基于Stribeck摩擦模型的盤式摩擦副穩定性分析

王延忠 郭 超 賈樹王 寧克焱 蘭 海

1.北京航空航天大學機械工程學院，北京，1001912.中國北方車輛研究所，北京，100072

基于Stribeck摩擦模型的盤式摩擦副穩定性分析

王延忠1郭 超1賈樹王1寧克焱2蘭 海2

1.北京航空航天大學機械工程學院，北京，1001912.中國北方車輛研究所，北京，100072

為了分析摩擦副滑動摩擦狀態下的穩定性，分析系統的失穩條件，以Stribeck摩擦模型為基礎，建立了速度相關的多自由度摩擦副滑動穩定性分析模型。建立了盤式摩擦副的系統動力學微分方程，進行了基于庫侖摩擦定律摩擦力計算公式的級數展開，隨后依據李雅普諾夫穩定性判據進行了系統穩定性求解，并分析了系統關鍵參數對系統穩定性的影響。研究結果表明，采用減小Stribeck系數和摩擦因數靜動比、減小外載荷和增大系統阻尼等方法，能提高系統的穩定性。

盤式摩擦副；穩定性；Stribeck摩擦模型；動力學方程

0 引言

制動器振動失穩問題一直是制動器設計中亟待解決的問題。因振動失穩而產生的制動器嘯叫不僅影響制動器壽命，也影響制動平穩性。20世紀初，Stribeck通過對徑向滑動軸承的研究提出了著名的Stribeck曲線[1]。1931年JACOBSEN[2]和DENHARTOG[3]建立了微分方程來描述單自由度系統的黏滑運動。20世紀50年代起，不少學者針對摩擦引起振動的現象以及滑動摩擦的動力學特征等問題進行了研究[4]。制動器發出尖銳刺耳的高頻噪聲的主要原因是摩擦片和對偶片相對摩擦。MARTINS等[5]將摩擦引起的振動歸納為兩類，即黏滑模式和準簡諧模式，發生的條件在于不同的表面滑動速度。BLOK[6]發現，阻尼的增加能有效減弱黏滑現象，發生摩擦振蕩的基本條件是在減小摩擦力的同時，增大滑動速度。TOLSTOI[7]和KO等[8]也發現，振動現象是由相對滑動速度和摩擦因數的變化引起的。馬建敏等[9]建立了非旋轉體在摩擦力作用下的振動方程，并研究了其運動規律。學者們建立的理論和計算過程雖有差別，但是其研究的焦點卻是相同的，即振動產生的源頭——摩擦片和對偶片的相對轉動。

雖然前人進行了大量的摩擦振動失穩研究，但是到目前為止，由摩擦引起的振動失穩現象仍然難以完全被解釋清楚，主要原因如下：摩擦過程是典型的非線性系統，所涉及的參數復雜性較高，參數之間相互影響；摩擦現象不僅涉及表面接觸狀態，也與潤滑和工況有關。各種因素相互影響，干擾了研究人員的分析。本文從系統建模入手，建立了符合Stribeck摩擦特性的系統動力學方程，將與摩擦相關的各項因素用摩擦特性曲線的形式表示，再對統一的摩擦特性進行系統穩定性分析，簡化了分析方法，從而通過穩定性判據對系統的主要參數——外載荷、阻尼和特征速度等進行了分析。

1 盤式摩擦副結構動力學模型

摩擦副失穩現象的本質是系統受到微小擾動之后出現的系統振動不收斂問題。對于高頻振動、嘯叫與系統失穩成因，公認的是系統中的不穩定性。造成擾動的因素很多，主要有以下幾方面：圓周方向的厚度波動；軸向擺動；摩擦因數變化；相對速度變化；摩擦副的剛度、阻尼；摩擦與耦合條件等。為了探明各因素對摩擦副振動失穩的影響程度，需要針對盤式摩擦副結構建立動力學模型。

1.1摩擦副系統

由于軸向載荷對摩擦副振動影響較大[7]，本文建立的動力學模型不僅包含摩擦副旋轉方向的自由度，也包含摩擦副軸向的自由度。如圖1所示，摩擦片旋轉，對偶片與機架固定，由于裝配關系的存在，對偶片與支架之間存在接觸關系。加載力Fapp沿軸向施加，設定沿加載力方向的位移為x1，摩擦副的半徑為R，摩擦片的轉角為θ，摩擦片及其附屬結構質量為m1，轉動慣量為I，k1、k2、k3為系統剛度，FR為摩擦力。

