基于Schur分解和正交鄰域保持嵌入算法的故障數據集降維方法

劉韻佳 趙榮珍 王雪冬

蘭州理工大學機電工程學院，蘭州,730050

基于Schur分解和正交鄰域保持嵌入算法的故障數據集降維方法

劉韻佳 趙榮珍 王雪冬

蘭州理工大學機電工程學院，蘭州,730050

針對轉子故障特征數據集降維問題，提出一種基于Schur分解和正交鄰域保持嵌入算法的故障數據集降維方法——Schur-ONPE降維方法。該方法首先應用小波包分解提取不同頻帶內的能量以組成故障特征值集合，然后運用Schur分解和ONPE算法將高維特征集向低維投影，使降維后類內散度最小化及類間分離度最大化,最后將降維后得到的低維特征集輸入K近鄰分類器進行模式識別。通過雙跨轉子試驗臺的故障特征數據集進行驗證，結果表明該方法能夠有效地解決轉子故障特征集的降維問題。

故障診斷；數據降維；Schur分解；正交鄰域保持嵌入算法

0 引言

提取和故障狀態識別等。在工程實踐中，隨著設備復雜度和信息量的增大，人們需要獲得的原始特征數據集變得越來越龐大和復雜，這就導致了維數災難問題，因此，故障特征集維數約簡的特征降維問題不可避免地成為基于數據驅動故障診斷技術的一個重要研究方向[2]。

故障振動信號具有很強的非平穩特性，導致故障特征之間往往表現出明顯的非線性關系，給降維過程帶來了比較大的難度。鄰域保持嵌入(neighborhood preserving embedding, NPE) 算法[3]是流形學習中的一種線性降維算法，它能夠保持數據在流形上的局部鄰域結構，因而得到了廣泛應用[4-5]，但NPE算法獲取的基特征是非正交的。針對該問題，LIU等[6]提出了正交鄰域保持嵌入(orthogonal neighborhood preserving embedding，ONPE)算法，該算法保持了局部鄰域內的非線性流形結構及其內在低維特征，是一種能將局部子空間中的保持向量轉換為正交基向量的有監督型流形學習算法。然而ONPE算法的正交迭代過程過于繁瑣，計算復雜，嚴重限制了它的應用。

針對上述問題，本文將NPE算法與Schur正交分解技術[7]結合，圍繞對ONPE算法的改進開展研究，預期目標是通過將該算法應用于轉子故障數據集的降維，為降低故障診斷難度提供理論參考依據。

1 降維算法原理

1.1NPE算法

NPE算法[3]是一種線性降維技術，可以對訓練數據進行映射，也可以對測試數據進行估計，同時能夠在流形上保持數據的局部鄰域結構。用矩陣將局部線性嵌入算法中隱含的非線性映射轉變為顯式的線性投影，新的樣本通過矩陣就可以直接找到嵌入空間中對應的投影點。NPE算法得到的低維空間能夠最優地保持原高維空間的局部幾何結構，因此可以發現高維空間中的低維流形。該算法的數據處理過程如下。

用數據集X=(x1,x2,…,xN)表示用于學習的訓練樣本集，其中，元素xi∈RD(i= 1,2,…,N)分別屬于C個類，每類有n個訓練樣本。NPE算法的思想就是最小化目標函數J，并通過線性變換尋找一個最優變換矩陣A，由此可把D維空間的數據映射到一個相對低維的d維空間中(d?D)，使得樣本集X在低維空間的可分性更好。NPE算法認為，如果權值矩陣Wij能在D維空間里重建數據點xi，那么它也可以在d維空間中找到對應的點yi。

NPE算法通式如下：

(1)

yi=ATxi

(2)

式中，K表示近鄰數。

式(2)所示的線性變換矩陣A可以通過求解最小值問題獲得，即

(3)

約束條件為ATXXTA=1,其中，M=(I-W)T(I-W)。

求解式(3)可以轉換為求解廣義特征向量的最小特征值問題，即

XMXTa=λXXTa

(4)

