzhou Survey & Design Institute Co. Ltd, Fuzhou 350013, China)

Any point in rock’s post-peak softening stage satisfying Mohr-Coulomb critical failure criterion was assumed and then the post-peak rock subsequent yielding plane model was built. Several Mohr’s stress circles were drawn using the rock state both at the peak position and the initial residual stage. Thenandat the peak position or at the initial residual stage under different confining pressures were determined. The quadratic functional relationship betweenorand confining pressure was found. Regarding maximum principal strain ε as strain softening parameter,and tanwere the piecewise linear functions based on Mohr-Coulomb criterion and the friction anglewas deduced. The model of post-peak stress-strain relationship was obtained finally. The strain softening processes under variable confining pressures for Tennessee marble in triaxial test were modeled using numerical cases and the results agree well with the test data. The results show that the model is reasonable and it can describe the post-peak mechanical behavior of the rock under different confining pressures preferably.

confining stress; post-peak stress?strain; evolution of strength parameter; Mohr-Coulomb strength criterion

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.10.027

TU45

A

1672?7207(2017)10?2753?06

2016?09?30；

修回日期：2016?12?02

國家自然科學基金資助項目(11772358)；中南大學碩士生自主探索創新項目(2016zzts448)(Project(11772358) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2016zzts448) supported by the Master Independent Explored Innovative of Central South University)

曹平，博士，教授，從事巖石力學與工程領域研究；E-mail：pcao_csu@sohu.com