圖1 摩擦副結構的系統動力學模型Fig.1 System dynamics model of friction structure

在摩擦副的周向，m2代表對偶片質量，在相對滑動的瞬間，對偶片一方面受到摩擦片的切向摩擦力，另一方面對支架施加周向力。m2切向方向的位移設定為x2，摩擦片的角速度為ω。

1.2動力學微分方程

系統的動力學微分方程的建立有多種方法，本文采用的是Lagrange系統建模法。Lagrange第二類方程的一般形式為

(1)

根據圖1的動力學模型，系統動能T、系統勢能V分別為

(2)

(3)

將式(2)求偏導數，得

(4)

系統動能中不含廣義坐標，所以求得

(5)

將式(3)對廣義坐標進行求導得

(6)

與廣義坐標相對應的廣義力

(7)

將式(4)～式(7)代入式(1)，則系統的動力學微分方程表示為

(8)

2 基于Stribeck模型的摩擦穩定性計算

2.1Stribeck模型

根據Stribeck效應所對應表達形式的差異，Stribeck模型通常可分為Tustin模型、Gauss模型和Lorente模型[10]。本文采用Gauss模型，其數學表達式為

f(v)=μk+(μs-μk)e-(v/vs)2+σv

(9)

式中，f(v)為Stribeck摩擦因數；μk為庫侖模型的滑動摩擦因數；μs為摩擦副的最大靜摩擦因數；v為摩擦副的相對滑動速度；vs為Stribeck系數，也稱Stribeck速度；σ為黏性系數。

對式(9)進行求導，獲得一階導數公式：

(10)

一般來說，對于相同材料，μk和μs是常量。Stribeck模型描述了摩擦副摩擦因數的變化，其主要影響參數為Stribeck系數vs，圖2所示為不同vs下的Stribeck曲線和Stribeck求導曲線。vs越大，摩擦因數的極小值越大，摩擦因數的變化范圍越小。由圖2可見，如果線速度從50 m/s下降到0(即制動減速過程)，則摩擦因數的變化是非常大的，速度曲線的非線性變化帶來沖擊，所以符合Stribeck摩擦特性的材料在低速滑動過程中更容易出現振動失穩現象。

(a)Stribeck曲線

(b)Stribeck求導曲線圖2 不同vs下的Stribeck曲線和Stribeck求導曲線Fig.2 Stribeck curves and curves of Stribeck derivative under different vs

2.2模型穩定性求解

根據庫侖定理，摩擦力

FR=x1k2f(vr)

對FR在(x10,vr=0)進行二元泰勒級數展開，可得

(11)

將式(9)代入式(11)后，就可以計算出摩擦力FR，然后將式(11) 代入式(8)后，獲得考慮Stribeck摩擦模型的系統動力學方程：

(12)

則系統矩陣

(13)

由穩定性判定定理得：在一次近似的基礎上，系數矩陣A的特征值都具有負實部，則原非線性系統在平衡點是漸進穩定的，而且系統的穩定性與高階部分R(v)無關，所以通過判定矩陣A特征值實部的正負就可以判定非線性系統的穩定性。

2.3計算實例

通過代入參數，可以計算出矩陣的特征值。參數列表見表1。

通過計算獲取了不同速度下特征值實部的曲線分布，如圖3a所示。由于二階數值相比一階、三階更大，所以單獨繪制了一階、三階曲線，如圖3b所示。可見在較高速度下，系統的所有特征值Reω<0，說明系統漸進穩定；但是在較低線速度下，系統呈現不穩定狀態。由于一階、二階特征值的變化趨勢相同，但是系統擾動對二階特征值的影響程度更高，故本文重點探究各項參數對二階特征值的影響。

(a)特征值實部一階、二階、三階曲線

(b)特征值實部一階、三階曲線圖3 特征值實部曲線Fig.3 Thereal part curves of eigenvalues

3 計算結果分析

由于穩定性的影響因素眾多，本文進行典型參數的影響性分析。分別獲得外載荷Fapp、阻尼c、Stribeck系數vs和摩擦因數(μk和μs)對系統穩定性的影響。

圖4所示為外載荷對系統穩定性的影響，隨著載荷的增大，系統不穩定趨勢增大，但是系統進入穩定狀態的線速度變化不大。對比圖5a和圖5b，系統阻尼c3的變化對一階特征值實部和二階特征值實部的影響趨勢總體相同，但是對一階特征值影響很小，二階特征值的影響相對較大。如圖6所示，c1對系統的一階特征值實部的影響趨勢與c3相同，一般來說，c3與制動器的支撐結構有關，c1與摩擦材料特性有關。阻尼的增大有助于提高系統穩定性，所以在制動器摩擦穩定性設計中，應該盡量選擇阻尼較大的摩擦材料。比如目前對于車輛摩擦片，紙基材料有替代粉末冶金材料的趨勢，就是由于紙基材料摩擦穩定性更好。