式中，a是變換矩陣A的基向量。

很明顯，XMXT和XXT都是對稱的，和半正定的d個最小的非零特征值所對應的特征向量a1，a2，…，ad構成變換矩陣A=[a1a2…ad]。

1.2ONPE算法

ONPE算法能在降維的同時有效地保持樣本固有的局部流形結構，可避免局部子空間的結構失真，具有更好的分類能力。該算法能保證模式識別的高精度要求，并且符合特征提取和故障診斷的自動化銜接流程。

依據ONPE算法，則變換矩陣A=[a1a2…ad]可通過求解下式所示的最小值問題得到解決:

(5)

對應的約束條件如下:

(6)

ONPE算法的計算過程如下：

(1)定義

A(d-1)=[a1a2…ad-1]
S(d-1)=(A(d-1))T(XXT)-1A(d-1)

(2) 迭代計算基向量a1和最小特征向量ad。其中，a1為最大特征值對應的特征向量，ad為下式中J的最小特征值所對應的特征向量:

J(d)=

(I-(XXT)-1A(d-1)(S(d-1))-1(A(d-1))T)(XXT)-1XMXT

(7)

1.3Schur-ONPE算法

ONPE算法的最優矩陣A可以通過求解下式的特征值問題獲得:

(XXT)-1XMXTa=λiaλ1<λ2<…<λd

(8)

ONPE算法中使用的是正交迭代理論，其推導過程繁瑣,而且計算量較大，而Schur正交分解是通過求解最優向量，得到所需的數據,并沒有復雜的理論迭代過程,所以計算也相對簡單。

本文利用Schur分解原理[7]，以一種相對簡單的方式來解決如何獲得正交基向量的問題，由此可以求取出最優的嵌入映射矩陣A：

(9)

minJ(A)=mintrace[AT(XXT)-1XMXTA]

(10)

若對式(10)中的(XXT)-1XMXT進行Schur正交分解，則有(XXT)-1XMXT=UTUT，其中，正交矩陣U=[u1u2…uD]，UUT=I，T為上三角對角矩陣，其對角線元素為(XXT)-1XMXT的特征值λ1，λ2，…，λd。若對式(9)所示的目標函數加入約束條件ATXMXTA=I,則正交向量矩陣具有唯一性，即U=V，得

(XXT)-1XMXT=VTVT

即T的d個對角線上元素λ1<λ2<…<λd對應的U中的特征向量為所求的正交投影向量。

(1)主成分分析法(PCA)預處理。為避免因樣本特征數大于樣本數的情況出現，導致XXT變為奇異矩陣，從而使計算變得更為復雜，可將數據點xi在不丟失本征信息的條件下投影到PCA子空間，使XXT變為非奇異矩陣。將PCA投影矩陣表示為APCA，同時為方便描述，將PCA投影后的矩陣仍用X描述。

(2)構造局部鄰域圖G并計算權重W。通過K近鄰分類器 (K-nearest neighbors classifier，KNNC)[8]對數據集X構造類內、類間鄰接圖。設G表示有n個節點的鄰接圖，第i個節點與xi對應，分別在類內和類間尋找與其相近的j個近鄰xj，并連接節點i與節點j。若xi與xj屬于同類，則xi和xj構成局部鄰接矩陣，計算重構權重矩陣Wij。若不屬于同類，則權重為零。

(3)構建局部嵌入函數f(a)。用Schur正交分解算法求解正交基函數，可得到最優正交嵌入映射矩陣A。計算訓練樣本在經Schur-ONPE算法處理后得到的特征值，找出每類故障的聚類中心。利用Schur-ONPE算法得到測試樣本的特征值yi=ATxi。