圖4 外載荷對二階特征值實部的影響Fig.4 Effect of external load on the 2nd eigenvalue

(a)一階特征值

(b)二階特征值圖5 系統阻尼c3對特征值實部的影響Fig.5 Effect of the system damping c3 on the eigenvalue

圖6 系統阻尼c1對一階特征值實部的影響Fig.6 Effect of the system damping c1 on the first order eigenvalue

雖然外載荷對系統穩定的影響也較強，但是在實際工程應用中外載荷往往有指標要求，難以隨意降低或者更改，所以系統的摩擦特性對于系統的穩定性影響起決定作用。圖7a所示為不同的Stribeck系數vs對二階特征值實部曲線的影響，隨著vs值的減小，系統的擾動增強，但是系統卻能更快地進入穩定狀態，系統的穩定區間大大增加。圖7b所示為系統摩擦因數靜動比μs/μk對特征值的影響，隨著靜動比的增大，系統不穩定程度增大。對于制動器而言，提高Stribeck系數vs是較為復雜的過程，這與摩擦副接觸狀態和潤滑狀態等有關。通過改善摩擦副接觸狀態、潤滑狀態等邊界條件，從而優化系統的摩擦因數曲線，可以有效增強系統的穩定程度。相比而言，降低系統的靜動比更為簡單，動摩擦因數對制動器設計來說一般越大越好，較大的動摩擦因數可以提高摩擦扭矩，使車輛更快地停下來，但是較大的摩擦因數也會帶來材料磨損嚴重的問題。

(a)Stribeck系數對二階特征值的影響

(b)不同靜動比對二階特征值的影響圖7 Stribeck系數和不同靜動比對二階特征值的影響Fig.7 Effect of Stribeck coefficient and the dynamic to static rat on the 2nd eigenvalue

4 結論

(1)盤式摩擦副在線速度較低時系統呈現不穩定狀態，隨著線速度的提高，系統漸進進入穩定狀態。

(2)三階特征值實部恒為負值，一階和二階特征值實部對系統穩定性起決定作用，其中，二階特征值影響程度更大。

(3)減小Stribeck系數和摩擦因數靜動比，減小外載荷和增大系統阻尼，均能提高系統穩定性，其中，減小vs和降低摩擦因數靜動比最為有效。

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LIN Chaoan. Parameter Identification of Stribeck Friction Model Based on Energy Principle and Its Application[D]. Nanning：Guangxi University, 2015.

StabilityAnalysisofDiscFrictionPairsBasedonStribeckModel

WANG Yanzhong1GUO Chao1JIA Shuwang1NING Keyan2LAN Hai2

1.School of Mechanical Engineering, Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing,100191 2.National Key Lab. of Vehicular Transmission, China North Vehicle Research Institute,Beijing,100072

In order to obtain system stability of friction pairs under sliding and analyze instability of the system, a multiple-degree-of-freedom and velocity-related sliding stability analysis model was established based on Stribeck friction model herein. The dynamics differential equations were established for the disc-friction pairs and the Coulomb friction formula was expanded with Taylor method. Then the system stability and the effects of key parameters on the system characteristics were analyzed depending on Liapunov’s stability criterion. The results show that the system stability may be intensified by decreasing Stribeck coefficient, ratio of static friction and sliding friction and load, or increasing the system damping etc.

disc friction pair; stability; Stribeck friction model; dynamics equation

TH117

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.21.001

2016-12-14

國家自然科學基金資助項目(51275020)；基礎產品創新科研計劃資助項目(20146404)

(編輯陳勇)

王延忠，男，1963年生。北京航空航天大學機械工程學院教授、博士研究生導師。主要研究方向為精密傳動技術及精密齒輪制造。發表論文100余篇。郭超(通信作者)，男，1986年生。北京航空航天大學機械工程學院博士研究生。E-mail:buaaguochao@163.com。賈樹王，男，1992年生。北京航空航天大學機械工程學院碩士研究生。寧克焱，男，1974年生。中國北方車輛研究所研究員。蘭海，男，1983年生。中國北方車輛研究所高級工程師。