2 故障數據降維方法流程

本文使用的原始數據采集于文獻[9]中介紹的雙跨度轉子試驗臺，以此試驗臺測量出的振動信號的集合去構造訓練樣本和測試樣本。利用小波包分析后得到的不同頻帶范圍內的能量，作為高維故障特征集，然后通過本文的算法進行降維處理，從而得到低維敏感故障特征數據集。評判標準為故障分類的辨識準確率。

基于Schur-ONPE算法的故障診斷流程如圖1所示。具體流程如下：

圖1 基于Schur-ONPE算法的故障診斷模型Fig.1 Fault diagnosis model based on Schur-ONPE

(1)分別對樣本進行3層小波包分解，3層小波分解可以保證更好的頻帶劃分效果，同時兼顧了運行效率;然后求其各個頻帶范圍內的能量，以此作為故障特征信息。

(2)將小波分解后得到的特征信息輸入Schur-ONPE算法模型進行訓練，然后對樣本進行維數約簡。

(3)使用KNNC根據訓練樣本的類標簽信息和鄰域信息對約簡后的測試樣本進行故障類別的分類決策。

3 實驗結果與分析

在主軸轉速為3000 r/min、采樣頻率為5000 Hz的情況下，對該轉子試驗平臺分別進行了正常轉動、軸承松動、質量不平衡、動靜碰摩及軸系不對中實驗，分別得到以上5種狀態振動信號各100組，選取每類狀態中的40組作為訓練樣本，剩余的60組樣本作為測試樣本。實驗振動信號通過布置在轉子實驗臺上的12個電渦流傳感器進行采集。對各樣本信號進行層數為3的德比契斯(Daubechies)小波函數分解，得到第3層信號的8段頻帶。具體頻帶范圍見表1。由于樣本信號共有12個通道，因此整個樣本信號經小波包分解后一共得到12×8=96個能量特征，若將這些特征直接輸入分類器，必然會導致分類器識別時間延長、識別正確率降低等問題,因此需要用降維算法去降低故障特征集的空間維度。

表1 各頻帶對應的頻率范圍

為了驗證Schur-ONPE降維方法的可行性與有效性，我們同時運用NPE與ONPE兩種算法進行實驗對比。為了充分涵蓋原始數據集的本質信息，將目標維數統一降維到4維(目標維數等于狀態類別數減一)，得到測試樣本的前兩維特征的效果圖為圖2～圖4。

圖2 測試樣本基于NPE方法降維結果Fig.2 Test sample based on NPE dimension reduction method results

圖3 測試樣本基于ONPE方法降維結果Fig.3 Test sample based on ONPE dimension reduction method results

圖4 測試樣本基于Schur-ONPE方法降維結果Fig.4 Test sample based on Schur-ONPE dimension reduction method results

由圖2可以看出，使用NPE算法降維后，碰摩故障、不平衡故障以及不對中故障均存在嚴重的重疊現象，說明碰摩故障、不平衡故障以及不對中故障未能有效分類，只有松動故障的分類效果較好，能夠明顯與正常情況和其他故障情況區分開。在圖3中，基于ONPE算法降維后，只有不對中故障和碰摩故障的數據點發生了明顯的混淆重疊現象，說明只有不對中故障和碰摩故障未能有效分類，而松動故障、不平衡故障以及正常狀態均得到了良好的分類。而在圖4中，使用Schur-ONPE算法能夠清晰地辨識出各故障類型，并且聚類效果良好。

為了更客觀地描述上述三種方法的降維效果并與原始高維特征集進行比較，本文將NPE、ONPE、Schur-ONPE三種算法降維后得到的特征數據集輸入到KNNC中，得到的辨識準確率見表2。對表2進行分析可以得出：

(1)正交的ONPE算法對故障的識別準確率要高于非正交的NPE算法；在正交算法中，Schur-ONPE算法的故障識別率更優秀。

(2)由于原始高維特征集中融入了大量的非敏感以及干擾特征，從而導致識別正確率有所降低。而經過Schur-ONPE算法降維處理的數據，因采用了Schur分解原理，使原有的特征值得到了修正，并進一步去除了原始特征集中相應的干擾信息，因此識別準確率得到了一定的提升。

表2 分類辨識方法及其KNNC辨識準確率

(3)ONPE算法計算出的投影向量是通過正交迭代方式得到的，隨迭代次數的增加，投影矩陣向量數目也會增加；Schur-ONPE算法的最優向量是通過矩陣正交分解的方式直接獲得的，因此運算速度較快，不同程序運行的時間見表3。當診斷數據量增大、故障類型增多時Schur-ONPE算法將具有更大的優勢。

表3不同算法的特征提取時間

Tab.3Featureextractiontimefordifferentalgorithmss

降維方法不同維數的程序運行時間10維6維4維NPE0.0850060.0931210.088756ONPE0.2827850.2579180.255283Schur-ONPE0.0920390.0962120.099735

為了提高算法的泛化能力，將不同算法在不同轉速下的數據集輸入KNNC 分類器中，得到的平均辨識準確率見表4。

表4 不同算法的在不同轉速下的KNNC辨識準確率

由表4可以看出，在不同轉速下Schur-ONPE降維方法的平均識別正確率都優于NPE算法和ONPE算法，說明Schur-ONPE算法具有良好的適用性。

4 結語

提出一種基于Schur分解和正交鄰域保持嵌入(ONPE)相結合的故障數據集降維方法——Schur-ONPE算法。首先將原始振動信號進行3層小波包分解并構造高維特征向量，再利用Schur-ONPE算法訓練出最佳分類特征集，將高維特征向量約簡為可分性更好的低維本征向量，并輸入到KNNC 分類器中進行故障識別。通過雙跨轉子試驗臺進行故障模擬實驗，并與NPE、ONPE等方法進行實驗數據對比，結果表明， ONPE算法的平均識別率比NPE算法的平均識別率提高了2.4%，而Schur-ONPE算法的故障平均識別率又比ONPE算法的故障平均識別率提高了1.7%。通過對算法運算時間的對比，Schur-ONPE算法的運算效率也比ONPE算法的運算效率提高了36.31%，而且在不同轉速下也都能達到良好的效果。因此，本研究提出的Schur-ONPE算法能有效地進行故障特征集降維。本研究可為解決旋轉機械故障數據集的降維問題提供一種新的解決思路。

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FaultDataSetDimensionReductionMethodBasedonSchurDecompositionandONPEAlgorithm

LIU Yunjia ZHAO Rongzhen WANG Xuedong

School of Mechanical and Electronical Engineering，Lanzhou University of Technology,Lanzhou，730050

Aiming at dimension reduction of fault data set，a novel method in dimension reduction was proposed based on the combination of Schur decomposition and ONPE algorithm. Firstly wavelet packet decomposition was used to extract the fault signals of different frequency band energy features，then Schur decomposition and ONPE algorithm were used to project the high-dimensional data sets to lower dimensions. After the transformation, the considered pairwise samples within the same class were as close as possible, while those between classes were as far as possible. Finally, the lower dimension was collected and the K nearest neighbor classifier was input to recognize the different patterns. The fault characteristic data sets from a double span rotor test-rig were used to validate the proposed algorithm performances. The results show that this method may solve the problems of reducing the dimension of rotor fault features sets effectively.

fault diagnosis; data dimension reduction; Schur decomposition; orthogonal neighborhood preserving embedding(ONPE) algorithm

TH165；TP18

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.21.006

2016-08-16

國家自然科學基金資助項目(51675253)

(編輯蘇衛國)

劉韻佳，女，1989年生。蘭州理工大學機電工程學院碩士研究生。研究方向為旋轉機械故障診斷。趙榮珍(通信作者)，女，1960年生。蘭州理工大學機電工程學院教授、博士研究生導師。E-mail：zhaorongzhen@lut.cn 。王雪冬，男，1988年生。蘭州理工大學機電工程學院碩士研究生。